Привет ☺️


Это мой канал про аналитику, разработку и то, как я во всём этом разбираюсь 💡.


Пишу сюда про ⌨️:

• Как устроены системы и интеграции между ними.

• Как аналитик думает и принимает решения.

• Как я вкатываюсь в разработку своих приложений и ботов на базе Telegram.

• Немного математики — но прикладной, когда она реально помогает.

• Лайф-заметки: по работе, режиму, спорту, мыслям и выводам.

Навигация по тегам 👁:

• Понятные разборы больших тем: архитектура систем, API, аналитика, математика.
#статья

• Про жизнь, рефлексию и спорт.
#лайф

• Подборки постов и навигация по каналу.
#навигация

• Обзор задач и кейсов.
#решение

Добро пожаловать 🌎

База про логарифмы ниже 😱


Логарифм – это математическая функция, которая отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести число a, называемое основанием, чтобы получить число b, называемое аргументом?

Простым языком, логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.


Стандартная запись выглядит так:

logₐb, где
• a — основание логарифма (всегда положительное число, отличное от 1).
• b — аргумент логарифма (любое положительное число).

Простой пример реальной записи:

2³ = 8, поэтому log₂8 = 3.

Раскидаем свойства логарифмов:

• logₐa = 1
• logₐ(bc) = logₐb + logₐc
• logₐ(b/c) = logₐb - logₐc

Посмотрим на наиболее распространенные типы логарифмов:

• Десятичный логарифм:
- Обозначается как log₁₀x или lgx.
- Имеет основание равное 10.

• Натуральный логарифм:
- Обозначается как ln(x).
- Имеет основание e — иррациональное число ≈ 2,718.

Ниже обзор того, как используют логарифмы в реальной жизни:

• Расчет сложных процентов:
При расчете сложных процентов логарифмы используются для определения того, сколько денег вы заработаете на своих инвестициях с течением времени.

• Измерение интенсивности звука:
Интенсивность звука измеряется в децибелах, которые представляют собой логарифмическую шкалу.

• Определение кислотности:
Кислотность раствора измеряется по шкале pH, которая представляет собой логарифмическую шкалу.

• Сжатие данных:
Логарифмы используются в алгоритмах сжатия данных, таких как ZIP и JPEG, для уменьшения размера файлов.

#статья 📚

Производная ☠️


Производная функции показывает скорость изменения этой функции. Проще говоря, она говорит нам, насколько быстро функция меняется в определенной точке.

Представьте, что функция описывает пробег автомобиля. Производная этой функции в данной точке будет показывать скорость автомобиля в этот момент времени.


Хоть производные и могут показаться далекими от нашей обыденной жизни, они на самом деле используются во многих областях:

Физика:
• Производная используется для расчета скорости, ускорения, силы и других важных физических величин.
• Инженеры используют производные для проектирования мостов, зданий и самолетов.
• Физики - для изучения движения планет и поведения атомов.

Экономика:
• Производная используется для оптимизации прибыли, минимизации затрат и анализа рыночных тенденций.
• Компании используют производные, чтобы определить, какое количество продукции им следует производить, чтобы максимизировать прибыль.

Биология:
• Производная используется для моделирования роста популяций, распространения инфекций и химических реакций в живых организмах.
• Ученые используют производные, чтобы изучать, как распространяются эпидемии, и как лекарственные препараты воздействуют на организм.

Инженерия:
• Производная используется для оптимизации формы объектов, проектирования систем управления и анализа данных.
• Например, инженеры используют производные, чтобы проектировать аэродинамичные автомобили, создавать эффективные системы кондиционирования воздуха и разрабатывать надежные системы управления.


Вот несколько примеров того, как производные используются в реальной жизни:

GPS-навигаторы:
•Используют производные, чтобы определить кратчайший маршрут и вычислить время в пути.

Медицинские изображения:
• Производные используются для улучшения качества МРТ и других изображений, полученных с помощью медицинских приборов.

Финансовые рынки:
• Аналитики используют производные для прогнозирования изменения цен на акции, облигации и другие финансовые инструменты.

Робототехника:
• Производные используются для управления движениями роботов и обеспечения их точности.


Раскидаем формулы производных некоторых элементарных функций:

1. Постоянная:
Производная константы c равна нулю:

(c)' = 0

2. Степенная функция:
Производная функции x^n, где n - любое действительное число, кроме 1, равна n*x^(n-1):

(x^n)' = n*x^(n-1)

3. Экспоненциальная функция:
Производная функции e^x равна e^x :

(e^x)' = e^x

4. Тригонометрические функции:
• Производная функции sin(x) равна cos(x):


(sin(x))' = cos(x)

• Производная функции cos(x) равна -sin(x):


(cos(x))' = -sin(x)

• Производная функции tan(x) равна 1/cos^2(x):


(tan(x))' = 1/cos^2(x)

Отметим, что:

Формулы выше — базовые 🚶. Для сложных случаев есть правила дифференцирования. Их полное описание можно найти в учебниках по матанализу 🔍.

#статья 📚

Вода по интегралам 🦌


В математике интегралы – это фундаментальное понятие, тесно связанное с дифференцированием 😎. Если дифференцирование позволяет нам измерять скорость изменения функции, то интегрирование – это обратная операция 😡.

Проще говоря, интегрирование помогает нам найти:

• Площадь под кривой функции.

• Общий объем фигуры, вращающейся вокруг оси.

• Суммарное изменение функции за определенный промежуток времени.

На первый взгляд интегралы могут показаться далекими от реальной жизни, но на самом деле их используются во многих областях:

Физика:

• Расчет траекторий движения объектов.
• Анализ работы двигателей, электронных устройств и других систем.
• Изучение законов механики, термодинамики и электромагнетизма.

Инженерия:

• Проектирование мостов, зданий и других сооружений.
• Разработка автомобилей, самолетов и других транспортных средств.
• Создание систем связи, электроснабжения и других инженерных систем.

Экономика:

• Анализ спроса и предложения на товары и услуги.
• Оценка рисков и прибыли инвестиций.
• Оптимизация использования ресурсов и производственных процессов.

Биология:

• Моделирование роста популяций и распространения болезней.
• Анализ данных медицинских исследований.
• Разработка новых лекарств и методов лечения.

Искусственный интеллект:

• Обучение машин распознавать образы и делать прогнозы.
• Создание систем автономного управления и робототехники.
• Анализ больших объемов данных.

Это не все примеры. Интегралы также используются во многих других науках и дисциплинах, таких как химия, геология, метеорология и так далее ⌨️.


Теперь давайте посмотрим на пару примеров использования интегралов в реальной технике и прикладных задачах:

GPS-навигация:

• Спутники GPS используют интегралы для расчета своего положения и расстояния до пользователя.

МРТ:

• Магнитно-резонансная томография использует интегралы для создания изображений внутренних органов человека.

Авиастроение:

• Инженеры используют интегралы для проектирования крыльев самолетов, которые максимально эффективны в полете.

Финансы:

• Аналитики используют интегралы для оценки стоимости финансовых инструментов, таких как опционы.

#статья 📚

Золотое сечение — это математическое соотношение, которое считается красивой и гармоничной пропорцией 🤗

Оно возникает в природе, применяется в искусстве и даже в архитектуре. Более подробно:


Как его нашли и что это такое?

• Золотое сечение было известно еще в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

• В древнегреческой математике оно именовалось делением отрезка точкой на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к бо́льшей.

• Это понятие распространялось не только на отрезки, но и на произвольные величины.

Как обозначить золотое сечение и чему оно равно?

• Число, равное отношению, обычно обозначается прописной греческой буквой φ в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия — это, по сути, и есть само золотое сечение.

• Значение числа φ приближенно равно 1.6180339887498948482...

Применение золотого сечения:

В природе:
• Золотое сечение можно наблюдать в строении растений, раковинах моллюсков, форме галактик и даже в распределении лепестков цветов.

В искусстве:
• Многие художники и архитекторы используют золотое сечение для создания гармоничных композиций.

В архитектуре:
• На «золотых отрезках» основываются различные системы пропорционирования.


#статья 📚

Разберем видео ниже 🔍


Объяснение:

• Функция определяется как Z(θ) = e^(iθ) + e^(iθφ).

• Если φ - рациональное число, то существует θ = 2πn, такое что nφ является целым числом, и наблюдается периодическая картина, следовательно совпадение случается после n циклов (1 цикл = стержень посередине совершает полный оборот на 360°).

• Постараемся выяснить когда именно данное совпадение произойдет ⌨️.


Математика:

• Функция: Z(θ) = e^(iθ) + e^(iθφ).

• e^(iθ) - это стержень посередине, который создает обычную единичную окружность. Один цикл соответствует θ = 2π. Затем рисование окружности повторяется. Таким образом, θ = 2πn соответствует n циклам.

• e^(iθφ) - это внешний стержень, который вращается быстрее в φ раз, при этом его конечная точка в сочетании с внутренним стержнем создает показанный рисунок.

• Если φ - рациональное число, т.е. может быть представлено дробью двух целых чисел, а именно φ = p/q, то мы ожидаем, что рисунок повторится после q циклов, т.е. θ = 2πq.


Тогда справедливо следующее:

Z(2πq + ϑ) = e^(i(2πq + ϑ)) + e^(i(2πq + ϑ)φ)           
=
e^(i2πq) * e^(iϑ)
+
e^(i2πqφ) * e^(iϑφ)
=
e^(iϑ) + e^(iϑφ) = Z(ϑ)

Моменты, когда рисунок почти совпадает, определяются целыми числами n, где nφ - почти целое число. Вот несколько перечисленных:

5φ = 8,09
8φ = 12,94
13φ = 21,03
21φ = 33,98
26φ = 42,07

Однако, учитывая масштабирование, можно предположить совпадение при:

n = 5,702,887
или
n = 102,334,155.

то есть:

5,702,887φ = 9,227,464.99999992
или
102,334,155φ = 165,580,140.999999995.

И так далее 🤫


Референсы на автора видео 🔍


#решение 🤓

Немножко заметок по матрицам ✍️


Для начала кратко скажем зачем вообще нужны эти ваши матрицы в повседневной жизни. Предлагаю рассмотреть несколько примеров:

Финансы и бюджетирование:

• Матрицы используются для анализа финансовых данных, оптимизации инвестиций и управления бюджетом.

Графический дизайн и компьютерная графика:

• Матрицы позволяют трансформировать изображения, применять фильтры и эффекты.

Спорт и фитнес:

• Матрицы могут помочь в анализе тренировок, составлении планов и оптимизации питания.

Транспорт и логистика:

• Матрицы используются для оптимизации маршрутов, управления запасами и расписаниями.

Социальные науки:

• В социологии и психологии матрицы могут помочь анализировать социальные связи и взаимодействия.

Далее опишем как применяются матрицы в научной области. Несколько примеров ниже:

Линейная алгебра:

• Матрицы играют ключевую роль в линейной алгебре. Они помогают решать системы линейных уравнений, находить собственные значения и векторы, а также решать задачи оптимизации.

Графические преобразования:

• Матрицы используются для преобразования графических объектов. Например, в компьютерной графике они позволяют вращать, масштабировать и переносить изображения.

Физика и инженерия:

• Матрицы применяются при моделировании физических систем, например, при анализе электрических цепей (да-да, это важно 🤔).

Статистика и обработка данных:

• Матрицы используются для обработки данных, например, при анализе многомерных данных или в методах машинного обучения.

Теперь приправим описание небольшим количеством теории по матрицам.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы (числа, символы или выражения ☠️).

Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Размерность матрицы обычно обозначается в виде: (m х n), где m - количество строк, а n - количество столбцов.

Матрицы широко применяются в математике и физике для компактной записи и решения систем линейных алгебраических уравнений и систем дифференциальных уравнений (расскажу подробнее в будущих постах ⌨️). При этом количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов - количеству неизвестных величин.


Опишем пару основных формул и заметок:

Элементы матрицы:

• Каждое число в матрице называется элементом матрицы. Элементы матрицы A обозначаются как a_(i,j), где i - номер строки, а j - номер столбца.

Главная диагональ матрицы:

• Это диагональ, проведенная из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Побочная диагональ матрицы:

• Это диагональ, проведенная из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

След матрицы (trace):

• Это сумма элементов главной диагонали матрицы. Обозначается tr A, где A - это матрица.

Сложение матриц:

• Сложение матриц A и В необходимо проводить поэлементно, т.е. элемент a_(1,1) матрицы А складывается с элементом b_(1,1) матрицы В и так далее. При сложении количество строк и столбцов в слагаемых матрицах должно совпадать 🤝🤝.

Умножение матриц:

• Результатом умножения матрицы A с размерностью (m х n) и матрицы В с размерностью (n х k) будет матрица C с размерностью m х k). Элемент матрицы (C), стоящий в i-ой строке и j-ом столбце: c_(i,j), равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B 😎.

#статья 📚