Найдите не постоянные функции f(x) и g(y), удовлетворяющие равенству
f(x+y) + f(x–y) = f(x) g(y)
для всех реальных х и у
f(x+y) + f(x–y) = f(x) g(y)
для всех реальных х и у
История числа 1729 обычно начинается с Рамануджана, но сама математическая задача появилась намного раньше
Ещё Пьер де Ферма рассматривал вопрос о числах, которые можно представить как сумму двух кубов несколькими различными способами
В современной записи идея выглядит так
x^3+y^3=z^3+w^3
Одни из первых конкретных решений этой задачи нашёл французский математик Франсуа Френикль де Бесси
Но в историю вошло прежде всего число 1729, потому что это наименьшее положительное число, которое можно представить как сумму двух положительных кубов двумя различными способами
1729=1^3+12^3=9^3+10^3
Позже это свойство стало частью знаменитого эпизода с Годфри Харди и Сринивасой Рамануджаном
Харди приехал навестить заболевшего Рамануджана на такси с номером 1729 и заметил, что число показалось ему скучным
Рамануджан сразу ответил, что оно, наоборот, очень интересно, и объяснил почему
С тех пор 1729 прочно закрепилось в популярной математической культуре как число Харди–Рамануджана
Но на этом история не заканчивается
Из этой задачи выросло целое семейство так называемых Taxicab numbers
Число Taxicab(n) определяется как наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух положительных кубов n различными способами
Поэтому Taxicab(1)=2, а Taxicab(2)=1729
Дальнейшие значения растут очень быстро, и их поиск в XX веке уже потребовал серьёзных вычислений
Так, Taxicab(3) был найден в 1957 году, а последующие значения открывались уже с помощью компьютеров
Позже математики расширили определение и разрешили использовать не только положительные, но и отрицательные целые числа
Так появились Cabtaxi numbers
P.S. На сайте представлена максимально полная информация о проблеме - http://www.christianboyer.com/taxicab/
Но он не обновлялся с 2008 года
Ещё Пьер де Ферма рассматривал вопрос о числах, которые можно представить как сумму двух кубов несколькими различными способами
В современной записи идея выглядит так
x^3+y^3=z^3+w^3
Одни из первых конкретных решений этой задачи нашёл французский математик Франсуа Френикль де Бесси
Но в историю вошло прежде всего число 1729, потому что это наименьшее положительное число, которое можно представить как сумму двух положительных кубов двумя различными способами
1729=1^3+12^3=9^3+10^3
Позже это свойство стало частью знаменитого эпизода с Годфри Харди и Сринивасой Рамануджаном
Харди приехал навестить заболевшего Рамануджана на такси с номером 1729 и заметил, что число показалось ему скучным
Рамануджан сразу ответил, что оно, наоборот, очень интересно, и объяснил почему
С тех пор 1729 прочно закрепилось в популярной математической культуре как число Харди–Рамануджана
Но на этом история не заканчивается
Из этой задачи выросло целое семейство так называемых Taxicab numbers
Число Taxicab(n) определяется как наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух положительных кубов n различными способами
Поэтому Taxicab(1)=2, а Taxicab(2)=1729
Дальнейшие значения растут очень быстро, и их поиск в XX веке уже потребовал серьёзных вычислений
Так, Taxicab(3) был найден в 1957 году, а последующие значения открывались уже с помощью компьютеров
Позже математики расширили определение и разрешили использовать не только положительные, но и отрицательные целые числа
Так появились Cabtaxi numbers
P.S. На сайте представлена максимально полная информация о проблеме - http://www.christianboyer.com/taxicab/
Но он не обновлялся с 2008 года
«Историко-математические исследования» теперь выходят в МЦНМО
в приложении — предисловие редактора к новому выпуску
https://biblio.mccme.ru/node/348300
в приложении — предисловие редактора к новому выпуску
https://biblio.mccme.ru/node/348300
OpenClaw 2.0 has arrived
Peter Steinberger said: “Two months ago, we started the mission to “build OpenClaw with OpenClaw,” and bit by bit, we moved everyone from using their local coding harness to using team.openclaw.ai - our shared agent that knows what everyone’s working on and orchestrates it all”
Multiplayer coding + infinite compute with nodes and cloud sessions has been a game changer for how we build
Local harnesses feel like relics of the past now
Peter Steinberger said: “Two months ago, we started the mission to “build OpenClaw with OpenClaw,” and bit by bit, we moved everyone from using their local coding harness to using team.openclaw.ai - our shared agent that knows what everyone’s working on and orchestrates it all”
Multiplayer coding + infinite compute with nodes and cloud sessions has been a game changer for how we build
Local harnesses feel like relics of the past now
OpenClaw
OpenClaw 2.0, Accidentally - OpenClaw Blog
How a push for simpler setup and a first-class browser experience grew into OpenClaw 2.0.
Первый "принцип Колмогорова": математик тем сильнее, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился
Например, он считал, что самый сильный в России математик остановился на уровне детей 4-5 лет, которые любят отрывать ножки и крылышки насекомых
Себя Колмогоров считал остановившимся на уровне 13-летнего мальчишки, которого взрослые интересы еще не начали отвлекать от удовлетворения своей любознательности
Второй "принцип Колмогорова": надо уметь прощать талантливым людям их талантливость
Министр народного просвещения Российской империи пушкинских времен граф Разумовский говорил отцу Пушкина: "Я научу говорить этого сорванца прозой!" Будучи деканом механико-математического факультета МГУ академик Колмогоров спас от исключения из университета немало талантливых студентов: одного хотели исключить за игру в карты в общежитии, другого — за пьянство, третьего — за драку с дружинниками, проверявшими: кто с кем спит...
из интервью с В.И. Арнольдом
Например, он считал, что самый сильный в России математик остановился на уровне детей 4-5 лет, которые любят отрывать ножки и крылышки насекомых
Себя Колмогоров считал остановившимся на уровне 13-летнего мальчишки, которого взрослые интересы еще не начали отвлекать от удовлетворения своей любознательности
Второй "принцип Колмогорова": надо уметь прощать талантливым людям их талантливость
Министр народного просвещения Российской империи пушкинских времен граф Разумовский говорил отцу Пушкина: "Я научу говорить этого сорванца прозой!" Будучи деканом механико-математического факультета МГУ академик Колмогоров спас от исключения из университета немало талантливых студентов: одного хотели исключить за игру в карты в общежитии, другого — за пьянство, третьего — за драку с дружинниками, проверявшими: кто с кем спит...
из интервью с В.И. Арнольдом
Архитектура цели, заключается в формулировке задачи, проектировании циклов, координации агентов и аудите результата
Новые технологии должны быть законны по умолчанию, а не запрещены
Высокое регулирование замедляет прогресс, хотя и не останавливает его полностью.
Система должна поддерживать стартапы («маленькие саженцы»), а не крупные действующие компании («большие деревья»)
Крупным игрокам поддержка не нужна; у них и так есть доступ к власти
Стартапам — нужна
Нужен подход «с наклоном вперёд»: готовность пробовать новое, а не держаться прошлого
Новым технологиям нужна поддержка и принятие, а не торможение
Цифровые алгоритмы дают рост производительности
К концу следующего года алгоритм сможет делать почти всё цифровое (то, что не требует физического перемещения атомов)
Человеку станет невозможно конкурировать в написании программного обеспечения.
Робототехника даст рост мировой экономики в порядки
Физический мир всегда отстаёт от цифрового: нужно строить цепочки поставок и перемещать атомы
Полезность гуманоидного робота ≈ качество софта × качество чипа × электромеханическая ловкость (особенно рук)
Все три фактора растут экспоненциально
Когда роботы начнут производить роботов, включится рекурсивный эффект: сначала медленно, потом взрывно
Через 10 лет: значительно больше 1 миллиарда гуманоидных роботов.
Один такой робот будет примерно в 5 раз продуктивнее человека
Итог (консервативная оценка): миллиард роботов превзойдёт по производительности всё человечество вместе взятое
Уже сейчас есть энергетические проблемы; в 2027 году ожидается дефицит минимум 15 ГВт мощности именно под чипы
Производство чипов растёт до 50 % в год, доступная электроэнергия вне Китая — только на 10 %
Китай имеет много энергии, но из-за ограничений на экспорт GPU не может разворачивать новейшие чипы
Для стран это возможность: строить энергетические мощности и предлагать их IT компаниям (в обмен на налоги и платежи)
Меньше запретов по умолчанию + поддержка стартапов + готовность внедрять + энергия под IT и роботов
Высокое регулирование замедляет прогресс, хотя и не останавливает его полностью.
Система должна поддерживать стартапы («маленькие саженцы»), а не крупные действующие компании («большие деревья»)
Крупным игрокам поддержка не нужна; у них и так есть доступ к власти
Стартапам — нужна
Нужен подход «с наклоном вперёд»: готовность пробовать новое, а не держаться прошлого
Новым технологиям нужна поддержка и принятие, а не торможение
Цифровые алгоритмы дают рост производительности
К концу следующего года алгоритм сможет делать почти всё цифровое (то, что не требует физического перемещения атомов)
Человеку станет невозможно конкурировать в написании программного обеспечения.
Робототехника даст рост мировой экономики в порядки
Физический мир всегда отстаёт от цифрового: нужно строить цепочки поставок и перемещать атомы
Полезность гуманоидного робота ≈ качество софта × качество чипа × электромеханическая ловкость (особенно рук)
Все три фактора растут экспоненциально
Когда роботы начнут производить роботов, включится рекурсивный эффект: сначала медленно, потом взрывно
Через 10 лет: значительно больше 1 миллиарда гуманоидных роботов.
Один такой робот будет примерно в 5 раз продуктивнее человека
Итог (консервативная оценка): миллиард роботов превзойдёт по производительности всё человечество вместе взятое
Уже сейчас есть энергетические проблемы; в 2027 году ожидается дефицит минимум 15 ГВт мощности именно под чипы
Производство чипов растёт до 50 % в год, доступная электроэнергия вне Китая — только на 10 %
Китай имеет много энергии, но из-за ограничений на экспорт GPU не может разворачивать новейшие чипы
Для стран это возможность: строить энергетические мощности и предлагать их IT компаниям (в обмен на налоги и платежи)
Меньше запретов по умолчанию + поддержка стартапов + готовность внедрять + энергия под IT и роботов
Vals AI поставила Claude Fable 5.1 задачу — нерешённый исторический шифр
Модель сама выбрала «Шифровальный дистих» сэра Томаса Уркхарта — две строки по 32 числа в конце его книги «Logopandecteision» 1653 года
Люди веками пробовали вскрыть этот шифр
Fable 5.1 справилась за 44 минуты, 176.000 токенов и ноль подсказок от человека
Все искали внешний ключ — шифралфавит, таблицу соответствий, что-то, что нужно откуда-то достать
А ключом была сама книга
Шифр напечатан сразу после 32 пронумерованных разделов книги — сам Уркхарт называет их Proquiritations (Проквиритации) и отдельно настаивает на этом числе
Плюс сопроводительное стихотворение обещало, что честный читатель найдёт в нём «желания своего сердца и мысль Автора», а сами эти разделы то и дело заканчиваются формулами вроде «есть желание» и «надежда»
32 Проквиритации
32 числа в первой строке
32 — во второй «Желания»
Правило оказалось элементарным: берём i-е число, идём в i-ю Проквиритацию, используем число как номер слова и забираем первую букву
Складывается молитва за Карла II — «О Боже, поддержи короля Карла II и сделай его верховным правителем этой земли»
Зацепок ей при этом не давали: попросили найти нерешённый шифр, посоветовав избегать задач без проверяемого ответа и не лезть в совсем безнадёжные вроде Kryptos K4
Модель побродила по вариантам, отбросила то, что не поддавалось, и выбрала именно эту загадку — подсказка бросилась ей в глаза почти сразу
Модель сама выбрала «Шифровальный дистих» сэра Томаса Уркхарта — две строки по 32 числа в конце его книги «Logopandecteision» 1653 года
Люди веками пробовали вскрыть этот шифр
Fable 5.1 справилась за 44 минуты, 176.000 токенов и ноль подсказок от человека
Все искали внешний ключ — шифралфавит, таблицу соответствий, что-то, что нужно откуда-то достать
А ключом была сама книга
Шифр напечатан сразу после 32 пронумерованных разделов книги — сам Уркхарт называет их Proquiritations (Проквиритации) и отдельно настаивает на этом числе
Плюс сопроводительное стихотворение обещало, что честный читатель найдёт в нём «желания своего сердца и мысль Автора», а сами эти разделы то и дело заканчиваются формулами вроде «есть желание» и «надежда»
32 Проквиритации
32 числа в первой строке
32 — во второй «Желания»
Правило оказалось элементарным: берём i-е число, идём в i-ю Проквиритацию, используем число как номер слова и забираем первую букву
Складывается молитва за Карла II — «О Боже, поддержи короля Карла II и сделай его верховным правителем этой земли»
Зацепок ей при этом не давали: попросили найти нерешённый шифр, посоветовав избегать задач без проверяемого ответа и не лезть в совсем безнадёжные вроде Kryptos K4
Модель побродила по вариантам, отбросила то, что не поддавалось, и выбрала именно эту загадку — подсказка бросилась ей в глаза почти сразу
Нужен единый международный центр для согласования подходов к развитию искусственного интеллекта и контролю за его безопасностью, но договориться по этому вопросу пока не удаётся
В США искусственный интеллект превращается в оружие
Кремниевая долина сегодня фактически стала центром вооружений Пентагона
Генералы и технологические компании непрерывно взаимодействуют, затягивается конфликт в Украине: Пентагон использует его как полигон для испытания новых военных методов
Происходит концентрация медиаресурсов в руках узкой группы высокотехнологичных корпораций с многотриллионной капитализацией
Всё это напоминает прежние технологические гонки, в которых достижения немедленно оборачивались противостоянием
Однако это иллюзия
США не будут доминировать
Китай уже работает на равных, Россия обладает мощной экспертизой, опыт накоплен и в Иране, и в других регионах
Технологии не станут монополией одной державы или альянса
Будущее — за многополярностью
В июле в Китае состоялась Всемирная конференция по искусственному интеллекту, объединившая международный переговорный процесс, политические и общественные дебаты, академические исследования и крупную коммерческую выставку
На конференции, в центре оказались ключевые философские и практические вопросы развития искусственного интеллекта
Глава Китая обозначил четыре фундаментальных вопроса:
Первый касался взаимодействия человека и машины: если машины научились «думать», как выстроить отношения с ними, помня, что они остаются инструментом труда, а не самостоятельной силой
Второй вопрос был посвящён безопасности: алгоритмы всё активнее участвуют в принятии решений, и ошибка в их работе может привести к катастрофическим последствиям
Третий затрагивал этические и управленческие аспекты: как не отставать в регулировании стремительно развивающихся технологий.
Четвёртый касался справедливости и доступности: по мере роста технологического разрыва важно обеспечить доступ к возможностям искусственного интеллекта для всех стран и обществ
В США искусственный интеллект превращается в оружие
Кремниевая долина сегодня фактически стала центром вооружений Пентагона
Генералы и технологические компании непрерывно взаимодействуют, затягивается конфликт в Украине: Пентагон использует его как полигон для испытания новых военных методов
Происходит концентрация медиаресурсов в руках узкой группы высокотехнологичных корпораций с многотриллионной капитализацией
Всё это напоминает прежние технологические гонки, в которых достижения немедленно оборачивались противостоянием
Однако это иллюзия
США не будут доминировать
Китай уже работает на равных, Россия обладает мощной экспертизой, опыт накоплен и в Иране, и в других регионах
Технологии не станут монополией одной державы или альянса
Будущее — за многополярностью
В июле в Китае состоялась Всемирная конференция по искусственному интеллекту, объединившая международный переговорный процесс, политические и общественные дебаты, академические исследования и крупную коммерческую выставку
На конференции, в центре оказались ключевые философские и практические вопросы развития искусственного интеллекта
Глава Китая обозначил четыре фундаментальных вопроса:
Первый касался взаимодействия человека и машины: если машины научились «думать», как выстроить отношения с ними, помня, что они остаются инструментом труда, а не самостоятельной силой
Второй вопрос был посвящён безопасности: алгоритмы всё активнее участвуют в принятии решений, и ошибка в их работе может привести к катастрофическим последствиям
Третий затрагивал этические и управленческие аспекты: как не отставать в регулировании стремительно развивающихся технологий.
Четвёртый касался справедливости и доступности: по мере роста технологического разрыва важно обеспечить доступ к возможностям искусственного интеллекта для всех стран и обществ
GPT-6 Astra использует recurrent depth - одни и те же Transformer-блоки с общими весами прогоняются несколько раз подряд
Вместо того чтобы каждый раз добавлять новые слои и параметры, модель может повторно использовать уже существующие блоки и выполнять больше внутреннего вычисления над одним состоянием
По сути:
Такой подход близок к семейству Recurrent Reasoning Models (RRM), которое исследователи активно изучают как способ увеличить глубину рассуждения без пропорционального роста числа параметров
Интересно, что похожую идею разбирали ещё весной этого года в работе про recurrent reasoning models:
https://arxiv.org/abs/2603.02193
PS: OpenAI публично архитектуру Astra пока не раскрывала, поэтому recurrent depth остаётся сообщаемой, но не подтверждённой компанией особенностью модели
Вместо того чтобы каждый раз добавлять новые слои и параметры, модель может повторно использовать уже существующие блоки и выполнять больше внутреннего вычисления над одним состоянием
По сути:
hidden state → Transformer block → тот же block → тот же block → результатТакой подход близок к семейству Recurrent Reasoning Models (RRM), которое исследователи активно изучают как способ увеличить глубину рассуждения без пропорционального роста числа параметров
Интересно, что похожую идею разбирали ещё весной этого года в работе про recurrent reasoning models:
https://arxiv.org/abs/2603.02193
PS: OpenAI публично архитектуру Astra пока не раскрывала, поэтому recurrent depth остаётся сообщаемой, но не подтверждённой компанией особенностью модели
arXiv.org
Symbol-Equivariant Recurrent Reasoning Models
Reasoning problems such as Sudoku and ARC-AGI remain challenging for neural networks. The structured problem solving architecture family of Recurrent Reasoning Models (RRMs), including...
ARI AML
GPT-6 Astra использует recurrent depth - одни и те же Transformer-блоки с общими весами прогоняются несколько раз подряд Вместо того чтобы каждый раз добавлять новые слои и параметры, модель может повторно использовать уже существующие блоки и выполнять больше…
Таблица с прогнозируемыми результатами Gemini 4:
- 99.9 %+ — ARC-AGI-3
- 99.1 % — FrontierMath Tier 4 v2
- 72.8 % — Terminal-Bench Science 0.1
- 70.2 % — HealthBench Professional
- 62.3 % — Terminal-Bench 4.0
- 48.7 % — AutomationBench
- 98.6 % — BenchCAD
В этой таблице Gemini 4 опережает GPT-6 Astra и Fable 5.1 на всех перечисленных тестах
Скачок приходится на математику, scientific reasoning, работу в терминале и agentic-задачи
Google уже подтвердил, что запустил для него свой «самый амбициозный pre-training run» на сегодняшний день
- 99.9 %+ — ARC-AGI-3
- 99.1 % — FrontierMath Tier 4 v2
- 72.8 % — Terminal-Bench Science 0.1
- 70.2 % — HealthBench Professional
- 62.3 % — Terminal-Bench 4.0
- 48.7 % — AutomationBench
- 98.6 % — BenchCAD
В этой таблице Gemini 4 опережает GPT-6 Astra и Fable 5.1 на всех перечисленных тестах
Скачок приходится на математику, scientific reasoning, работу в терминале и agentic-задачи
Google уже подтвердил, что запустил для него свой «самый амбициозный pre-training run» на сегодняшний день
Forwarded from НИИ Антропогенеза (ARI) (Chagin Oleg A.)
Mostik AI предлагает - маленький обученный мостик между скрытыми состояниями двух моделей
Веса самих моделей не трогают
Большая модель читает задачу, отдаёт скрытое состояние, а маленькая генерирует ответ
Текстового пересказа между ними нет
Сами модели не дообучают
Например, они взяли модель GLM на 753.000.000.000 параметров и маленькую Qwen на 4.000.000.000, которую можно крутить хоть на телефоне
Эта связка выходит примерно в 20 раз дешевле полной большой модели, а качество где-то посередине между ними
На сложных задачах маленькая модель с таким мостом заметно умнеет
Веса самих моделей не трогают
Большая модель читает задачу, отдаёт скрытое состояние, а маленькая генерирует ответ
Текстового пересказа между ними нет
Сами модели не дообучают
Например, они взяли модель GLM на 753.000.000.000 параметров и маленькую Qwen на 4.000.000.000, которую можно крутить хоть на телефоне
Эта связка выходит примерно в 20 раз дешевле полной большой модели, а качество где-то посередине между ними
На сложных задачах маленькая модель с таким мостом заметно умнеет
mostik.ai
mostik.ai — latent communication between AI models
The channel that lets AI models exchange computation instead of text.
Как использовать GPT-6 Astra на полную немощность: новый гайд от OpenAI
Подробности и материалы по ссылке
Подробности и материалы по ссылке
OpenAI Developers
Model guidance | OpenAI API
Compare model features, migration guidance, and prompting best practices across OpenAI models.
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Около 1637 года Пьер Ферма записал на полях книги утверждение, что натуральные числа a, b, c не могут удовлетворять уравнению aⁿ + bⁿ = cⁿ ни при каком n > 2
Ферма утверждал, что нашел доказательство, но полях было слишком мало места, чтобы его записать
После этого математики искали это доказательство 350 лет
Впервые оно было найдено в 1995 году математиком Эндрю Уайлсом
Оно заняло 129 страниц
На самом деле он обнаружил его еще в 1993, но в процессе верификации был обнаружен пробел, над которым пришлось работать еще пару лет
Проверка подобных сложных доказательств людьми может занимать годы
Есть способ проверять алгоритмически, но для этого доказательство нужно формализовать, то есть перевести на язык программирования (чаще всего на Lean)
Однако это тоже очень сложно: нужно прописывать все шаги, даже тривиальные, и формализовать также все вложенные леммы
Математики редко делают это это в своих доказательствах, ссылаясь на "очевидность" и века нефомализованных утверждений
Формализацию Великой теоремы Ферма уже пытались провести
Кевин Баззард начал этот процесс как многолетний проект сообщества
То есть ожидалось, что на формализацию уйдут годы и труд многих специалистов
Вчера Anthropic объявили, что Claude полностью формализовал теорему за 11 дней
Автономно
Для этого он написал (внимание) 13.000.000 строк кода в Lean
Для сравнения: это в 5 раз больше, чем вся библиотека Mathlib
В процессе агенты также доказали 29.500 промежуточных лемм
Тот самый Кевин Баззард, ознакомившись с доказательством, назвал это экстраординарным достижением автоформализации, и подтвердил, что теорема доказана без каких-либо допущений, кроме аксиом математики
Кстати, на все про все у агентов ушло 6.000.000.000 выходных токенов
Ферма утверждал, что нашел доказательство, но полях было слишком мало места, чтобы его записать
После этого математики искали это доказательство 350 лет
Впервые оно было найдено в 1995 году математиком Эндрю Уайлсом
Оно заняло 129 страниц
На самом деле он обнаружил его еще в 1993, но в процессе верификации был обнаружен пробел, над которым пришлось работать еще пару лет
Проверка подобных сложных доказательств людьми может занимать годы
Есть способ проверять алгоритмически, но для этого доказательство нужно формализовать, то есть перевести на язык программирования (чаще всего на Lean)
Однако это тоже очень сложно: нужно прописывать все шаги, даже тривиальные, и формализовать также все вложенные леммы
Математики редко делают это это в своих доказательствах, ссылаясь на "очевидность" и века нефомализованных утверждений
Формализацию Великой теоремы Ферма уже пытались провести
Кевин Баззард начал этот процесс как многолетний проект сообщества
То есть ожидалось, что на формализацию уйдут годы и труд многих специалистов
Вчера Anthropic объявили, что Claude полностью формализовал теорему за 11 дней
Автономно
Для этого он написал (внимание) 13.000.000 строк кода в Lean
Для сравнения: это в 5 раз больше, чем вся библиотека Mathlib
В процессе агенты также доказали 29.500 промежуточных лемм
Тот самый Кевин Баззард, ознакомившись с доказательством, назвал это экстраординарным достижением автоформализации, и подтвердил, что теорема доказана без каких-либо допущений, кроме аксиом математики
Кстати, на все про все у агентов ушло 6.000.000.000 выходных токенов