Задача 80:

Сегодняшнее обсуждение в олгео напомнило вот такую задачу, думаю условие и из картинки всем понятно. А изначально в чате всплыл следующий факт:
Дана коника с фокусом F и касающаяся ее прямая l. Докажите, что проекция F на l лежит на фиксированной окружности, не зависящей от выбора l

Сегодня 1 декабря, а это значит, что начался заочный тур олимпиады имени И.Ф.Шарыгина!

На сайте уже появился вариант! По-моему он довольно хороший. Приятного времяпровождения!

Задача 81:

Не так давно благодаря кубку Колмогорова стал печально известен внешний случай леммы Саваямы, который, конечно, не верен, в чем легко убедиться простым советским построением в геогебре. По такому случаю предлагаю порешать внешний случай аватарки GeoCraft (формулировать я ее не буду, а то еще скажут, что неверно...)

Задача 82:

Дан треугольник ABC с инцентром I. Отличная от BC прямая, касающаяся его вписанной окружности и параллельная BC, пересекает (ABC) в точках X и Y. Докажите, что AX * AY = AI²

Задача 83:

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На (ABC) выбирается произвольная точка P. Серпер к AP пересекает AB и AC в точках X и Y.  M и N - середины AC и AB. Докажите, что прямые AP, MX и NY пересекаются в одной точке

Задача 84:

Дан треугольник ABC. Касательные в B и C к (ABC) пересекаются в T. Точки X и Y на BC таковы, что AX // BT и AY // CT. M и N - середины AB и AC. Докажите, что прямые MX, NY и AT пересекаются в одной точке

С новым годом!🎄

Задача 85:

Внутри треугольника ABC выбрана такая точка P, что сумма углов PAB + PBC + PCA = 90. Также известно, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке, где D, E, и F - проекции P на стороны треугольника. Найдите все такие точки P

Геома с рега как-то не впечатлила(( Так что порешайте вот этот шедевр

Задача 86:
Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC. Луч PQ пересекает (ABC) в точке R. Прямая, симметричная BC относительно PQ, пересекает AR в точке X. Докажите, что точки A, P, Q, X лежат на одной окружности

Задача 87:

Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.Касательная в точке A к окружности (APQ) пересекает (ABC) в точке K.Оказалось, что PQ проходит через точку пересечения медиан G, докажите, что тогда окружность (KPQ) проходит через центр (ABC)

Задача 88:

В треугольнике ABC отмечены точки Торричелли T1 и T2 и центроид M.Докажите что педальные окружности точек A, B и C относительно треугольника T1T2M соосны