В компании из 33 гномов у каждого есть колпак зеленого или красного цвета. Каждую минуту какой-то из гномов меняет цвет своего колпака на тот, который чаще всего встречается среди его друзей (у каждого гнома есть хотя бы один друг). Докажите, что через некоторое время цвета колпаков перестанут меняться.

📜 Листок #инвариант

На доске 9×9 центральная клетка покрашена в черный цвет, а все остальные клетки - в белый. За ход разрешается взять любой прямоугольник 1×4 и перекрасить все его клетки в другой цвет (белые - в черный, а черные - в белый). Можно ли за некоторое количество таких операций перекрасить всю доску в белый цвет?

📜 Листок #инвариант

Раскрасьте квадрат 6×6 в 2 цвета так:
1) чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.
2) чтобы у каждой белой клетки был ровно один черный сосед.
3) чтобы в каждом квадратике 2×2 было 3 черных клетки.

📜 Листок #раскраска

Из шахматной доски 8×8 вырезали 2 клетки. Можно ли оставшуюся доску замостить доминошками (1×2), если вырезали:
1) a1 и h8?
2) a1 и a8?

📜 Листок #раскраска

На доске 10×10 для "морского боя" стоит двухпалубный корабль. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать для того, чтобы гарантированно его "убить"?

📜 Листок #раскраска

Какими видами тетрамино (фигурок из 4 клеток) можно замостить доску 10×10?

📜 Листок #раскраска

Можно ли из квадрата 9×9 вырезать 17 квадратов 2×2?

📜 Листок #раскраска

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

📜 Листок #раскраска

На клетчатой бумаге произвольным образом отмечено 20 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 5 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом. Соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину.

📜 Листок #раскраска

Фигура "единорог" умеет смещаться либо на 3 клетки по горизонтали, либо на одну клетку по диагонали. Сможет ли единорог сделать 111 шагов и вернуться в исходную клетку?

📜 Листок #раскраска

Из клетчатого квадрата 100×100 вырезали 1000 квадратов 2×2. Докажите, что из оставшегося куска можно вырезать еще хотя бы 80 таких квадратиков.

📜 Листок #раскраска

🎉 С Днём Числа π!

Назовём клетку квадрата 7×7 удачной, если при её удалении оставшуюся доску можно разрезать на прямоугольники 1×3. Сколько всего удачных клеток?

📜 Листок #раскраска

Сколько существует четырёхзначных чисел, вторая цифра которых на 3 больше, чем третья цифра?

📜 Листок #комбинаторика

Можно ли из 4 палочек длины 1 см, 4 палочек длины 2 см, 7 палочек длины 3 см и 5 палочек длины 4 см сложить прямоугольник? (Использовать нужно все палочки, разламывать их нельзя.)

📜 Листок #можно

Вася задумал натуральное число, перемножил все его цифры и результат умножил на задуманное число. Могло ли у него получиться 1716?

📜 Листок #можно

Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух строках разным?

📜 Листок #можно

Найдите сумму 123456789 + 234567891 + 345678912 + ... + 912345678.

📜 Листок #вычисление

В квадрате 3×3 расставлены некоторым образом все целые числа от 1 до 9. Сначала подсчитали средние арифметические чисел в четырёх различных квадратах 2×2 (все они оказались целыми числами), а затем подсчитали среднее арифметическое полученных четырёх чисел (оно также оказалось целым). Какое наибольшее значение могло принимать последнее подсчитанное число?

📜 Листок #вычисление

Джон написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил сумму этих чисел на их произведение. После этого он стёр самое маленькое число и поделил сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Джон стёр?

📜 Листок #вычисление

Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

📜 Листок #делимость

Найдите все простые числа, для которых квадрат этого числа, увеличенный на 4 и квадрат этого числа, увеличенный на 6, также являются простыми числами.

📜 Листок #Простое_число