اندازه لبگ و اندازه برل
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم

نکاتی از آنالیز
1-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را رسته اول نامیم هرگاه برابر اجتماع دنباله متناهی یا نامتناهی از مجموعه های هیچ جا چگال باشد
۲-مجموعه A یک مجموعه رسته دوم نامیم هرگاه رسته اول نباشد
۳-مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد گویا رسته اولند
۴-در فضای متریک گسسته، هیچ زیر مجموعه رسته اول ناتهی وجود ندارد
۵-هر زیر مجموعه یک مجموعه رسته اول، خود رسته اول است
۶-هر اجتماع حداکثر شمارا، از مجموعه های رسته اول، خود نیز رسته اول است
۷-قضیه رسته بئر : اگر فضای متریک E کامل باشد، اشتراک هر دنباله باز چگال، چگال است
۸-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را سیگما فشرده نامیم هرگاه A اجتماع دنباله ای از مجموعه های فشرده باشد
۹-هر مجموعه فشرده، سیگما فشرده است
1۰-هر مجموعه شمارا، سیگما فشرده است
11-در فضای n بعدی R، هر مجموعه باز، سیگما فشرده است
1۲-هر فضای متریک همبند ، با حداقل دو عضو ناشماراست
1۳-دنباله ای از مجموعه های باز چگال در فضای متریک E موجود است که اشتراکشان چگال نیست
۷-

نکاتی راجع به فضاهای نرمدار
1-در فضای متناهی البعد همه نرم ها هم ارزند
۲_در فضای نرمدار متناهی البعد فشردگی معادل است با بسته و کراندار بودن
۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا
۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد
۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است
۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست
۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست
۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است
۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست
1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است
11-فضای l وان، l بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند
1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند
1۳-فرض کنیم T اندیس n، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند
1۴_در 1۳ اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست
1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است
1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X باناخ است
1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است
1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است

نکاتی راجع به (تغییر کراندار )
1-تابع حقیقی f بر بازه بسته (a, b) دارای تغییر کراندار است هرگاه تغییر کل آن بینهایت نگردد
۲-اگر f دارای تغییر کراندار باشد قدر مطلق f نیز دارای تغییر کراندار است
۳-هر تابع حقیقی یکنوا بر یک بازه بسته (a, b) ، دارای تغییر کراندار میباشد
4-هر تابع حقیقی بر یک بازه بسته (a, b) ،که در شرط لیپشیتس صدق کند، دارای تغییر کراندار است
۵-یک تابع ممکن است با تغییر کراندار باشد ولی در شرط لیپشیتس صدق نکند
۶-هر تابع با تغییر کراندار است
۷-عکس ۶ الزاما برقرار نیست
۸-حاصل جمع و حاصل ضرب دو تابع با تغییر کراندار، یک تابع با تغییر کراندار است
۹-مجموعه همه توابع با تغییر کراندار بر یک بازه بسته (a, b) ، با عمال جمع، ضرب اسکالر و ضرب توابع یک جبر جابجایی و یکدار است
1۰-اگر f با تغییر کراندار و دور از صفر باشد آنگاه 1/f نیز با تغییر کراندار است
11-فرض کنیم f تابعی حقیقی بر یک بازه بسته (a, b)، و c نقطه درونی آن باشد، در این صورت با تغییر کراندار بودن f بر بازه بسته بر (a, b) ،معادل است با تغییر کرانداری f بر بازه های بسته( a,c) و (c, b)
12-تابع چند جمله ای بر یک بازه بسته (a, b) ،دارای تغییر کراندار است
1۳-تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،دارای تغییر کراندار است اگر وتنها اگر برابر تفاضل دو تابع صعودی باشد
1۴-هر تابع با تغییر کراندار دارای ناپیوستگی نوع اول است و مجموعه آنها حداکثر شماراست 1۵-اگر یکی از موارد زیر برقرار باشد تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،با تغییر کراندار است
الف:f دارای مشتق پیوسته باشد
ب:f دارای مشتق کراندار باشد
ج:f یکنوا باشد
1۶-اگر تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،به طور یکنواخت باشد الزاما با تغییر کراندار نمیباشد

نکاتی در مورد اندازه های علامت دار
1-فرض کنیم M یک سیگما جبر از زیر مجموعه های X باشد تابع u از فضای اندازه(X,M) به *R (نماد *R همان مجموعه اعداد حقیقی است به همراه مثبت و منفی بینهایت ) را اندازه علامت دار نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:u حداکثر یکی از مقادیر بینهایت را اختیار کند
ب: تصویر تهی تحت u برابر صفر گردد
ج: u دارای ویژگی سیگما جمعی باشد
2-هر اندازه یک اندازه علامت دار میباشد
3-هر اندازه علامت دار تابعی متناهیأ جمعی است
4-اندازه های علامت دار همواره دارای ویژگی تفزیقی میباشند
اگر عضو A از سیگما جبر M، زیر مجموعه ای با اندازه بینهایت داشته باشد آنگاه اندازه علامت دار A نیز بینهایت میگردد
5-فرض کنیم u یک اندازه علامت دار باشد، مجموعه A را یک مجموعه مثبت برای اندازه علامت دار نامیم هرگاه برای هر عضو E از سیگما جبر، تصویر E اشتراک A ،تحت u نامنفی گردد
به همین ترتیب مجموعه نامنفی تعریف میگردد
6-تجزیه هان: فرض کنیم A,B دو عضو سیگما جبر M، باشند و u یک اندازه علامتدار باشد در این صورت جفت (A,B) را یک تجزیه هان برای X نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:A با B هیچ اشتراکی نداشته باشد
ب: اجتماع A,B برابر کل X گردد
ج: A مثبت و B منفی باشد
7-اگر u يك اندازه علامت دار بر سیگما جبر M باشد در این صورت X نسبت به u دارای تجزیه هان میباشد
8-نکته 7 نشان میدهد این تقسیم فضا به دو تکه همواره ممکن است
9-اندازه علامت دار u را متناهی خوانیم هرگاه برای هر عضو سیگما جبر M تصوير A تحت u حقیقی مقدار گردد
10-مجموعه همه اندازه های علامت دار الزامأ مشبکه برداری نمیباشد
11-مجموعه دو انداه علامت دار همواره تعریف شدنی نمیباشد
12-برای رفع مشکل11 و 10 خود را به گردایه متشکل از همه اندازه های علامت دار متناهی محدود میکنیم

چند نکته
1-صفر مطلق به توان صفر مطلق، تعریف نشده است
2-صفر مطلق به توان صفر حدی، صفر است
3-صفر حدی به توان صفر مطلق، یک است
4-صفر حدی به توان صفر حدی، ابهام است
5-صفر مطلق تقسیم بر صفر مطلق، تعریف نشده است
6-صفر مطلق تقسیم بر صفر نسبی، برابر صفر است
7-صفر نسبی تقسیم بر صفر نسبی، ابهام است
8-صفر نسبی تقسیم بر صفر مطلق، تعریف نشده است
9-صفر مطلق ضربدر بینهایت، برابر صفر است
10 -صفر نسبی ضربدر بینهایت، ابهام است
11 -یک مطلق به توان بنهایت برابر یک است
12 -یک نسبی به توان بینهایت، ابهام است

تعریف فضای اقلیدسی Rⁿ
مجموعه Rⁿ مجهز به اعمال جمع، ضرب اسکالر، ضرب داخلی، و نرم (اقلیدسی) را فضای قلیدسی n بعدی نامیم.
د ر حقیقت (اا اا, +, ضرب داخلی, ضرب اسکالر, Rⁿ) را فضای اقلیدسی n بعدی نامیم.

اعداد جبری و اعداد متعالی
1-عضو حقیقی x را جبری گوییم هرگاه x ریشه معادله ای چند جمله ای با ضرایب صحیح یا با ضرایب گویا باشد
2-عدد x را متعالی گوییم هرگاه جبری نباشد
3-هر عضو N, Z, Q، جبری اند
4-یک عدد گنگ، ممکن است جبری باشد
5-هر عدد متعالی یک عدد گنگ است
6-از 4 نتیجه میگیریم یک عدد گنگ الزاما متعالی نمیباشد
7-فرض کنیم A مجموعه همه اعداد حقیقی جبری و # یک رابطه ترتیبی باشد،در این صورت (#,0, +, A) یک میدان مرتب است
8-مجموعه A معرفی شده در نکته 7 با N همعدد است یعنی شماراست
9-مجموعه A معرفی شده در 7 شامل Q میباشد
10 -متمم مجموعه A معرفی شده در نکته 7 را مجموعه عداد متعالی نامیم
۱۱ -مجموعه معرفی شده در نکته 10 یک مجموعه ناشماراست
12 -اجتماع A معرفی شده در نکته 7، با متمش مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل میدهد
13 -نکته 11 نشان میدهد که حداقل یک عدد متعالی وجود دارد
14 -عدد ㅠ و e متعالی اند
15 -نکته 7 نشان میدهد که (+, A) یک گروه آبلی جمعقی و (0,A) یک گروه آبلی ضربی است
16 -مجموعه معرفی شده در 10 الزاما تحت جمع و ضرب بسته نمیباشد
17 -یک عدد جبری به توان یک عدد جبری، الزاما جبری نمیباشد
18-نکته 16 نشان میدهد که متمم A با جمع و ضرب تشکیل گروه نمیدهد
19 -یک عدد جبری به توان یک عدد گنگ، یک عدد متعالی است (به شرط آنکه عدد جبری مخالف صفر و یک باشد)
20 -سوال: ㅠ+e جبری است یا متعالی؟

تبدیل گلفاند :
فرض کنیم A یک جبر باناخ باشد در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال A متشکل از تمام همریختی های مختلط A می باشد و آن را با M نشان میدهیم
فضای ایده آل ماکسیمال M را با weak star topology که از فضای دوگان باناخ A به ارث میبرد توپولوژی دار میکنیم که یک فضای هاسدورف فشرده با همین توپولوژی نام برده میباشد
همچنین فرض میکنیم(C(M، فضای تمام پیوسته روی M (تعریف M در بالا ذکر شد) باشد
در این صورت تبدیل گلفاند یک نگاشت از جبر باناخ A به( C(M میباشد که هر عضو A را به عضوی از ( C(M تصویر میکند.
تبدیل گلفاند یک همریختی است که در شرط لیپشیتس صدق میکند.

نکاتی راجع به عملگر تصویر
1-فرض کنیم S یک زیر فضای بسته فضای هیلبرت H باشد، عملگر P را روي H به صورت زیر تعریف میکنیم:
Px=y , x=y+z , y€S , z€Sㅗ
در این صورت P را عملگر تصویر یا عملگر تصویر متعامد از H به روی (onto) زیر فضای بسته S نامیم(Sㅗ زیر فضای متمم متعامد S و فضای پوچ P نامیم که به صورت (x: Px=0)تعریف میگردد)
2-در حقیقت چون S زیر فضای بسته فضای هیلبرت H است لذا H (دایرکسام) جمع مستقیم S , Sㅗ ميباشد لذا عملگر تصویر که در نکته 1 خوش تعریف است یعنی عملگر تصویر که در نکته یک تعریف شد یک تابع است و ما میتوانیم چنین عملگری را تعریف کنیم
3-بنابراین عملگر P از H به H زمانی عملگر تصویر است که زیر فضای بسته S از H موجود باشد که S برد P و Sㅗ فضای پوچ P باشد و تحدید P به S یک عملگر همانی باشد
4-از نکته 3 داریم تحدید عملگر تصوير به زیر فضای بسته S یک عملگر همانی روی S است
5-عملگرهای تصویر، کراندار میباشند
6-عملگرهای تصاویر مثبت میباشند
7-اگر P یک عملگر تصویر غیر صفر باشد آنگاه ااPاا=1
8-عملگر P از فضای هیلبرت H به زیر فضای بسته S را عملگر تصویر گوییم هرگاه P در شرط زیر صدق کند
P=P ² =P*
یعنی P خودالحاق و خودتوان باشد
9-اگر P یک عملگر تصویر از فضای هیلبرت H به روی (onto) زیر فضای بسته S باشد داريم:
²ااPxاا=(Px,x)
10 -اگر P یک عملگر تصویر از H به روي (onto) زیر فضای بسته S باشد آنگاه Pㅗ یک عملگر تصویر از H به روی (onto)زیر فضای Sㅗ میباشد
11 -مجموع دو عملگر تصویر الزاما یک عملگر تصویر نمیباشد
12 -اگر P,Q دو عملگر تصویر غیر صفر باشند آنگاه P+P=2P یک عملگر تصویر نمیباشد زیرا:
ااP+Pاا=2
13 -دو تصویر P,Qرا متعامد گوییم هرگاه PQ=0
یعنی ترکیب دو عملگر P,Q برابر عملگر صفر گردد
14 -مجموع گردایه ای از تصاویر موقعی یک تصویر است که تصاویر دو به دو بر هم عمود باشند
در حالت خاص مجموع دو عملگر تصویر، موقعی یک عملگر تصویر است که دوعملگر تصویر بر هم عمود باشند
15 -حاصل ضرب دو عملگر تصویر الزاما یک عملگر تصویر نیست
16 -حاصل ضرب دو عملگر تصویر زمانی یک عملگر تصویر است که دو عملگر تحت ضرب جابه جا شوند
17 -در نکته 15 و 16منظور از حاصل ضرب همان ترکیب عملگرهاست
18 -اگر P يك عملگر تصوير از فضای هیلبرت H به روی زیر فضای بسته S باشد که برای بردار x متعلق به S داشته باشیم ااxاا=ااPxاا آنگاه Px=x
19 -اگر P یک عملگر تصویر از فضای هیلبرت H به روی زیر فضای بسته S باشد
و زیر فضای K به صورت (x: Px=x ) تعریف شود
و زیر فضای M برابر باشد با برد عملگر P، آنگاه داریم:
S=K=M
20 -فرض کنیم P یک عملگر تصویر از H به روی زیر فضای بسته S باشد در این صورت T زیر فضای S را به توی S مینگارد اگر و تنها اگر PTP=TP
21 -اگر T زبر فضای بسته S را به توی خودش بنگارد گوییم S زیر فضای پایا T است
22 - اگر *T,T زبر فضای بسته S را به توی خودش بنگارند گوییم S زیر فضای کاهنده T است
23 - فرض کنیم P یک عملگر تصویر از H به روی (onto)زیر فضای بسته S باشد در این صورت S زیر فضای کاهنده برای عملگر T است اگر و تنها اگر TP=PT
24 -عملگر تصویر کوچکتر یا مساوی عملگر همانی میباشد
25 -عملگر تصویر بزرگتر یا مساوی عملگر صفر میباشد

تعریف مشبکه باناخ
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند # است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a#b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c#b+c
ب: اگر a#b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra#rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=بینهایت، نیز مشبکه باناخ است)

تعریف دنباله:
دنباله مجموعه ای است از زوج مرتب ها، که در سه شرط زیر صدق میکند
الف: مولفه های اول از مجموعه اعداد طبیعی انتخاب میشوند
ب: هیچ دو مولفه اول یکسان نمیباشند
ج -اگر مولفه های اول یکسان باشند، مولفه های دوم نیز یکسانند

تعریف زیر دنباله:
فرض کنیم G یک تابع صعودی اکید، از N به N باشد و F نیز یک تابع از N به مجموعه دلخواه E باشد در این صورت تابع FoG از N به E را یک زیر دنباله نامیم

[ نکاتی در مورد دنباله ها ]

1 -هر دنباله یک تابع است
2 -هر دنباله یک رابطه است
3 -هر دنباله یک مجموعه است
4 -یک مجموعه الزاما دنباله نمیباشد
5 -هر مجموعه شمارا یک دنباله است
6 -هر مجموعه شمارای نامتناهی را میتوان به صورت دنباله ای با اعضای دو به دو مجزا نوشت
7 -هیچ دنباله ای موجود نیست که برد آن ناشمارا گردد
8-از نکته 7 داریم که هیچ دنباله ای موجود نیست که برد آن برابر R یا مجموعه اصم گردد
9 -اگر دنباله ای که به بینهایت میل نکند، نمیتوان نتیجه گرفت که الزاما کراندار است
10 -دنباله حالت خاصی از تور (net) است
11 -همه زیر دنباله های یک دنباله همگرا، همگرا میباشند
12 -هر دنباله بینهایت زیر دنباله دارد
13 -هر دنباله یک زیر دنباله است
14 -اگر تمام عضای یک دنباله همگرا را در یک مجموعه قرار داده و عضوی که دنباله به آن همگراست به مجموعه اضافه کنیم ، یک مجموعه فشرده به دست میاید
15 -در یک فضای متریک گسسته همگرایی دنباله معادل است با اینکه از اندیسی به بعد همه جملات دنباله برابر عدد ثابت گردد
16 -در هر فضای متریک، هر دنباله ثابت همگراست
17 -هر دنباله با برد متناهی در یک فضای متریک، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
18 -هر عدد گنگ حد دنباله ای از اعداد گویاست
19 -هر عدد گویا حد دنباله ای از اعداد گنگ است
20 -گوییم x حد زیر دنباله ای است اگر و تنها اگر هر همسایگی x شامل بینهایت نقطه متعلق به دنباله باشد
21 -مجموعه حدود زیر دنباله ای، دنباله n در R برابر تهی است
22 -اگر مجموعه Q را به متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q دقیقا برابر است با Q
23 -اگر مجموعه N و Z را به متر اقلیدسی مجهز کنیم آنگاه دنباله n / ا در این فضاها همگر نمیباشند
24 -در یک فضای متریک هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
25 -در هر فضای متریک فشرده، هر دنباله فقط با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
26 -در هر فضای نرمدار متناهی البعد هر دنباله کراندار حداقل دارای یک زیر دنباله همگراست
27 -در یک فضای نرمدار متناهی البعد، هر دنباله کراندار که فقط دارای یک زیر دنباله همگرا باشد، به حد زیر دنباله همگراست
28 -در یک فضای نرمدار متناهی البعد همگرا و کوشی بودن یک دنباله معادلند
29 -در فضای متریک گسسته کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند
30 -در هر فضای متریک فشرده، کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند
31 -هر دنباله از اعداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
32 -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار همگراست
33 -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است ولی لزوما همگرا نیست
34 -بنا به نکته 28 یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها اگر کوشی باشد
35 -بنا به نکته 28 یک دنباله مختلط کوشی است اگر وتنها اگر همگرا باشد
36 -یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها زیر دنباله های زوج و فرد در R به عدد يكسان همگرا باشند