Math problems
Photo
این سوال کلا اشتباه هست.
اول روشی که بچه ها حل میکنن بررسی میکنیم و بعد میگم چرا سوال اشتباه هست.
روشی که بچه ها حل میکنن به این صورت هست:
f(x+y/2)-f(x-y/2)=2y.x^2+5y^2
از طرفین نسبت به y مشتق بگیرید (دقت کنید که x و y رو مستقل از هم میگیریم.):
(1/2)f’(x+y/2)+(1/2)f’(x-y/2)=2x^2+10y
الان اگه به جای x و y به ترتیب 3 و 0 قرار بدیم، داریم:
(1/2)f’(3)+(1/2)f’(3)=18
یا
f’(3)=18
دقت کنید همین نتیجه رو میشد با قرار دادن h با جای y (دقت کنید این تغییر متغیر نیاز نیست و صرفا برا این انجام میشه که به فرمی در بیاریم که باش آشناییم) و محاسبه حد بدست آورد:
f(x+h/2)-f(x-h/2)=2h.x^2+5h^2
طرفین رو بر h تقسیم کنید:
(f(x+h/2)-f(x-h/2))/h=2x^2+5h
و حد عبارت رو وقتی h داره به سمت صفر میل میکنه حساب کنید(اگه دقت کنیم، سمت چپ برابر f’(h) هست):
f’(x)=2x^2 (A معادله)
و اگه x رو سه قرار بدیم:
f’(3)=18
بدست میاد. (دقت کنید تو محاسبه حد، باز متغیر x و y (یا همون x و h) مستقل فرض شدن.)
(روش دوم احتمالا روشی بوده که مد نظر طراح بوده.)
ولی همه اینها اشتباه هست. اگه مساله رو یه جور دیگه حل کنیم به جواب دیگه ای میرسیم:
اگه
x=y/2
بگیریم (چون متغیرها مستقلن، میشه اینکارو انجام داد.)، داریم:
f(y)-f(0)=2y.(y/2)^2+5y^2
یا
f(y)-f(0)=(1/2).y^3+5y^2
از طرفین نسبت به y مشتق بگیرید:
f’(y)=(3/2)y^2+10y
و به جای y، سه بزارید:
f’(3)=27/2+30=87/2
بنابراین مساله درست نیست.
برا اینکه با روش دیگه چک کنیم که چنین تابع f با متغیرهای مستقل x و y وجود نداره که تو مساله صدق کنه، به این عملیات صرفا جبری دقت کنید:
f(x+y/2)-f(x-y/2)=2y.x^2+5y^2
اگه به جای y، منفی y بذاریم، داریم:
f(x-y/2)-f(x+y/2)=-2y.x^2+5y^2
طرفین دو معادله فوق با هم جمع کنید:
10y^2=0
که نتیجه میده:
y=0
یعنی فرض مستقل بودن x و y نمیتونه درست باشه. (y برا هر x، صفر درمیاد و مجاز نیست تغییر کنه.)
بنابراین سوال درست طراحی نشده . (اینو حتی میتونید با محاسبه تابع f از معادله A و چک کردن اینکه آیا تو معادله اصلی صدق میکنه، بررسی کنید. که اگه انجام بدید میبینید صدق نمیکنه).
به نظر میرسه طراح صرفا به صورت مکانیکی فکر کرده و ظاهرا به این توجه نداشته که اصلا چنین تابعی وجود داره یا نه.
مثل همیشه، روش غلط مد نظر طراح رو هم یاد بگیرید!
اول روشی که بچه ها حل میکنن بررسی میکنیم و بعد میگم چرا سوال اشتباه هست.
روشی که بچه ها حل میکنن به این صورت هست:
f(x+y/2)-f(x-y/2)=2y.x^2+5y^2
از طرفین نسبت به y مشتق بگیرید (دقت کنید که x و y رو مستقل از هم میگیریم.):
(1/2)f’(x+y/2)+(1/2)f’(x-y/2)=2x^2+10y
الان اگه به جای x و y به ترتیب 3 و 0 قرار بدیم، داریم:
(1/2)f’(3)+(1/2)f’(3)=18
یا
f’(3)=18
دقت کنید همین نتیجه رو میشد با قرار دادن h با جای y (دقت کنید این تغییر متغیر نیاز نیست و صرفا برا این انجام میشه که به فرمی در بیاریم که باش آشناییم) و محاسبه حد بدست آورد:
f(x+h/2)-f(x-h/2)=2h.x^2+5h^2
طرفین رو بر h تقسیم کنید:
(f(x+h/2)-f(x-h/2))/h=2x^2+5h
و حد عبارت رو وقتی h داره به سمت صفر میل میکنه حساب کنید(اگه دقت کنیم، سمت چپ برابر f’(h) هست):
f’(x)=2x^2 (A معادله)
و اگه x رو سه قرار بدیم:
f’(3)=18
بدست میاد. (دقت کنید تو محاسبه حد، باز متغیر x و y (یا همون x و h) مستقل فرض شدن.)
(روش دوم احتمالا روشی بوده که مد نظر طراح بوده.)
ولی همه اینها اشتباه هست. اگه مساله رو یه جور دیگه حل کنیم به جواب دیگه ای میرسیم:
اگه
x=y/2
بگیریم (چون متغیرها مستقلن، میشه اینکارو انجام داد.)، داریم:
f(y)-f(0)=2y.(y/2)^2+5y^2
یا
f(y)-f(0)=(1/2).y^3+5y^2
از طرفین نسبت به y مشتق بگیرید:
f’(y)=(3/2)y^2+10y
و به جای y، سه بزارید:
f’(3)=27/2+30=87/2
بنابراین مساله درست نیست.
برا اینکه با روش دیگه چک کنیم که چنین تابع f با متغیرهای مستقل x و y وجود نداره که تو مساله صدق کنه، به این عملیات صرفا جبری دقت کنید:
f(x+y/2)-f(x-y/2)=2y.x^2+5y^2
اگه به جای y، منفی y بذاریم، داریم:
f(x-y/2)-f(x+y/2)=-2y.x^2+5y^2
طرفین دو معادله فوق با هم جمع کنید:
10y^2=0
که نتیجه میده:
y=0
یعنی فرض مستقل بودن x و y نمیتونه درست باشه. (y برا هر x، صفر درمیاد و مجاز نیست تغییر کنه.)
بنابراین سوال درست طراحی نشده . (اینو حتی میتونید با محاسبه تابع f از معادله A و چک کردن اینکه آیا تو معادله اصلی صدق میکنه، بررسی کنید. که اگه انجام بدید میبینید صدق نمیکنه).
به نظر میرسه طراح صرفا به صورت مکانیکی فکر کرده و ظاهرا به این توجه نداشته که اصلا چنین تابعی وجود داره یا نه.
مثل همیشه، روش غلط مد نظر طراح رو هم یاد بگیرید!