Задача 82:

Дан треугольник ABC с инцентром I. Отличная от BC прямая, касающаяся его вписанной окружности и параллельная BC, пересекает (ABC) в точках X и Y. Докажите, что AX * AY = AI²

Задача 83:

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На (ABC) выбирается произвольная точка P. Серпер к AP пересекает AB и AC в точках X и Y.  M и N - середины AC и AB. Докажите, что прямые AP, MX и NY пересекаются в одной точке

Задача 84:

Дан треугольник ABC. Касательные в B и C к (ABC) пересекаются в T. Точки X и Y на BC таковы, что AX // BT и AY // CT. M и N - середины AB и AC. Докажите, что прямые MX, NY и AT пересекаются в одной точке

С новым годом!🎄

Задача 85:

Внутри треугольника ABC выбрана такая точка P, что сумма углов PAB + PBC + PCA = 90. Также известно, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке, где D, E, и F - проекции P на стороны треугольника. Найдите все такие точки P

Геома с рега как-то не впечатлила(( Так что порешайте вот этот шедевр

Задача 86:
Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC. Луч PQ пересекает (ABC) в точке R. Прямая, симметричная BC относительно PQ, пересекает AR в точке X. Докажите, что точки A, P, Q, X лежат на одной окружности

Задача 87:

Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.Касательная в точке A к окружности (APQ) пересекает (ABC) в точке K.Оказалось, что PQ проходит через точку пересечения медиан G, докажите, что тогда окружность (KPQ) проходит через центр (ABC)

Задача 88:

В треугольнике ABC отмечены точки Торричелли T1 и T2 и центроид M.Докажите что педальные окружности точек A, B и C относительно треугольника T1T2M соосны

Задача 89:

P_aP_bP_c - чевианный треугольник точки P относительно ABC, окружности (P_aP_bC) и (P_aP_cB) пересекаются в точке M, на прямой MP_a выбрана такая точка K, что PK параллельна ВС, Q - отражение K относительно P.Докажите, что P_cP_bPQ - вписанный четырехугольник.

Дорогие подписчики, мы с Ваней Полянским представляем вам КРОПОЛЯТОР!

‎Теперь машина умеет считать задачи не только в комплексных (компланатор), но и в БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ (бариканатор, можно переключить движок) координатах! Также появилась возможность работать с КОНИКАМИ.
‎
‎Также в компланатор мы встроили ГЕНЕРАТОР ЗАДАЧ. На вход он принимает нарисованную конструкцию, пользователь ограничивает число построений в теореме, количество слоев и бюджет поиска, после чего машина ищет ВСЕ ТЕОРЕМЫ с данными ограничениями (НЕ СЧИТАЮЩИЕСЯ В УГЛАХ). Простенький алгоритм сортирует задачи по интересности (чаще всего не супер), к каждой есть опция нарисовать и получить текстовое условие. Очевидные факты часто проскакивают, но в целом их не так много.
‎
‎Генератор может работать довольно долго (час-два), если дать ему слабые ограничения на постноения и большой бюджет. Так что перед использованием попробуйте сгенерировать базовые теоремы (не считающиеся в углах!!).
‎
‎Если вам удалось нагенерировать что-то интересное, мы просим показать нам, может, даже на олимпиаду закинем.
‎
‎Совершенствоваться еще есть куда, поэтому новые апргейды будут (нужно научить генератор проверять теоремы на следствия, реализовать баянатор, научить придумывать синтетику и т.д.). Пока что подписчики канала могут забрать крополятор по ссылке через бот:

https://t.me/WhatTheFileBot?start=CMNqfAkQLgxFICWBAc2YAKSQCUpGRfFNMHHhz31IJpdF6r3gBy1fBA

Р90:

На высоте AD треугольника ABC отмечена точка K такая, что AK=2KD.На прямых BK и CK выбраны точки B1 и C1 такие, что треугольники AB1C и AC_1B равнобедренные. Докажите, что углы BAC1 и CAB1 равны.