حسابان تابعی پیوسته (Continuious Functional calculus)
فرض کنیم x عضو نرمالی از *c جبر A باشد. [A[x نیز *c زیر جبر تولید شده تویط عضو x باشد. در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال [A[x (که متشکل از تابعک های خطی ضربی بر [A[x میباشد) را با (σ(x یکی میگیریم.نسبت به این یکی سازی تبدیل گلفند
Ф: A[x]→C(σ(x))
یک *c یکریختی پوشاست.
فرض کنیم x عضو نرمال از یک *c جبر A باشد در این صورت حسابان تابعی پیوسته را به صورت زیر تعریف میکنیم:
Φ: A[x]→C(σ(x))
که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Ф یک *c یکریختی پوشاست
ب: برای تمام f های متعلق به
C(σ(x))
داریم:
f(σ(x))= σ(f(x))

نکاتی از آنالیز
۱-دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
۲ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0

۳-فرض کنیم xⁿ دنباله ای در فضای نرمدار X باشد داریم:
الف: همگرایی قوی xⁿ به x، همگرایی ضعیف xⁿ را نتیجه میدهد
ب: عکس الف در حالت کلی درست نیست
پ: اگر بعد فضای نرمدار X متناهی
باشد آنگاه همگرایی ضعیف xⁿ ،همگرایی قوی xⁿ را نتیجه میدهد
ت: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه این حد منحصر به فرد میباشد
م: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه xⁿ کراندار میباشد
۴-بنا به قسمت پ نکته ۱ در Rⁿ, Cⁿ همگرایی قوی و همگرایی ضعیف بی معناست و فقط همگرایی قوی را داریم.

نکاتی از عملگرها
۱ -فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و T: H→H یک عملگر باشد
(نماد ㄷ را برای زیرمجموعه بودن به کار میبریم)
بافرضیات بالا داریم:
الف: T را متقارن نامیم هرگاه
T ㄷ T** ㄷ T*
ب: T را متقارن بسته نامیم هرگاه
T = T** ㄷ T*
ث: T را اساسأ خودالحاق نامیم هرگاه
T ㄷ T** = T*
پ: T را خودالحاق نامیم هرگاه
T = T** = T*
۲ -اگر T کراندار باشد الف و پ با هم معادل میگردند
۳ -قسمت الف نکته ۱ معادل است با:
(Tx,y)=(x,Ty)

اگر مجموعه A زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی بوده و برای هر عضو a از A داشته باشیم:
a ≤ M
آنگاه:
Sup A ≤ M
2 -سوپریموم، اینفیموم، ماکسیموم و مینیموم برای اعداد مختلط تعریف نمیشوند
۳ -اگر A و B دو زیرمجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی باشند به طوری که A زیر مجموعه B باشد و B نیز از بالا کراندار باشد آنگاه:
Sup A ≤ Sup B

نکاتی در مورد همگرایی دنباله
۱ -هر دنباله از عداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
۲ -در فضای هاسدورف حد هر دنباله یکتاست
۳ -در فضای T¹ ممکن است یک دنباله به تمام نقاط فضا همگرا باشد
۴ -نکته ۳ نشان میدهد در فضای غیر هاسدورف الزاما حد یکتا نیست
۵ -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار، همگراست
۶ -هر دنباله همگرا ، کراندار است
۷-هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
۸ -گوییم x یک نقطه حدی دنباله xⁿ است اگر و تنها اگر زیر دنباله ای از این دنباله موجود باشد که به x همگرا باشد
۹ -هر دنباله کراندار در R دارای زیر دنباله ای همگراست
۱۰ -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است
۱۱ -هر دنباله همگرا یک دنباله کوشی است
۱۲ -در فضای متریک گسسته ، کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۳ -در Rⁿ,Cⁿ کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۴ -بنا به ۱۳ دنباله حقیقی xⁿ همگراست اگر و تنها اگر کوشی باشد
۱۵ -دنباله xⁿ به x همگراست اگر وتنها اگر هر زیردنباله آن به x همگرا باشد
۱۶ -هر دنباله از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله ای یکنوا است
۱۷ -اگر نقطه حدی یک دنباله را با اعضای دنباله در یک مجموعه قرار دهیم، مجموعه حاصل یک مجموعه فشرده میباشد
۱۸ -در یک فضای متریک هر دنباله با برد متناهی، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
۱۹ - اگر Q را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر Q میباشد
۲۰ - اگر R را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر R میباشد
۲۱ - اگر [۰،۱] را با متر اقلیدسی مجهز کنیم، در این صورت در این فضا هر دنباله با یک زیر دنباله همگرا، همگرا میباشد
۲۲ -فشردگی یک فضای متریک معادل است با اینکه هر دنباله در این فضا دارای زیر دنباله همگرا باشد

فضای بازتابی
فرض کنیم Y یک فضای نرمدار باشد، هر بردار y از Y موجب پیدایش یک تابعک خطی پیوسته ў روی *Y به فرم زیر میگردد:
ў: Y* → R
ў(F)=F(y)
بنابر این ў پیوسته و متعلق به **Y
میباشد.
(تعریف میکنیم *Y را دوگان Y، و **Y را دوگان دوم Y)
بعلاوه نگاشت
i: Y→i[Y]
i(y)=ў
یک یکریختی طولپاست که [i[Y یک زیرفضای **Y میباشد.
اگر Y باناخ باشد آنگاه [i[Y یک زیرفضای بسته **Y میباشد.
نگاشت i از Y به توی **Y را نشاننده طبیعی نامیم.
یک فضای نرمدار Y یک فضای بازتابی نامیده میشود أگر نشاننده طبیعی که در بالا معرفی شد پوشا باشد یعنی
i[Y]=Y

نکاتی از آنالیز
۱ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامند هرگاه بتوان نرم آن را از یک ضرب داخلی روی H به دست آید
۲ -اگر H نسبت به این نرم کامل باشد، در این صورت H را یک فضای هیلبرت نامند
۳ -فضاهای هیلبرت رده خاصی از فضاهای باناخ است
۴ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامیم اگر وتنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند
۵ -هر فضای هیلبرت در قانون متوازی الاضلاع صدق میکند
۶ -عکس ۵ الزاما برقرار نیست

نکاتی از آنالیز
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۳ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه T ، یک به یک و پوشا و پیوسته باشد و وارون T نیز باید پیوسته باشد

نکاتی از آنالیز
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد

۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد

۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد

۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای توپولوژیک باشند تابع f: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه f، یک به یک، پوشا و پیوسته باشد در ضمن وارون T نیز باید پیوسته باشد

۵ -فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد

۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۷-هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند

هم پیوستگی یا یکسان پیوستگی (equicontinuous)
فرض کنیم X یک فضای توپولوژیک و S زیر مجموعه (C(X باشد.گویم مجموعه S در نقطه a از X هم پیوسته است هرگاه به ازای هر ξ>0 یک همسایگی a مانند V موجود باشد به طوری که برای هر f متعلق به S، رابطه b متعلق به V مستلزم رابطه زیر باشد:
lf(b)-f(a)l< ξ
اگر S در هر نقطه X هم پیوسته باشد S را مجموعه هم پیوسته نامیم.
اگر (X,d) یک فضای متریک فشرده و A زیر مجموعه هم پیوسته (C(X باشد آنگاه A به طور یکنواخت هم پیوسته است

هر مجموعه اندازه پذیر برل اندازه پذیر لبگ است ولی عکسش لزوما برقرار نمیباشد.
اعضای سیگما جبر برل مجموعه های بازند و هر عضو (a,b) از سیگما جبر برل را می توانیم به صورت اجتماع شمارا از بازه هایی به شکل زیر نوشت:
[a + 1/k , b)
که عضوی از سیگما جبر لبگ میباشد. لذا هر عضو سیگما جبر برل یک عضو سیگما جبر لبگ است.
بنابراین وقتی برای یک مجموعه X سیگما جبر برل و سیگماجبر لبگ را تشکیل میدهیم هر عضو سیگما جبر برل که یک مجموعه باز میباشد خواه ناخواه در سیگما جبر لبگ قرار میگیرد ولی اعضایی در سیگما جبر لبگ موجودند که مجموعه ای باز نمیباشند لذا در سیگما جبر برل قرار نمیگیرند.
به عبارت دیگر چون تعداد اعضای سیگما جبر لبگ از تعداد اعضای سیگما جبر برل بیشتر است حداقل یک عضو در سیگما جبر لبگ میباشد که آن عضو در سیگما جبر برل نمیباشد.

نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
۲ -توپولوژی های روی (B(н, ң را به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم یا توپولوژی یکنواخت:
توپولوژی ای است که به وسیله عملگر نرم تولید میگردد.
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ →T
اگر وتنها اگر

Lim ll Tⁿ - T ll=Lim[ Sup { ll( Tⁿ - T ) x / ll x ll≤ 1 } ]→ 0
ب: توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0
پ: توپولوژی ضعیف:
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0
۳ -اگر فضای (B(н, ң را به هر سه توپولوژی بالا که بیان کردم مجهز کنیم یک فضای باناخ به دست میاید

نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره

فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد

۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید

۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند

۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند

۶-وقتی که بیان می‌شود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد

۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست

۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است

۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است

فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ

اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند

اندازه لبگ و اندازه برل
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم

هر مجموعه اندازه پذیر برل اندازه پذیر لبگ است ولی عکسش لزوما برقرار نمیباشد.
اعضای سیگما جبر برل مجموعه های بازند و هر عضو (a,b) از سیگما جبر برل را می توانیم به صورت اجتماع شمارا از بازه هایی به شکل زیر نوشت:
[a + 1/k , b)
که عضوی از سیگما جبر لبگ میباشد. لذا هر عضو سیگما جبر برل یک عضو سیگما جبر لبگ است.
بنابراین وقتی برای یک مجموعه X سیگما جبر برل و سیگماجبر لبگ را تشکیل میدهیم هر عضو سیگما جبر برل که یک مجموعه باز میباشد خواه ناخواه در سیگما جبر لبگ قرار میگیرد ولی اعضایی در سیگما جبر لبگ موجودند که مجموعه ای باز نمیباشند لذا در سیگما جبر برل قرار نمیگیرند.
به عبارت دیگر چون تعداد اعضای سیگما جبر لبگ از تعداد اعضای سیگما جبر برل بیشتر است حداقل یک عضو در سیگما جبر لبگ میباشد که آن عضو در سیگما جبر برل نمیباشد.

نکاتی راجع فضاهای همبند، موضعا هم بند، همبند راهی

1-فرض کنیم X یک فضا توپولوژیک باشد در این صورت جداساز X زوج مرتبی مانند(U, V) میباشد که U و V مجموعه های باز ناتهی با اجتماع X و اشتراک تهی میباشند

۲-فضای X را همبند گوییم هرگاه هیچ جداسازی نداشته باشد

۳-هرگاه (U, V) جداساز X باشند آنگاه U و V هم بازند و هم بسته

۴-هرگاه (U, V ) جداساز X باشند آنگاه U بستار، اشتراکش با V تهی است

۵-فرض کنیم X فضای توپولوژیک باشد آنگاه نکات گزاره های زیر با هم معادلند:
الف:X همبند است
ب: X را نمی‌توان به صورت اجتماع دو زیر مجموعه غیرخالی، بسته و جدا از هم نوشت
ج: X را نمی‌توان به صورت اجتماع دو زیر مجموعه غیر خالی مانند A و B نوشت به طوری که A بستار با B بستار هیچ اشتراکی نداشته باشد
د:تنها زیر مجموعه های X که در عین حال هم بازند و هم بسته تهی و X اند
چ-به ازای هر زیر مجموعه واقعی و غیر خالی X مانند A، مرز A مخالف تهی می باشد

۶-هر فضای توپولوژیک ناگسسته هم بند است

۷-هر فضای توپولوژیک گسسته مانند X زمانی همبند است که X تهی یا مجموعه یکانی باشد

۸-فرض کنیم X نامتناهی باشد در این صورت توپولوژی متمم متناهی در X همبند است

۹-فرض کنیم X ناشمارا باشد در این صورت توپولوژی متمم شمارا در X همبند است

۱۰-مجموعه اعداد گویا، گنگ، صحیح و مجموعه اعداد طبیعی کلا ناهمبندند

۱۱-هم بندی تحت تابع پیوسته حفظ میگردد

۱۲ -فضای X همبند است اگر وتنها اگر هر تابه پیوسته از X به توی مجموعه ۰ و 1، با توپولوژی گسسته، تابع ثابت باشد

۱۳-یک زیر مجموعه همبند نمیتواند یک مجموعه باز و بسته فضا مانند A و متمم آن را قطع کند

۱۴-در هر فضا توپولوژیک، مجموعه خالی همبند است

۱۵-همه زیر مجموعه های یکانی فضای توپولوژیک همبندند

۱۶-در فضای توپولوژیک متمم متناهی یک زیر مجموعه همبند است اگر وتنها اگر تباهیده یا نامتناهی باشد

۱۷-در یک فضای گسسته تنها زیر مجموعه های همبند، زیر مجموعه های تباهیده اند

۱۸-فرض کنیم Y زیر فضای همبند X باشد، در این صورت اگر Z، مابین Y و بستار Y قرار گیرد آنگاه Z نیز هم بند است

۱۹-حاصل ضرب هر تعداد متناهی از فضاهای توپولوژیک همبند، همبند است

۲۰-یک زیر مجموعه همبند X مانند A را مولفه X گوییم در صورتی که A زیر مجموعه واقعی هیچ زیر مجموعه همبند X نباشد

۲۱-نکته ۲۰ نشان میدهد که فضای توپولوژیک X را میتوان به زیر فضاهای همبند ماکسیمال، دو به دو جدا از هم تجزیه کرد

۲۲-اگر X یک فضای غیر خالی باشد آنگاه هر مولفه X نیز غیر خالی است

۲۳-فضای X همبند است اگر وتنها اگر X تنها مولفه فضا باشد

۲۴-در هر فضای توپولوژیک گسسته تنها مولفه های فضا، زیر مجموعه های تباهیده اند

۲۵-تصویر یک مولفه تحت یک تابع پیوسته ممکن است یک مولفه نباشد

۲۶-اگر f تابعی پیوسته بین دو فضای توپولوژیک X, Yباشد و B یک مولفه در Y باشد آنگاه تصویر وارون B تحت f اجتماعی از مولفه های X است

۲۷-اگر تابع f یک همسانریختی باشد آنگاه f و وارون f هر مولفه را به یک مولفه تصویر میکنند

۲۸-تعداد مولفه های یک فضای توپولوژیک، یک پایای توپولوژیک است

۲۹-بازه های R جملگی همبندند

۳۰-فضای Rⁿ همبند است

۳۱-فضای توپولوژیک X را موضعا هم بند گوییم هرگاه در هر نقطه اش به طور موضعی هم بند باشد

۳۲-در یک فضای موضعا همبند هر مولفه هم باز و هم بسته است

۳۳-هر فضای توپولوژیک ناگسسته موضعا همبند است

۳۴-هر فضای گسسته موضعا هم بند است

۳۵-مجموعه R موضعا همبند است

۳۶-فضای توپولوژیک متمم متناهی موضعا همبند است

۳۷-اگر f تابعی پیوسته از فضای موضعا همبند X به روی فضای توپولوژیک Y باشد آنگاه Y نیز موضعا همبند است

۳۸-اگر فضای X موضعا همبند باشد آنگاه هر فضای همسانریخت با X نیز موضعا همبند است

۳۹-حاصل ضرب دو فضای موضعا همبند نیز، موضعا همبند میباشد

۴۰-هر فضای کلا ناهمبند و موضعا همبند، یک فضای توپولوژیک گسسته میباشد

۴۱-مجموعه اعداد گویا و گنگ موضعا همبند نمیباشند

۴۲-فضای توپولوژیک X را همبند راهی نامیم هرگاه به ازای هر دو نقطه از X مانند a, b راهی از a به b موجود باشد

۴۳-هر فضای همبند راهی، یک فضای همبند است

۴۴-یک فضای همبند ممکن است همبند راهی نباشد

۴۵-اگر f تابعی پیوسته از فضای همبند راهی X برروی فضای توپولوژیک Y باشد آنگاه Y نیز همبند راهی است

۴۶-حاصل ضرب هر تعداد متناهی از فضای همبند راهی یک فضای همبند راهی است

۴۷-در فضای Rⁿ یک مجموعه باز ، همبند است اگر وتنها اگر همبند راهی باشد

۴۸-وقتی یک فضا همبند همبند راهی نباشد میتوان آن را به فضای همبند راهی تجزیه کرد

۴۹-مولفه های راهی یک فضا، زیر مجموعه های همبند راهی آن فضا هستند

۵۰-فرض کنیم X یک فضای توپولوژیک باشد به طوری که به ازای هر دو نقطه متمایز آن مانند a, b زیر مجموعه همبندی از X شامل a, b موجود باشد،

در این صورت X همبند است

۵۱-اگر A, B دو زیرمجموعه باز فضای توپولوژیک X باشند به طوری که اجتماع و اشترکشان هم بند باشد آنگاه A, B نیز همبندند

۵۲-اگر Y زیر مجموعه همبند فضای توپولوژیک X باشند آنگاه درون Y و مرز Y الزاما همبند نمیباشند

۵۳-هر زیر مجموعه باز و بسته فضا توپولوژیک، اجتماعی از مولفه های فضاست

۵۴-یک توپولوژی کلا ناهمبند حاوی توپولوژی متمم متناهی است

۵۵-اشتراک دو زیر مجموعه همبند یک فضای توپولوژیک الزاما همبند نمیباشد

۵۶-حاصل ضرب دو فضای کلا ناهمبند فضایی کلا ناهمبند است
۵۷-یک فضای فشرده و موضعا همبند دارای تعداد متناهی مولفه است

۵۸-اگر F زیر مجموعه شمارا فضای دوبعدی R باشد آنگاه متمم F همبند راهی است

۵۹-هر فضای همبند و موضعا همبند راهی یک فضای همبند راهی است

۶۰-هر زیر فضای باز یک فضای موضعا همبند راهی یک فضای موضعا همبند راهی است

دو نکته از آنالیز ریاضی‌:

1-هر تابع پیوسته از R به R که فقط مقادیری غیر اعداد گنگ اختیار کند یک تابع ثابت است

۲-اگر مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد صحیح و هر زیر مجموعه آنها را به متر معمولی مجهز کنیم فضای متریک گسسته تولید میکنند.

۱-در یک فضای نرمدار یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نمیباشد

۲ -در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا یک سری همگراست
مانند Rⁿ,Cⁿ

۳-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X کامل اس ت

۴ -هر تجدید آرایش یک سری مطلقا همگرا با مجموع s، نیزیک سری مطلقا همگرا با مجموع s است.

نکاتی از آنالیز

1-در فضای برداری متناهی البعد همه نرم ها معادلند

۲_قضیه هانیه برل برای هر فضای نرمدار متناهی البعد صادق است

۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا

۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد

۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است

۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست

۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست

۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است

۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست

1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است

11-فضای إل وان و إل بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند

1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند

1۳-فرض کنیم Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند

14 -در 13 اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست

1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است

1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق هر سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه ، بستار X باناخ است

1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است

1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است

نرم های معادل یکریخت توپولوژیک یا همون هومئومورفیسم خطی اند.
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است