ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №23

Ответ

Нет. Полностью закрыть такую доску 31 домино невозможно.

С количеством клеток проблемы вроде бы нет:

64 − 2 = 62

И 31 домино занимают:

31 × 2 = 62

Поэтому одной проверки площади недостаточно.

Главная идея

Раскрасим доску как шахматную — в два чередующихся цвета.

На обычной доске 8×8 есть:

32 + 32

клетки двух цветов.

Два противоположных угла такой доски имеют одинаковый цвет. После их удаления остаётся:

30 клеток одного цвета
и
32 клетки другого.

Теперь посмотрим на любое домино 1×2.

Оно занимает две соседние по стороне клетки. При шахматной раскраске такие клетки всегда имеют разные цвета.

Значит, каждое домино обязательно закрывает одну клетку каждого цвета.

Если уложить 31 домино, они обязательно должны закрыть:

31 клетку одного цвета
и
31 клетку другого.

Но на доске осталось:

30 + 32.

Поэтому полностью закрыть её невозможно — как бы мы ни переставляли и ни поворачивали домино.

Что здесь было главным?

Мы не перебирали возможные раскладки.

Мы нашли свойство, которое сохраняется при любой допустимой укладке: домино всегда закрывают одинаковое количество клеток двух цветов.

Такое сохраняющееся свойство называют инвариантом.

Один инвариант позволил сразу исключить все возможные раскладки.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №29
Простое исследование
29 августа 2026
Уровень: 3 из 5

Какие числа нельзя получить суммой последовательных?

Берём два или больше последовательных положительных целых чисел и складываем их.

Например:

9 = 4 + 5

15 = 4 + 5 + 6

Теперь исследуем все натуральные числа от 1 до 32 включительно.

Какие из них нельзя представить таким способом?

Не останавливайтесь на первом найденном исключении. Попробуйте составить весь список и понять, что общего у чисел, которые не получаются.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РАЗБОР
Выпуск №29
Ответ
Не получаются:
1, 2, 4, 8, 16 и 32.
Что у них общего?
1 = 2⁰ 2 = 2¹ 4 = 2² 8 = 2³ 16 = 2⁴ 32 = 2⁵
Все они — степени двойки.
Но заметить закономерность недостаточно. Нужно доказать две вещи:
1. никакую степень двойки получить нельзя;
2. любое другое натуральное число получить можно.
Почему степени двойки не получаются
Предположим, число n представлено суммой k последовательных положительных чисел:
n = a + (a+1) + ... + (a+k−1)
где k ≥ 2.
Удвоим обе части:
2n = k(2a+k−1)
У двух множителей справа разная чётность.
Если k нечётно, то при k ≥ 2 на самом деле k ≥ 3.
Если k чётно, то 2a+k−1 нечётно и не меньше 3.
Значит, в любом случае число 2n имеет нечётный делитель больше 1.
Но этот делитель взаимно прост с 2. Поэтому, если нечётное число делит 2n, оно обязательно делит и n.
Следовательно, любое число, представленное такой суммой, имеет нечётный делитель больше 1.
У степени двойки такого делителя нет.
Поэтому:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
так представить невозможно.
Почему все остальные числа можно?
Возьмём натуральное число n, которое не является степенью двойки.
Если вынести из него все множители 2, останется нечётный множитель больше 1. Обозначим один такой нечётный делитель через d.
Тогда:
n = d · q
где d > 1 и d нечётно.
Теперь возможны два случая.
Если
d < 2q,
берём d последовательных чисел с числом q посередине. Первое из них положительно, а их сумма равна d·q=n.
Например:
12 = 3 · 4
12 = 3 + 4 + 5
Если же
d > 2q,
берём 2q последовательных чисел, начиная с
(d−2q+1)/2.
Это положительное целое число, а сумма полученной последовательности снова равна d·q=n.
Например:
18 = 9 · 2
18 = 3 + 4 + 5 + 6
Случай
d = 2q
невозможен: d нечётно, а 2q чётно.
Значит, один из двух вариантов срабатывает всегда.
Главное открытие
Получаем общее правило:
натуральное число можно представить суммой двух или более последовательных положительных целых чисел тогда и только тогда, когда оно не является степенью двойки.
Поэтому среди чисел от 1 до 32 исключения ровно такие:
1, 2, 4, 8, 16, 32.
Мы начали с исследования 32 чисел, а получили правило для всех натуральных чисел.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №31
Простое исследование
31 августа 2026
Уровень: 3 из 5

Можно ли угадать число за семь вопросов?

Один человек заранее загадывает целое число от 1 до 100 включительно и больше его не меняет.

Вы можете задать не более семи вопросов. На каждый из них загадавший честно отвечает только:

«да» или «нет».

Следующий вопрос можно выбирать с учётом всех предыдущих ответов.

Можно ли гарантированно определить загаданное число за семь вопросов — независимо от того, какое число выбрали?

Проголосуйте, а затем попробуйте предложить стратегию, которая работает всегда, а не только в удачном случае.

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ

Выпуск №31

Ответ

Да.

Причём семь вопросов не просто достаточны — меньше гарантированно не хватит.

Главная идея

Не нужно пытаться угадывать конкретные числа.

После каждого ответа надо отбрасывать как можно большую часть оставшихся вариантов.

Сначала возможны все 100 чисел.

Первый хороший вопрос может разделить их примерно пополам:

«Загаданное число больше 50?»

Какой бы ответ мы ни получили, останется не больше 50 вариантов.

Следующий вопрос снова делит уже оставшийся диапазон примерно пополам.

В худшем случае число вариантов уменьшается так:

100 → 50 → 25 → 13 → 7 → 4 → 2 → 1

После семи ответов остаётся одно число.

Значит, такая стратегия действительно гарантирует результат.

Почему семи хватает?

У каждого вопроса два возможных ответа:

да / нет

После одного вопроса возможны 2 разные цепочки ответов.

После двух:

2 × 2 = 4

После семи:

2⁷ = 128

То есть семь ответов позволяют различить до 128 случаев.

Чисел у нас только 100:

128 ≥ 100

А стратегия последовательного деления диапазона показывает, как действительно добиться гарантированного результата.

А можно обойтись шестью?

Нет.

За шесть вопросов возможно максимум:

2⁶ = 64

различных цепочек ответов.

Но возможных чисел — 100:

64 < 100

Поэтому при любых шести вопросах хотя бы два разных числа невозможно будет гарантированно различить.

Значит, семь — минимальное количество вопросов, гарантирующее успех.

Главное открытие

Сила здесь не в угадывании. Каждый хорошо выбранный вопрос почти вдвое уменьшает число оставшихся вариантов.

Этот же принцип используется в бинарном поиске: в упорядоченном наборе область поиска снова и снова сокращается примерно вдвое.

Попробуйте дальше

А сколько вопросов потребуется, если загадано число от 1 до 1000?

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №2
Простая задача
2 сентября 2026
Уровень: 1 из 5

Какой путь длиннее?

На картинке два пути ведут из точки S в точку F по линиям одинаковой квадратной сетки.

Двигаться можно только вправо или вверх.

Какой путь длиннее — A или B?

Попробуйте ответить не по виду маршрутов, а объяснить, почему ваш ответ обязательно верен.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №2

Ответ

Пути A и B одинаковой длины.

На первый взгляд один маршрут может казаться более извилистым. Но важно не количество поворотов, а то, сколько клеточных шагов нужно сделать в каждом направлении.

Чтобы попасть из S в F, любой разрешённый маршрут должен пройти:

6 клеток вправо
и
4 клетки вверх.

Порядок этих шагов может быть любым:

вправо → вверх → вправо → вверх…

или сначала почти всё вверх, а потом вправо.

Но общая длина всё равно будет:

6 + 4 = 10 клеточных шагов.

Главная идея

Если начало и конец фиксированы, а двигаться разрешено только вправо и вверх, то все такие пути имеют одинаковую длину.

Повороты меняют форму маршрута, но не суммарное расстояние по сетке.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №3
3 сентября 2026 · Уровень 2 из 5

Число наоборот

Возьмите любое двузначное число и поменяйте его цифры местами.

Из большего числа вычтите меньшее.

На картинке уже есть три примера. Посчитайте разности, а затем попробуйте ещё несколько своих чисел.

Если после перестановки впереди оказался ноль, его просто не записываем:
20 → 02 → 2

Что общего у всех разностей, которые получаются таким способом?

Попробуйте не только заметить закономерность, но и объяснить, почему она работает всегда.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №3

Ответ: все такие разности делятся на 9.

Проверим примеры:

52 − 25 = 27
71 − 17 = 54
84 − 48 = 36

Но три примера ещё не доказывают правило.

Пусть цифры нашего числа — a и b. Тогда само число можно записать так:

10a + b

А число с переставленными цифрами:

10b + a

Вычтем:

(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b)

В результате обязательно появляется множитель 9. Поэтому разность всегда делится на 9.

Если цифры одинаковые, например 44, получаем:

44 − 44 = 0

И это правило тоже не нарушает: 0 кратен 9.

Главная идея: перестановка десятков и единиц меняет двузначное число на величину, кратную 9.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №5
5 сентября 2026 · Простое исследование
Уровень: 2 из 5

Где спряталась самая большая площадь?

Перед вами пять прямоугольников. У всех одинаковый периметр — 20, а длины сторон являются целыми числами.

Это все возможные варианты с такими условиями, если поворот фигуры не считать новым вариантом. Квадрат тоже является прямоугольником.

Рисунки условные и не выполнены в масштабе — ориентируйтесь на подписанные размеры.

У какого прямоугольника площадь самая большая?

Посчитайте площади всех пяти и попробуйте сформулировать закономерность.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №5

Ответ: самая большая площадь у прямоугольника 5 × 5.

5 × 5 = 25

Проверим все варианты:

1 × 9 = 9
2 × 8 = 16
3 × 7 = 21
4 × 6 = 24
5 × 5 = 25

При этом периметр каждой фигуры одинаков — 20.

Для такого периметра сумма двух соседних сторон всегда равна 10:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5 = 10

Но площадь — это произведение сторон, поэтому результаты получаются разными:

9 → 16 → 21 → 24 → 25

В этих пяти случаях чем ближе длины сторон друг к другу, тем больше площадь.

Главная идея: одинаковый периметр не означает одинаковую площадь.

Одинаковая длина границы может окружать разное количество пространства.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №7
7 сентября 2026 · Простая задача
Уровень: 2 из 5

Кто выиграет с 21 камнем?

На столе лежит 21 камень.

Играют двое. Первый игрок начинает, затем игроки ходят по очереди.

За один ход можно взять 1, 2, 3 или 4 камня.

Тот, кто забирает последний камень, выигрывает.

Предположим, что оба игрока действуют наилучшим образом.

Кто может гарантировать победу — первый или второй игрок? И как ему нужно играть?

Попробуйте найти стратегию, которая сработает при любом ходе соперника.

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

Матемагия — регулярные онлайн-занятия математикой для учеников 1–11 классов в формате большого приключения.

Многим детям математика кажется набором правил, формул и однотипных упражнений, смысл которых заканчивается вместе с контрольной. В «Матемагии» всё устроено иначе: ребёнок отправляется в путешествие по игровому миру, а математика становится главным инструментом, который помогает исследовать его, справляться с неожиданными событиями и двигаться дальше по истории.

По мере приключения ученик осваивает новые темы, возвращается к уже изученному, учится рассуждать, видеть закономерности, искать разные способы решения и понимать, зачем именно здесь нужна математика.

Для родителей это означает главное: ребёнок не просто тренируется решать примеры, а постепенно учится думать математически, применять знания в новых ситуациях и увереннее работать самостоятельно. При этом содержание занятий остаётся связано со школьной программой и подбирается под класс, уровень подготовки и цели конкретного ученика.

Индивидуальные занятия — $25.
Темп, сложность и программа полностью подстраиваются под ребёнка.

Групповые занятия — $12 с участника.
Можно прийти вместе с друзьями или одноклассниками и проходить приключение командой: обсуждать идеи, сравнивать решения, помогать друг другу и вместе исследовать мир.

Группы формируются из учеников близкого возраста и уровня подготовки.

Если хочется, чтобы ребёнок не просто запоминал математику, а понимал её и учился пользоваться ею, — пишите @STEPANICH11.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №7

Ответ: победу может гарантировать первый игрок.

Первым ходом он берёт 1 камень и оставляет сопернику 20.

Дальше нужно отвечать на каждый ход соперника так, чтобы вместе за два хода исчезало ровно 5 камней:

• соперник взял 1 — взять 4;
• взял 2 — взять 3;
• взял 3 — взять 2;
• взял 4 — взять 1.

Других разрешённых ходов у соперника нет.

После первого хода остаётся 20 камней. Затем первый игрок своими ответами последовательно оставляет сопернику:

15 → 10 → 5

Когда второму игроку остаётся 5 камней, он может взять только от 1 до 4. Первый игрок забирает оставшиеся камни — и обязательно получает последний.

Поэтому соперник не может разрушить эту стратегию ни одним разрешённым ходом.

Главная идея: выигрышная стратегия должна работать при любом допустимом ходе соперника.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №11
11 сентября 2026 · Простая история
Уровень: 2 из 5

Почему Эйлеру были не нужны длины мостов?

В Кёнигсберге была известна задача: можно ли одним непрерывным маршрутом пройти по всем семи мостам, перейдя каждый ровно один раз?

В XVIII веке её рассмотрел Леонард Эйлер. Вместо того чтобы измерять мосты и перебирать прогулки по точной карте, он отбросил почти всю географию.

Посмотрите на второй экран: от города остались только четыре участка суши и семь связей между ними. Расстояния и форма карты исчезли — а сама задача сохранилась.

Почему этого достаточно?

Каждый раз, когда маршрут приходит на промежуточный участок суши и затем покидает его, используются два моста:

один для входа + один для выхода.

Значит, мосты там должны образовывать пары. Только у начала и конца всего маршрута может остаться по одному мосту без пары.

Теперь посчитаем, сколько мостов подходит к четырём участкам:

5, 3, 3 и 3.

Все четыре числа нечётные.

Но у маршрута, который проходит каждый мост ровно один раз, участков с нечётным числом мостов может быть максимум два — начало и конец.

Здесь их четыре.

Значит, пройти по всем семи мостам ровно один раз невозможно.

И вот главный ход Эйлера: для этого вопроса не понадобились ни длины мостов, ни точная форма города. Важно было только что с чем соединено.

Если бы мы искали самый короткий маршрут, расстояния снова стали бы важны. Но для вопроса «существует ли такой маршрут?» достаточно структуры связей.

Этот переход от реальной карты к абстрактной сети стал одним из истоков современной теории графов.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №13

Как бы мелко мы ни дробили ступени, такая лестница имеет длину 2.

А диагональ единичного квадрата имеет длину:

√2 ≈ 1,41.

Получается парадоксальная картина: лестница всё плотнее приближается к диагонали, а её длина — нет.

Где ошибается интуиция?

Нам хочется считать: если одна линия становится всё больше похожа на другую, то и их длины должны сближаться.

Но одного только сближения линий недостаточно.

Наша лестница идёт из нижнего левого угла в верхний правый только вправо и вверх.

Все горизонтальные отрезки вместе дают путь длиной 1.

Все вертикальные отрезки вместе — ещё 1.

Поэтому при любом количестве ступеней:

длина лестницы = 1 + 1 = 2.

Диагональ идёт напрямую. По теореме Пифагора:

√(1² + 1²) = √2.

Измельчение ступеней меняет форму лестницы и делает её всё ближе к диагонали. Но общий путь вправо и общий путь вверх остаются прежними.

Главная идея

Близость двух линий по положению сама по себе не гарантирует близость их длин.

Это не означает, что у близких кривых длины обязательно различаются. Просто одного факта, что линии всё теснее приближаются друг к другу, недостаточно, чтобы сделать вывод об их длинах.

Проверка

Нарисуйте между теми же углами лестницы из 2, 4 и 8 ступеней, каждый раз двигаясь только вправо и вверх.

Проверьте не отдельные ступеньки, а весь путь:

• сколько пройдено вправо;
• сколько пройдено вверх.

Общая длина каждый раз получится одной и той же.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №17
17 сентября 2026 · Математика вокруг нас
Уровень: 1 из 5

Одни и те же данные

Посмотрите на два графика.

На обоих показаны абсолютно одинаковые значения:

100 → 101 → 102 → 103

Но на одном графике линия выглядит почти ровной, а на другом — как резкий рост.

Почему одни и те же данные на одном графике выглядят почти неизменными, а на другом — как резкий рост?

Попробуйте сначала найти единственное отличие между двумя графиками.