اعضای توپولوژی نرم
فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / ll x - y ll< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r≥0}
پایه ای که این توپولوژی تولید میکند توپولوژی نرم است.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند

اعضای توپولوژی ضعیف به صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو **x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب

وضعیت تک نقطه ای ها در فضاهای مختلف

۱ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضاهای زیر بسته اند
الف: فضای متریک
ب: فضای باناخ
ج: فضای هیلبرت
ت: جبر باناخ
پ: جبرهای فون نویمان
چ: *c جبرها
د: فضای برداری توپولوژیک
۲ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضا زیر الزاما بسته نمیباشند
الف: فضای توپولوژیک

نکاتی از آنالیز

1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی یا ایزومورفیسم گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.
دو فضای برداری را ایزومورف یا یکریخت گوییم هرگاه یک یکریختی بین این دو فضا موجود باشد

۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپایی گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم ، یک به یک و پوشا باشد

۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد

۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند تابع T:X→Y را ایزومتری یا طولپایی گوییم هرگاه برای هر xㅌX:
ll Tx ll=llxll
دو فضای نرمدا X,Y را طولپای یا ایزومتری نامیم هرگاه یک طولپایی میانشان موجود باشد.

۵ -هر دو فضای طولپای هومئومورفیسم میباشند.

۶ -هر طولپایی دارای ویژگی های زیر است
الف: یک به یک بودن
ب: پیوستگی
پ: پیوستگی یکنواخت
د: تابع لیپ شیتس با ثابت یک

۷-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد

۸-فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد

نکاتی راجع به اندازه لبگ و اندازه برل

1-مفهوم اندازه لبگ توسیع طول، مساحت و حجم است

۲-اندازه لبگ هر شکل هندسی در صفحه R²، برابر مساحت و در فضای R³ ، برابر حجم میباشد

۳-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ برابر است با اجتماعی از مجموعه اندازه پذیر برل و مجموعه اندازه پذیر لبگ با اندازه صفر

۴-هر تابع تقریبا همه جا اندازه پذیر لبگ برابر است با تابع اندازه پذیر برل

۵-اگر A اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه مجموعه اندازه پذیر برل B موجود است که A زیر مجموعه B میباشد و اندازه لبگ (B-A ) صفر میباشد

۶-هر بازه در فضای Rⁿ ، مجموعه اندازه پذیر لبگ میباشد

۷-هر زیر مجموعه متناهی فضای Rⁿ، دارای اندازه لبگ صفر است

۸-هر زیر مجموعه شمارا فضای Rⁿ ، دارای اندازه لبگ صفر است

۹-مجموعه های اندازه پذیر لبگ را میتوان با مجموعه های باز تقریب زد

1۰-هر زیر مجموعه برل فضای Rⁿ، اندازه پذیر لبگ است

11-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ شامل مجموعه اندازه پذیر برل با همان اندازه است

1۲-اندازه لبگ روی فضای Rⁿ ، یک اندازه منظم برل میباشد

1۳-هر اندازه برل روی فضای Rⁿ ، یک اندازه برل منظم میباشد

1۴-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ، الزاما اندازه پذیر برل نیست

1۵-هر زیر مجموعه فضای Rⁿ ، الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد

1۶-تنها اندازه برل معین بر فضای Rⁿ ، که نسبت به انتقال ناورداست اندازه لبگ میباشد

1۷-اگر A زیر مجموعه R، و هر زیر مجموعه R اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه اندازه لبگ A صفر می باشد

1۸-سیگما جبر مجموعه های اندازه پذیر برل دارای عدد اصلی c و عدد اصلی مجموعه های اندازه پذیر لبگ دارای عدد اصلی ۲ به توان c میباشد

1۹-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر میباشد

۲۰-مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر برل نمیباشد

۲1-مجموعه های برل فضای Rⁿ ،دقیقا عبارت اند از سیگما جبر تولید شده به وسیله مجموعه های فشرده

۲۲-اگر زیر مجموعه E از Rⁿ ،دارای اندازه لبگ صفر باشد آن گاه درون E تهی میباشد

۲۳-اگر زیر مجموعه E از بازه [0,1]دارای اندازه لبگ یک باشد آنگاه E در بازه [0,1]چگال میباشد

۲۴-اندازه لبگ هر مثلث در صفحه R² ، برابر مساحت آن میباشد

۲۵-سیگما جبر برل شامل مجموعه های باز، مجموعه های بسته، اشتراک شمارا از مجموعه های باز و اجتماع شمارا از مجموعه های بسته میباشد

نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0

۲: توپولوژی قوی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت بالا منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

۳: دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0

نرم های معادل یکریخت توپولوژیک یا همون هومئومورفیسم خطی اند.
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است
در حالت کلی یکریختی طولپایی از یکریختی توپولوژیکی قویتر میباشد زیرا علاوه بر خواص توپولوژیکی، خواص متریکی نیز توسط یکریختی طولپایی حفظ میگردد

نکاتی در مورد همگرایی ضعیف

الف: فرض کنیم X فضای نرمدار باشد توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

۲ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی ضعیف روی (B(н, ң به صورت زیر تعریف میکنیم
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0

۳ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0

نکاتی از آنالیز
۱ ــطیف یک عضو به جبر شامل آن عضو بستگی دارد
۲ -شعاع طیفی مستقل از جبر باناخی است که در آن قرار دارد و آن را میتوان با کوچکترین جبر باناخی که شامل x است میتوان به دست آورد
۳ -طیف یک جبر باناخ ممکن است تهی باشد
۴ -طیف یک جبر باناخ فشرده است و در یک گوی بسته قرار دارد

نکاتی از آنالیز
۱ ــطیف یک عضو به جبر شامل آن عضو بستگی دارد
۲ -شعاع طیفی مستقل از جبر باناخی است که در آن قرار دارد و آن را میتوان با کوچکترین جبر باناخی که شامل x است میتوان به دست آورد
۳ -طیف یک جبر باناخ ممکن است تهی باشد
۴ -طیف یک جبر باناخ فشرده است و در یک گوی بسته قرار دارد

نکاتی از آنالیز
۱ -فضای توپولوژیک X را نرمال گوییم هرگاه هر جفت از مجموعه های بسته جدا از هم، توسط تابعی پیوسته جدا گردند
۲ -فضای متریک و فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده، فضاهای نرمالندص

نکاتی از آنالیز
یک مجموعه الزاما دنباله نیست ولی هر مجموعه شمار مانند A یک دنباله است چون شمارایی A ایجاب میکند که A با N هم عدد باشد لذا یک تابع مانند
F:N→A
موجود است که یک دنباله است
۲ -از هر مجموعه نامتناهی میتوان تعداد شمارا عضو دو به دو متمایز خارج کرد
۳ -هر دنباله یک مجموعه است
۴ -اگر دنباله aⁿ به بینهایت میل نکند نمیتوان نتبجه گرفت که aⁿ حتما کراندار است

نکته ای از آنالیز
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک انقباض با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است

۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است

نکته ای از آنالیز
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک لیپ شیتس با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است
۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است
۱۲ -داریم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }=1
۱۳ -عملگر T کراندار نقـطه به نقطه است
۱۴ - عملگر T کراندار یکنواخت
است
۱۵ - عملگر T یکریخت طولپاست
۱۶ - عملگر T یکریخت توپولوژیک است

تعریف زیر پایه:
فرض کنیم (X , T) یک فضای توپولوژیک باشد گردایه Л از زير مجموعه هاى X را یک زیر پایه برای توپولوژی T نامیم هرگاه گردایه اشتراک های متناهی از اعضای Л تشکیل یک پایه برای توپولوژی T دهد.

نکته ۱: در تعریف بالا کوچکترین توپولوژی حاوی Л حاصل میگردد.

تعریف پایه:
فرض کنیم (X , T) یک فضای توپولوژیک باشد گردایه Д از زير مجموعه هاى X را یک پایه برای توپولوژی T نامیم هرگاه اجتماع های دلخواه از اعضای Д توپولوژی T را تولید کند.

نکته ۲: اجتماع های دلخواه از یک گردایه لزوما تشکیل پایه نمیدهند

اعضای توپولوژی ضعیف ستاره صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای ب

نکاتی در مورد:

توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره

فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد

نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X

فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.

مراحل ساختن:

مرحله اول:
بتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تابع وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.

مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)

مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)

نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.


۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید

۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند

۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند

۶-وقتی که بیان می‌شود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد

۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست

۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است

۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است

فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ

اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند

نکته ای از آنالیز
هر تابع محدب در نقاط درونی دامنه اش پیوسته است بنابراین دو حالت زیر را داریم:
الف: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه باز مانند l باشد چون f پیوسته است لذا برد تابع یعنی (f(l نیز یک بازه است( چون هم بندی توسط تابع پیوسته حفض میگردد) لذا مجموعه محدب میشود.
ب: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه غیر باز باشد در این صورت برد تابع f لزوما محدب نمیگردد:
برای مثال تابع دو ضابطه ای
f: [0,1]→R
با ضابطه1= (f(x برای x=0 و با ضابطه0= (f(x برای [xㅌ(0,1 یک تابع محدب است ولی برد آن یعنی مجموعه {0,1} محدب نیست

اندازه لبگ

1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.

همچنین این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.


اندازه برل

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت سیگما جبر تولید شده توسط توپولوژی T را سیگما جبر برل نامیم و این سیگما جبر را با K نمایش میدهیم.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.

نکته ۱: تعریف های معادل برای مجموعه های برل:

الف: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های بسته است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

ب: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های باز است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

نکته ۲: روی یک فضای اندازه پذیر بیشمار تابع اندازه قابل تعریف است که آن را به یک فضای اندازه تبدیل کند.
بنابراین روی برل اندازه پذیرها هم میتوان نیز میتوان بیشمار تابع اندازه تعریف کرد.

نکته ۳: تابع اندازه پذیر منحصر به فردی روی برل اندازه پذیرها میتوان تعریف کرد که اندازه هر بازه برابر طول بازه باشد و آن همتن تحدید اندازه لبگ به سیگما جبر برل میباشد.

نکته ۴: فرض کنیم K سیگما جبر برل باشد، یک تابع مانند f از فضای اندازه پذیر (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را تحت تابع وارون f به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم.

سلام وقت به خیر. ببخشید فرق نگاشت و تابع چیه؟ تابع زمانی وارون پذیره که یک به یک باشه یا یک به یک و پوشا؟