نکته ای از آنالیز
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک انقباض با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است

۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است

نکته ای از آنالیز
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک لیپ شیتس با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است
۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است
۱۲ -داریم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }=1
۱۳ -عملگر T کراندار نقـطه به نقطه است
۱۴ - عملگر T کراندار یکنواخت
است
۱۵ - عملگر T یکریخت طولپاست
۱۶ - عملگر T یکریخت توپولوژیک است

تعریف زیر پایه:
فرض کنیم (X , T) یک فضای توپولوژیک باشد گردایه Л از زير مجموعه هاى X را یک زیر پایه برای توپولوژی T نامیم هرگاه گردایه اشتراک های متناهی از اعضای Л تشکیل یک پایه برای توپولوژی T دهد.

نکته ۱: در تعریف بالا کوچکترین توپولوژی حاوی Л حاصل میگردد.

تعریف پایه:
فرض کنیم (X , T) یک فضای توپولوژیک باشد گردایه Д از زير مجموعه هاى X را یک پایه برای توپولوژی T نامیم هرگاه اجتماع های دلخواه از اعضای Д توپولوژی T را تولید کند.

نکته ۲: اجتماع های دلخواه از یک گردایه لزوما تشکیل پایه نمیدهند

اعضای توپولوژی ضعیف ستاره صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای ب

نکاتی در مورد:

توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره

فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد

نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X

فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.

مراحل ساختن:

مرحله اول:
بتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تابع وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.

مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)

مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)

نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.


۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید

۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند

۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند

۶-وقتی که بیان می‌شود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد

۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست

۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است

۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است

فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ

اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند

نکته ای از آنالیز
هر تابع محدب در نقاط درونی دامنه اش پیوسته است بنابراین دو حالت زیر را داریم:
الف: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه باز مانند l باشد چون f پیوسته است لذا برد تابع یعنی (f(l نیز یک بازه است( چون هم بندی توسط تابع پیوسته حفض میگردد) لذا مجموعه محدب میشود.
ب: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه غیر باز باشد در این صورت برد تابع f لزوما محدب نمیگردد:
برای مثال تابع دو ضابطه ای
f: [0,1]→R
با ضابطه1= (f(x برای x=0 و با ضابطه0= (f(x برای [xㅌ(0,1 یک تابع محدب است ولی برد آن یعنی مجموعه {0,1} محدب نیست

اندازه لبگ

1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.

همچنین این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.


اندازه برل

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت سیگما جبر تولید شده توسط توپولوژی T را سیگما جبر برل نامیم و این سیگما جبر را با K نمایش میدهیم.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.

نکته ۱: تعریف های معادل برای مجموعه های برل:

الف: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های بسته است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

ب: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های باز است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

نکته ۲: روی یک فضای اندازه پذیر بیشمار تابع اندازه قابل تعریف است که آن را به یک فضای اندازه تبدیل کند.
بنابراین روی برل اندازه پذیرها هم میتوان نیز میتوان بیشمار تابع اندازه تعریف کرد.

نکته ۳: تابع اندازه پذیر منحصر به فردی روی برل اندازه پذیرها میتوان تعریف کرد که اندازه هر بازه برابر طول بازه باشد و آن همتن تحدید اندازه لبگ به سیگما جبر برل میباشد.

نکته ۴: فرض کنیم K سیگما جبر برل باشد، یک تابع مانند f از فضای اندازه پذیر (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را تحت تابع وارون f به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم.

سلام وقت به خیر. ببخشید فرق نگاشت و تابع چیه؟ تابع زمانی وارون پذیره که یک به یک باشه یا یک به یک و پوشا؟

زمانی که تعداد عناصر دامنه با تعداد عناصر برد برابر باشه فقط یک به یک بودن کافیه؟درسته؟

تابع ۱-۱ باشه کافیه ولی فرقش اینه که اگر تابع ما به صورت
f:A---->B
باشه ، دیگه تابع وارون دامنش B نیست . اما اگه پوشا باشه تابع وارون میشه :
f-1 : B--->A

اگر تعداد عناصر دامنه با هم دامنه(نه برد) برابر باشه اونوقت یک به یکی معادل پوشایی .

برابر بودن تعداد عناصر دامنه با برد ، یک به یکی رو نتیجه میده ولی پوشایی رو نه لزوما .
منظورم از برد همان خروجی تابع و منظور از هم دامنه همان مجموعه B در تعریف تابع است

در مطالعه فضاهای برداری توپولوژیک مجرد بله _ ولی در آنالیز تابعی اکثرا فضاهای موضعا محدب مد نظر هستن هر چند در بر خی از کتب اینکه مجموعه های یکانی بسته باشند قید نشده ولی به محض در گیری با فضاهای تابعی شرط هاسدورفی فضا و الزاما پذیرش مجموعه های یکانی همواره لازم هست . بکارگیری واژه ذاتی در این پست الزاما نادرست هست _ و به لحاظ توپولوژیکی با توپولوژی ذاتی فضاهای تابعی مغایرت دارد .

بسته بودن مجموعه های یکانی یک فضای توپولوژیک چیزی ضعیف تر از هاسدورف بودن آن هست و فضاهای ناهاسدورفی وجود دارند که مجموعه های یکانی آنها بسته است.

نکاتی از نمایش ها در *c جبرها

۱- نمایش:
یک نمایش از یک *c جبر یک زوج مرتب (H , π) میباشد که در آن H یک فضای هیلبرت و نگاشت
π: H → B(H)
یک همریختی میباشد

۲: اگر Ker π =0 باشد آنگاه نمایش معرفی شده در نکته ۱ را باوفا (Faithful) نامیم.

۳- یک نمایش باوفای (H , π)، یک به یک است و لذا طولپاست.

۴ -همه نمایش ها باوفا میباشند.

نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X

فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپ ولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.

مراحل ساختن:

مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.

مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)

مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)

نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.

تعریف جبر :

فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب ٭ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد
در این صورت جفت (*, A) را یک جبر نامیم

در حقیقت اگر A یک مجموعه باشد و (. , +, A) یک فضای برداری باشد، (*, . , +, A) را یک جبر نامیم

قضیه اصل کرانداری یکنواخت یا باناخ استین هاوس

1-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت معادل میشوند

۲-اگر T اندیس n، دنباله ای از عملگرها کراندار بین دو فضای نرمدار X و Y باشد آنگاه این دنباله از عملگرها به طور یکنواخت کراندار نیست

۳-اگر در نکته دو X باناخ باشد کرانداری و کرانداری یکنواخت معادل میشوند

۴-نکته ۳ را اصل کرانداری یکنواخت یا باناخ استین هاوس گوییم.

تعریف تابع (تابع تک مقداری)
نموداری معرف تابع است که هر خط موازی محور y ها آن را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

تابع چند مقداری:
از نظر نمودار نموداری معرف تابع چند مقداری است که هر خط موازی محور y ها آن را در بیش از یک نقطه قطع کند.
به عبارت دیگر برای هر ورودی بیش از یک خروجی داشته باشیم.
برا مثال دایره
x² + y²=۲۵
یک تابع دو مقداری است زیرا:
x=4 →y=±3



تو سطوح دبیرستان یا دانشگاه وقتی از لفظ تابع استفاده میشود منظور تابع تک مقداری است.
بنابراین وقتی مطرح میشود رابطه
y²=x
تابع نیست یعنی رابطه بالا تابع تک مقداری نیست ولی یه تابع دو مقداری میباشد.
برای مثال وقتی ذکر میشود عدد ۵ مقصود عدد ۵+ است نه ۵-، به همین ترتیب وقتی بیان میشود رابطه فوق یک تابع است مقصود تابع تک مقداری است نه چند مقداری.

نکاتی در مورد:

توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره

فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد

نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X

فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.

مراحل ساختن:

مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.

مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)

مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)

نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.


۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید

۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند

۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند

۶-وقتی که بیان می‌شود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد

۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست

۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است

۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است

فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ

اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند

نکاتی در مورد:

توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره

فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л پیوسته میسازد

۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید

۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند

۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند

۶-وقتی که بیان می‌شود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد

۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست

۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است

۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است

فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ

اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند