ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №4

Ответ: второй игрок.

Главная идея — после каждого хода первого игрока второй может дополнить его ход до 4.

Первый прибавил 1 → второй прибавляет 3

1 + 3 = 4

Первый прибавил 2 → второй прибавляет 2

2 + 2 = 4

Первый прибавил 3 → второй прибавляет 1

3 + 1 = 4

Получается, что после каждого своего хода второй игрок может оставлять числа:

4 → 8 → 12 → 16 → 20

Почему первый не сможет перехватить победу?

После того как второй получил 16, первый может перейти только на:

17, 18 или 19.

Какое бы число он ни выбрал, второй дополняет последний ход до 4 и получает ровно 20.

Поэтому результат не зависит от решений первого игрока: если второй придерживается этой стратегии, он гарантированно выигрывает.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №5 · Простая история
11 августа 2026 · Уровень: 2 из 5

Можно ли пройти все семь мостов по одному разу?

В XVIII веке семь мостов Кёнигсберга соединяли четыре участка суши, разделённые рукавами реки Прегель.

С ними связан знаменитый вопрос, которым занялся Леонард Эйлер.

Правило простое:

нужно пройти по каждому из семи мостов ровно один раз.

Начать можно где угодно.
Закончить — тоже где угодно.

Можно ли построить такой маршрут?

Попробуйте сначала найти его на карте. А если считаете, что это невозможно, попробуйте доказать это без перебора всех маршрутов.

РЕШЕНИЕ

Ответ: нет. Пройти все семь мостов ровно по одному разу невозможно.

Эйлер предложил отбросить всё, что для задачи неважно: форму реки, длину мостов, улицы и расстояния.

Оставим только четыре участка суши и связи между ними. Каждый участок обозначим точкой, а каждый мост — линией.

Теперь посмотрим на любой участок, который не является началом или концом маршрута.

Если мы пришли туда по одному ещё не использованному мосту, то должны уйти по другому:

вход → выход

Следующий приход снова требует выхода.

Значит, все мосты такого участка должны разбиваться на пары. Поэтому их количество должно быть чётным.

Исключений может быть только два:

в начале маршрута можно сначала выйти, не входя;
в конце можно войти и уже не выходить.

Поэтому нечётное число мостов может быть максимум у двух участков.

А в Кёнигсберге к четырём участкам суши подходило:

3, 3, 3 и 5 мостов.

Все четыре числа нечётные.

Но начало и конец маршрута дают нам только два исключения.

Значит, пройти по всем семи мостам ровно один раз невозможно.

Именно здесь появляется главная идея задачи: иногда не нужно перебирать все возможные маршруты. Достаточно найти одно свойство, которое должен иметь любой подходящий маршрут.

Такое представление объектов точками, а связей между ними линиями позже стало одним из основных языков теории графов.

Маленькая проверка

Представьте участок, к которому подходят три моста.

Если он находится где-то в середине маршрута, получится ли использовать все три?

Каждый вход требует выхода — и один мост обязательно останется без пары.

Продолжение

А если убрать из кёнигсбергской схемы один мост — всегда ли маршрут станет возможным?

Это уже хороший следующий вопрос для самостоятельного исследования.

Сегодня вечером Калининградская область увидит солнечное затмение

Это будет не полное, а частное затмение, но эффект всё равно заметный: Луна закроет большую часть солнечного диска.

Когда смотреть:

Начало — около 19:10
Максимум — около 20:02
Лучшее время для наблюдения — примерно с 19:30 до 20:15

Солнце будет уже низко, поэтому место важно.

Удобнее всего смотреть с побережья: Зеленоградск, Пионерский, Светлогорск, Янтарный, Балтийская коса, открытые участки у моря. Главное — выбрать точку с чистым западным горизонтом, без домов, деревьев и высоких склонов перед вами.

На побережье шанс лучше именно из-за открытого горизонта: над морем Солнце не будет прятаться за крышами и городскими кварталами.

Погода выглядит рабочей: тёплый вечер, слабый ветер, но облачность у нас всегда может вмешаться. Лучше прийти заранее и смотреть не только в момент максимума, а весь промежуток — иногда решает один просвет между облаками.

Важно: смотреть на Солнце без защиты нельзя даже во время затмения.

Нужны специальные очки для солнечного затмения или сертифицированный солнечный фильтр. Обычные солнцезащитные очки не подходят. Бинокль, телескоп или камеру нельзя направлять на Солнце без специального фильтра.

Для детей можно сделать безопасный вариант: маленькое отверстие в листе бумаги и второй лист как экран. Тогда на бумаге появится маленькое «надкушенное» Солнце.

Сегодня хороший вечер, чтобы показать детям, что астрономия — это не только картинки из учебника, а событие прямо над нашей областью.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №13
Простая ошибка
13 августа 2026
Уровень: 2 из 5

Где спряталась лишняя площадь?

На картинке одни и те же детали переставили двумя способами.

На первый взгляд кажется, что обе сборки занимают одну и ту же большую треугольную область: основание 13 клеток, высота 5 клеток.

Но в нижней сборке после перестановки появляется пустая клетка.

Детали не растягивали, не уменьшали и не заменяли.

Вопрос:
почему после перестановки тех же деталей появилась пустая клетка?

Попробуйте объяснить не фразой «так нарисовано», а геометрически: какое предположение на картинке нас обманывает?

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №17
Математика вокруг нас
17 августа 2026
Уровень: 2 из 5

Два покупателя или четыре?

Перед вами две одинаковые кассы. Они начинают обслуживать покупателей одновременно.

Один товар кассир пробивает за 4 секунды, а после этого каждый покупатель тратит ещё 20 секунд на оплату. Другие задержки не учитываем.

В очереди А два покупателя — у них 18 и 16 товаров.

В очереди Б четыре покупателя — у них 4, 3, 5 и 4 товара.

Какая из двух очередей закончится раньше?

Сначала выберите вариант, а затем попробуйте объяснить свой расчёт.

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №19
Простая задача
19 августа 2026
Уровень: 3 из 5

Где коснуться берега, чтобы путь был кратчайшим?

Точки A и B находятся по одну сторону прямого берега реки.

Нужно пройти из A в B, обязательно коснувшись берега в некоторой точке P. Точку P можно выбрать в любом месте берега.

Длина такого пути — сумма двух отрезков:

AP + PB

Где должна находиться точка P, чтобы эта сумма была минимальной?

Попробуйте не только указать её положение, но и объяснить, почему никакая другая точка берега не даст более короткий путь.

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

Раньше закончит очередь Б — та, в которой четыре покупателя.

Она закончит на 32 секунды раньше.

Время уходит не только на обслуживание каждого человека, но и на все его товары.

Очередь А

Всего товаров:

18 + 16 = 34

Сканирование:

34 × 4 = 136 секунд

Оплата двух покупателей:

2 × 20 = 40 секунд

Итого:

136 + 40 = 176 секунд

Это 2 минуты 56 секунд.

Очередь Б

Всего товаров:

4 + 3 + 5 + 4 = 16

Сканирование:

16 × 4 = 64 секунды

Оплата четырёх покупателей:

4 × 20 = 80 секунд

Итого:

64 + 80 = 144 секунды

Это 2 минуты 24 секунды.

Разница:

176 − 144 = 32 секунды

Почему так получилось?

В очереди Б на двух покупателей больше. Это добавляет 40 секунд на оплату.

Зато товаров там на 18 меньше. Это экономит 72 секунды на сканировании.

72 − 40 = 32 секунды

Поэтому более длинная по числу людей очередь в этой задаче оказывается быстрее.

Решение

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №19

Ответ

Отразим точку B относительно линии берега и получим точку B′.

Теперь проведём отрезок AB′.

Точка, в которой он пересечёт берег, и есть искомая P.

Почему это работает?

Точку P можно выбирать в любом месте берега, поэтому возможных ломаных A–P–B бесконечно много. Сравнивать их по одной неудобно.

После отражения B появляется способ сравнить сразу все варианты.

Для любой точки P на берегу расстояния от P до B и до её отражения B′ одинаковы:

PB = PB′

Поэтому:

AP + PB = AP + PB′

Теперь вместо ломаной из A в B мы рассматриваем путь из A в B′ через P.

Для любой точки P:

AP + PB′ ≥ AB′

потому что между двумя точками кратчайший путь — прямой отрезок.

Равенство достигается тогда, когда P лежит на отрезке AB′.

A и B′ находятся по разные стороны берега, поэтому отрезок AB′ пересекает берег ровно в одной точке. Это и есть нужная P.

Главная идея

Мы не перебирали возможные положения P.

Мы отразили одну точку так, что задача о кратчайшей ломаной превратилась в задачу о прямой.

Именно это преобразование позволяет найти кратчайший путь.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №23
Простая задача
23 августа 2026
Уровень: 3 из 5

Можно ли закрыть доску без двух противоположных углов?

Есть доска 8×8, но две её противоположные угловые клетки удалены.

Осталось 62 клетки.

Есть ровно 31 домино размером 1×2 клетки. Каждое домино должно закрывать две соседние по стороне клетки. Домино нельзя накладывать друг на друга или выводить за границы доски.

По площади всё сходится:

31 × 2 = 62

Можно ли полностью закрыть такую доску всеми 31 домино?

Сначала выберите ответ в опросе, а затем попробуйте объяснить, почему он верен для любой возможной раскладки.

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №23

Ответ

Нет. Полностью закрыть такую доску 31 домино невозможно.

С количеством клеток проблемы вроде бы нет:

64 − 2 = 62

И 31 домино занимают:

31 × 2 = 62

Поэтому одной проверки площади недостаточно.

Главная идея

Раскрасим доску как шахматную — в два чередующихся цвета.

На обычной доске 8×8 есть:

32 + 32

клетки двух цветов.

Два противоположных угла такой доски имеют одинаковый цвет. После их удаления остаётся:

30 клеток одного цвета
и
32 клетки другого.

Теперь посмотрим на любое домино 1×2.

Оно занимает две соседние по стороне клетки. При шахматной раскраске такие клетки всегда имеют разные цвета.

Значит, каждое домино обязательно закрывает одну клетку каждого цвета.

Если уложить 31 домино, они обязательно должны закрыть:

31 клетку одного цвета
и
31 клетку другого.

Но на доске осталось:

30 + 32.

Поэтому полностью закрыть её невозможно — как бы мы ни переставляли и ни поворачивали домино.

Что здесь было главным?

Мы не перебирали возможные раскладки.

Мы нашли свойство, которое сохраняется при любой допустимой укладке: домино всегда закрывают одинаковое количество клеток двух цветов.

Такое сохраняющееся свойство называют инвариантом.

Один инвариант позволил сразу исключить все возможные раскладки.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №29
Простое исследование
29 августа 2026
Уровень: 3 из 5

Какие числа нельзя получить суммой последовательных?

Берём два или больше последовательных положительных целых чисел и складываем их.

Например:

9 = 4 + 5

15 = 4 + 5 + 6

Теперь исследуем все натуральные числа от 1 до 32 включительно.

Какие из них нельзя представить таким способом?

Не останавливайтесь на первом найденном исключении. Попробуйте составить весь список и понять, что общего у чисел, которые не получаются.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РАЗБОР
Выпуск №29
Ответ
Не получаются:
1, 2, 4, 8, 16 и 32.
Что у них общего?
1 = 2⁰ 2 = 2¹ 4 = 2² 8 = 2³ 16 = 2⁴ 32 = 2⁵
Все они — степени двойки.
Но заметить закономерность недостаточно. Нужно доказать две вещи:
1. никакую степень двойки получить нельзя;
2. любое другое натуральное число получить можно.
Почему степени двойки не получаются
Предположим, число n представлено суммой k последовательных положительных чисел:
n = a + (a+1) + ... + (a+k−1)
где k ≥ 2.
Удвоим обе части:
2n = k(2a+k−1)
У двух множителей справа разная чётность.
Если k нечётно, то при k ≥ 2 на самом деле k ≥ 3.
Если k чётно, то 2a+k−1 нечётно и не меньше 3.
Значит, в любом случае число 2n имеет нечётный делитель больше 1.
Но этот делитель взаимно прост с 2. Поэтому, если нечётное число делит 2n, оно обязательно делит и n.
Следовательно, любое число, представленное такой суммой, имеет нечётный делитель больше 1.
У степени двойки такого делителя нет.
Поэтому:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
так представить невозможно.
Почему все остальные числа можно?
Возьмём натуральное число n, которое не является степенью двойки.
Если вынести из него все множители 2, останется нечётный множитель больше 1. Обозначим один такой нечётный делитель через d.
Тогда:
n = d · q
где d > 1 и d нечётно.
Теперь возможны два случая.
Если
d < 2q,
берём d последовательных чисел с числом q посередине. Первое из них положительно, а их сумма равна d·q=n.
Например:
12 = 3 · 4
12 = 3 + 4 + 5
Если же
d > 2q,
берём 2q последовательных чисел, начиная с
(d−2q+1)/2.
Это положительное целое число, а сумма полученной последовательности снова равна d·q=n.
Например:
18 = 9 · 2
18 = 3 + 4 + 5 + 6
Случай
d = 2q
невозможен: d нечётно, а 2q чётно.
Значит, один из двух вариантов срабатывает всегда.
Главное открытие
Получаем общее правило:
натуральное число можно представить суммой двух или более последовательных положительных целых чисел тогда и только тогда, когда оно не является степенью двойки.
Поэтому среди чисел от 1 до 32 исключения ровно такие:
1, 2, 4, 8, 16, 32.
Мы начали с исследования 32 чисел, а получили правило для всех натуральных чисел.

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №31
Простое исследование
31 августа 2026
Уровень: 3 из 5

Можно ли угадать число за семь вопросов?

Один человек заранее загадывает целое число от 1 до 100 включительно и больше его не меняет.

Вы можете задать не более семи вопросов. На каждый из них загадавший честно отвечает только:

«да» или «нет».

Следующий вопрос можно выбирать с учётом всех предыдущих ответов.

Можно ли гарантированно определить загаданное число за семь вопросов — независимо от того, какое число выбрали?

Проголосуйте, а затем попробуйте предложить стратегию, которая работает всегда, а не только в удачном случае.

«Простые дни» — математическая рубрика проекта «Матемагия».

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ

Выпуск №31

Ответ

Да.

Причём семь вопросов не просто достаточны — меньше гарантированно не хватит.

Главная идея

Не нужно пытаться угадывать конкретные числа.

После каждого ответа надо отбрасывать как можно большую часть оставшихся вариантов.

Сначала возможны все 100 чисел.

Первый хороший вопрос может разделить их примерно пополам:

«Загаданное число больше 50?»

Какой бы ответ мы ни получили, останется не больше 50 вариантов.

Следующий вопрос снова делит уже оставшийся диапазон примерно пополам.

В худшем случае число вариантов уменьшается так:

100 → 50 → 25 → 13 → 7 → 4 → 2 → 1

После семи ответов остаётся одно число.

Значит, такая стратегия действительно гарантирует результат.

Почему семи хватает?

У каждого вопроса два возможных ответа:

да / нет

После одного вопроса возможны 2 разные цепочки ответов.

После двух:

2 × 2 = 4

После семи:

2⁷ = 128

То есть семь ответов позволяют различить до 128 случаев.

Чисел у нас только 100:

128 ≥ 100

А стратегия последовательного деления диапазона показывает, как действительно добиться гарантированного результата.

А можно обойтись шестью?

Нет.

За шесть вопросов возможно максимум:

2⁶ = 64

различных цепочек ответов.

Но возможных чисел — 100:

64 < 100

Поэтому при любых шести вопросах хотя бы два разных числа невозможно будет гарантированно различить.

Значит, семь — минимальное количество вопросов, гарантирующее успех.

Главное открытие

Сила здесь не в угадывании. Каждый хорошо выбранный вопрос почти вдвое уменьшает число оставшихся вариантов.

Этот же принцип используется в бинарном поиске: в упорядоченном наборе область поиска снова и снова сокращается примерно вдвое.

Попробуйте дальше

А сколько вопросов потребуется, если загадано число от 1 до 1000?

ПРОСТЫЕ ДНИ
Выпуск №2
Простая задача
2 сентября 2026
Уровень: 1 из 5

Какой путь длиннее?

На картинке два пути ведут из точки S в точку F по линиям одинаковой квадратной сетки.

Двигаться можно только вправо или вверх.

Какой путь длиннее — A или B?

Попробуйте ответить не по виду маршрутов, а объяснить, почему ваш ответ обязательно верен.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №2

Ответ

Пути A и B одинаковой длины.

На первый взгляд один маршрут может казаться более извилистым. Но важно не количество поворотов, а то, сколько клеточных шагов нужно сделать в каждом направлении.

Чтобы попасть из S в F, любой разрешённый маршрут должен пройти:

6 клеток вправо
и
4 клетки вверх.

Порядок этих шагов может быть любым:

вправо → вверх → вправо → вверх…

или сначала почти всё вверх, а потом вправо.

Но общая длина всё равно будет:

6 + 4 = 10 клеточных шагов.

Главная идея

Если начало и конец фиксированы, а двигаться разрешено только вправо и вверх, то все такие пути имеют одинаковую длину.

Повороты меняют форму маршрута, но не суммарное расстояние по сетке.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №3
3 сентября 2026 · Уровень 2 из 5

Число наоборот

Возьмите любое двузначное число и поменяйте его цифры местами.

Из большего числа вычтите меньшее.

На картинке уже есть три примера. Посчитайте разности, а затем попробуйте ещё несколько своих чисел.

Если после перестановки впереди оказался ноль, его просто не записываем:
20 → 02 → 2

Что общего у всех разностей, которые получаются таким способом?

Попробуйте не только заметить закономерность, но и объяснить, почему она работает всегда.

ПРОСТЫЕ ДНИ — РЕШЕНИЕ
Выпуск №3

Ответ: все такие разности делятся на 9.

Проверим примеры:

52 − 25 = 27
71 − 17 = 54
84 − 48 = 36

Но три примера ещё не доказывают правило.

Пусть цифры нашего числа — a и b. Тогда само число можно записать так:

10a + b

А число с переставленными цифрами:

10b + a

Вычтем:

(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b)

В результате обязательно появляется множитель 9. Поэтому разность всегда делится на 9.

Если цифры одинаковые, например 44, получаем:

44 − 44 = 0

И это правило тоже не нарушает: 0 кратен 9.

Главная идея: перестановка десятков и единиц меняет двузначное число на величину, кратную 9.

ПРОСТЫЕ ДНИ — выпуск №5
5 сентября 2026 · Простое исследование
Уровень: 2 из 5

Где спряталась самая большая площадь?

Перед вами пять прямоугольников. У всех одинаковый периметр — 20, а длины сторон являются целыми числами.

Это все возможные варианты с такими условиями, если поворот фигуры не считать новым вариантом. Квадрат тоже является прямоугольником.

Рисунки условные и не выполнены в масштабе — ориентируйтесь на подписанные размеры.

У какого прямоугольника площадь самая большая?

Посчитайте площади всех пяти и попробуйте сформулировать закономерность.