Возведение числа «в треугольник» и извлечение «треугольного корня»
Оригинальная статья
Возведение числа в треугольник — это операция, аналогичная возведению в квадрат, но с треугольной геометрией вместо квадратной
Если квадрат числа n (обозначаемый теперь n☐ вместо привычного n²) представляет собой площадь квадрата со стороной n, то треугольное число n△ определяется как количество точек в треугольной решётке со стороной n
Геометрически, чтобы найти, например, 4△, мы представляем треугольник из точек с 4 точками внизу, 3 точками над ними, 2 точками выше и 1 точкой на вершине — всего 10 точек
Таким образом, 4△ = 10
Формально треугольное число рассчитывается по треугольному тождеству: n△ = n(n+1)/2
Легко убедиться, что (–4)△ = 3△ = 6. И, значит, алгебраический треугольный корень из 6 — это 3 и –4
Формула для расчёта треугольного корня из n имеет вид:
▵√n = (±√ (8n+1)−1) / 2
И свои формулы сокращённого умножения, например:
(m+n)△ = m△ + mn + n△
Это тождество легко понять геометрически: треугольник размера (m+n)△ состоит из следующих фигур: треугольника размера m△ (синий), прямоугольника размера mn (фиолетовый) и треугольника размера n△ (красный)
Вместо квадратных решать треугольные уравнения:
ax△ + bx + c = 0
Формулу его корней несложно получить, она имеет вид:
x =▵√ ((b/а)△−c/а)−b/а
Однако, несмотря на определённые алгебраические достижения, математически это не сложная история
Например, в нашем мире евклидова метрика основана на сумме квадратов — замена же её на сумму треугольников нарушает аксиомы метрики (не выполняется неравенство треугольника)
Если квадратичные формы играют фундаментальную роль в теории чисел, теории групп и дифференциальной геометрии, связаны с группами Ли и симметриями (например, группой вращений SO(3)), то треугольные числа не порождают аналогичных структур
Многие фундаментальные законы физики выражаются через квадратичные функции (закон всемирного тяготения Ньютона, закон Кулона)
Это связано с тем, что в трёхмерном пространстве интенсивность излучения от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (поскольку по мере удаления излучения от источника оно распространяется на площадь, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника)
А треугольные операции не имеют подобных физических интерпретаций, и это ограничивает их применение в науке
В комплексном анализе квадратичные функции имеют естественное продолжение, их свойства хорошо изучены
Треугольные операции могут быть сформулированы для комплексных чисел, но их аналитические свойства не обладают такой же силой
Привычная нам квадратная алгебра более эффективна для описания мира
Тем не менее, треугольные числа находят применение в комбинаторике, теории чисел и некоторых областях информатики, доказывая, что в нашем квадратном мире есть место и для треугольных идей
Оригинальная статья
Возведение числа в треугольник — это операция, аналогичная возведению в квадрат, но с треугольной геометрией вместо квадратной
Если квадрат числа n (обозначаемый теперь n☐ вместо привычного n²) представляет собой площадь квадрата со стороной n, то треугольное число n△ определяется как количество точек в треугольной решётке со стороной n
Геометрически, чтобы найти, например, 4△, мы представляем треугольник из точек с 4 точками внизу, 3 точками над ними, 2 точками выше и 1 точкой на вершине — всего 10 точек
Таким образом, 4△ = 10
Формально треугольное число рассчитывается по треугольному тождеству: n△ = n(n+1)/2
Легко убедиться, что (–4)△ = 3△ = 6. И, значит, алгебраический треугольный корень из 6 — это 3 и –4
Формула для расчёта треугольного корня из n имеет вид:
▵√n = (±√ (8n+1)−1) / 2
И свои формулы сокращённого умножения, например:
(m+n)△ = m△ + mn + n△
Это тождество легко понять геометрически: треугольник размера (m+n)△ состоит из следующих фигур: треугольника размера m△ (синий), прямоугольника размера mn (фиолетовый) и треугольника размера n△ (красный)
Вместо квадратных решать треугольные уравнения:
ax△ + bx + c = 0
Формулу его корней несложно получить, она имеет вид:
x =▵√ ((b/а)△−c/а)−b/а
Однако, несмотря на определённые алгебраические достижения, математически это не сложная история
Например, в нашем мире евклидова метрика основана на сумме квадратов — замена же её на сумму треугольников нарушает аксиомы метрики (не выполняется неравенство треугольника)
Если квадратичные формы играют фундаментальную роль в теории чисел, теории групп и дифференциальной геометрии, связаны с группами Ли и симметриями (например, группой вращений SO(3)), то треугольные числа не порождают аналогичных структур
Многие фундаментальные законы физики выражаются через квадратичные функции (закон всемирного тяготения Ньютона, закон Кулона)
Это связано с тем, что в трёхмерном пространстве интенсивность излучения от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (поскольку по мере удаления излучения от источника оно распространяется на площадь, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника)
А треугольные операции не имеют подобных физических интерпретаций, и это ограничивает их применение в науке
В комплексном анализе квадратичные функции имеют естественное продолжение, их свойства хорошо изучены
Треугольные операции могут быть сформулированы для комплексных чисел, но их аналитические свойства не обладают такой же силой
Привычная нам квадратная алгебра более эффективна для описания мира
Тем не менее, треугольные числа находят применение в комбинаторике, теории чисел и некоторых областях информатики, доказывая, что в нашем квадратном мире есть место и для треугольных идей
Chromatic Conflux
Triangland: Where Numbers are Triangled Instead of Squared
If you're anything like me, you've probably wondered what the quadratic formula would look like in an alternate universe where triangling numbers was the default quadratic function instead of squaring. Okay, maybe not.But that's what this blog post is about!…
Объявлены проекты ЛКТГ-2025:
1. Диофантовы уравнения
2. Линейные характеристики графов
3. Гомотопическая классификация замкнутых ломанных
4. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma
5. Оригами
https://turgor.ru/lktg/2025/
1. Диофантовы уравнения
2. Линейные характеристики графов
3. Гомотопическая классификация замкнутых ломанных
4. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma
5. Оригами
https://turgor.ru/lktg/2025/
Современная криптография стоит на двух математических столпах, которые кажутся простыми, но на деле чрезвычайно сложны для вычисления
Факторизация: детская игра, которая ставит в тупик суперкомпьютеры
Факторизация — это разложение числа на простые множители
Помните школьную математику?
Число 12 раскладывается на 2×2×3, число 15 — на 3×5
Просто, правда?
А теперь попробуйте разложить на множители число 2057
Не так-то легко!
Придётся перебирать делители: 2, 3, 5, 7, 11...
Оказывается, это 29×71
Теперь представьте число длиной в 2048 битов — это примерно 617 цифр!
Именно такие числа использует криптосистема RSA
Даже самые мощные суперкомпьютеры тратят тысячи лет, чтобы разложить подобное число на множители
Почему это так сложно?
Нет эффективного алгоритма
Приходится проверять делители один за другим, а их количество растёт экспоненциально с размером числа
Это как искать иголку в стоге сена размером с галактику
Дискретный логарифм: ещё одна непобедимая задача
Представьте простую операцию: 2 в степени 10 равно 1024
Легко посчитать!
А теперь обратная задача: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 1024?
Это и есть логарифм
В обычной арифметике логарифмы вычисляются просто
Но в модульной арифметике всё меняется кардинально
Пример: Возьмём число 3 и будем возводить его в разные степени по модулю 17:
3¹ = 3 (mod 17)
3² = 9 (mod 17)
3³ = 10 (mod 17)
3⁴ = 13 (mod 17)
...
Легко вычислить, чему равно 3¹⁰⁰ по модулю 17
Но если дать вам результат — скажем, 13 — сможете ли вы быстро сказать, в какой степени нужно возвести 3, чтобы получить 13 по модулю 17?
Это и есть задача дискретного логарифма
Почему эти задачи важны
Вся современная криптография основана на односторонних функциях — операциях, которые легко выполнить в одну сторону, но практически невозможно обратить
Схема RSA использует факторизацию: легко перемножить два больших простых числа, но крайне трудно разложить результат обратно
Ваш открытый ключ содержит произведение, а секретный — сами множители
Алгоритмы на эллиптических кривых используют дискретный логарифм: Легко «умножить» точку на кривой на большое число, но найти это число по результату — задача на миллионы лет вычислений
Реальные масштабы сложности
Чтобы понять масштаб проблемы, представьте: если бы каждый атом во Вселенной был компьютером, и все они работали бы с момента Большого взрыва до сегодня, то они всё равно не смогли бы разложить на множители 2048-битное число классическими методами
Именно поэтому банки спокойно используют RSA, правительства доверяют эллиптической криптографии, а ваши пароли надёжно защищены
Математика работает как непробиваемый щит
Что изменят квантовые компьютеры
Но есть одна проблема
Алгоритм Шора, работающий на квантовом компьютере, может решить обе эти задачи за разумное время
Факторизация 2048-битного числа займёт не тысячи лет, а считанные часы
Это означает, что как только появятся достаточно мощные квантовые компьютеры, вся существующая криптография станет бесполезной
Именно поэтому уже сейчас математики всего мира работают над постквантовой криптографией — новыми задачами, которые будут сложны даже для квантовых машин
Факторизация и дискретный логарифм — это два математических титана, которые уже четверть века держат на себе всю цифровую безопасность
Но их время подходит к концу
Факторизация: детская игра, которая ставит в тупик суперкомпьютеры
Факторизация — это разложение числа на простые множители
Помните школьную математику?
Число 12 раскладывается на 2×2×3, число 15 — на 3×5
Просто, правда?
А теперь попробуйте разложить на множители число 2057
Не так-то легко!
Придётся перебирать делители: 2, 3, 5, 7, 11...
Оказывается, это 29×71
Теперь представьте число длиной в 2048 битов — это примерно 617 цифр!
Именно такие числа использует криптосистема RSA
Даже самые мощные суперкомпьютеры тратят тысячи лет, чтобы разложить подобное число на множители
Почему это так сложно?
Нет эффективного алгоритма
Приходится проверять делители один за другим, а их количество растёт экспоненциально с размером числа
Это как искать иголку в стоге сена размером с галактику
Дискретный логарифм: ещё одна непобедимая задача
Представьте простую операцию: 2 в степени 10 равно 1024
Легко посчитать!
А теперь обратная задача: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 1024?
Это и есть логарифм
В обычной арифметике логарифмы вычисляются просто
Но в модульной арифметике всё меняется кардинально
Пример: Возьмём число 3 и будем возводить его в разные степени по модулю 17:
3¹ = 3 (mod 17)
3² = 9 (mod 17)
3³ = 10 (mod 17)
3⁴ = 13 (mod 17)
...
Легко вычислить, чему равно 3¹⁰⁰ по модулю 17
Но если дать вам результат — скажем, 13 — сможете ли вы быстро сказать, в какой степени нужно возвести 3, чтобы получить 13 по модулю 17?
Это и есть задача дискретного логарифма
Почему эти задачи важны
Вся современная криптография основана на односторонних функциях — операциях, которые легко выполнить в одну сторону, но практически невозможно обратить
Схема RSA использует факторизацию: легко перемножить два больших простых числа, но крайне трудно разложить результат обратно
Ваш открытый ключ содержит произведение, а секретный — сами множители
Алгоритмы на эллиптических кривых используют дискретный логарифм: Легко «умножить» точку на кривой на большое число, но найти это число по результату — задача на миллионы лет вычислений
Реальные масштабы сложности
Чтобы понять масштаб проблемы, представьте: если бы каждый атом во Вселенной был компьютером, и все они работали бы с момента Большого взрыва до сегодня, то они всё равно не смогли бы разложить на множители 2048-битное число классическими методами
Именно поэтому банки спокойно используют RSA, правительства доверяют эллиптической криптографии, а ваши пароли надёжно защищены
Математика работает как непробиваемый щит
Что изменят квантовые компьютеры
Но есть одна проблема
Алгоритм Шора, работающий на квантовом компьютере, может решить обе эти задачи за разумное время
Факторизация 2048-битного числа займёт не тысячи лет, а считанные часы
Это означает, что как только появятся достаточно мощные квантовые компьютеры, вся существующая криптография станет бесполезной
Именно поэтому уже сейчас математики всего мира работают над постквантовой криптографией — новыми задачами, которые будут сложны даже для квантовых машин
Факторизация и дискретный логарифм — это два математических титана, которые уже четверть века держат на себе всю цифровую безопасность
Но их время подходит к концу
ByteDance создали Ml-модель, которая превзошла AlphaGeometry2 от Google и завоевала на Международной математической олимпиаде (IMO) 2025
Seed Prover показала впечатляющие результаты, решив более 50 % всех задач конкурса Putnam и 78 % исторических задач IMO
Эта модель превзошла AlphaGeometry 2 от Google DeepMind и достигла 100 % точности на бенчмарке miniF2F от OpenAI
Seed Prover решает задачи, генерируя доказательства, которые проверяются Lean-компилятором
Например, задача по геометрии IMO 2025 была решена за 2 секунды, а задачи по теории чисел потребовали до 3-х дней вычислений, создавая доказательства длиной в тысячи строк кода
В Bytedance работает более 150.000 сотрудников. Подразделение Ml, которое называлось Flow, было разделено на Seed (создают модели), Stone (инфраструктура и инструменты) и Flow (приложения и продукты)
Seed Prover показала впечатляющие результаты, решив более 50 % всех задач конкурса Putnam и 78 % исторических задач IMO
Эта модель превзошла AlphaGeometry 2 от Google DeepMind и достигла 100 % точности на бенчмарке miniF2F от OpenAI
Seed Prover решает задачи, генерируя доказательства, которые проверяются Lean-компилятором
Например, задача по геометрии IMO 2025 была решена за 2 секунды, а задачи по теории чисел потребовали до 3-х дней вычислений, создавая доказательства длиной в тысячи строк кода
В Bytedance работает более 150.000 сотрудников. Подразделение Ml, которое называлось Flow, было разделено на Seed (создают модели), Stone (инфраструктура и инструменты) и Flow (приложения и продукты)
Anthropic выпустили Opus 4.1 и выяснили ещё больше о том, как Mlрассуждают - новое исследование
Вчера Anthropic присоединились к параду релизов и выпустили Opus 4.1, который стал еще лучше для кодирования и агентских задач
Вчера OpenAI представили свою опен сорс модель
А Google - Genie3
Более того, международная группа исследователей из Anthropic, Decode, EleutherAI, Goodfire AI, Google DeepMind опубликовала масштабное исследование внутренних механизмов больших языковых моделей
Что выяснили?
1. Языковые модели используют многоэтапное мышление даже в простых задачах
2. Модели сначала решают задачи на универсальном уровне, а потом переводят на конкретный язык
3. У моделей есть специализированные "детекторы" для отслеживания грамматических структур, границ предложений и даже отдельных букв — особенно важно для рифм и акронимов
Исследователи разработали "графы атрибуции" — способ визуализировать информационные потоки внутри модели
Это как МРТ для Ml: можно увидеть, какие части "мозга" активны при решении конкретной задачи
Методы оказались воспроизводимыми на разных моделях (GPT-2, Gemma, Llama) и уже используются сообществом — создано более 7000 таких "снимков мозга" Ml
Для математических задач модели используют заготовленные паттерны для конкретных комбинаций входных данных
Это объясняет, почему Ml иногда неожиданно ошибается в, казалось бы, простых вычислениях
Появляется возможность точечно настраивать поведение моделей, предсказывать их ошибки и создавать более надежные системы
Вчера Anthropic присоединились к параду релизов и выпустили Opus 4.1, который стал еще лучше для кодирования и агентских задач
Вчера OpenAI представили свою опен сорс модель
А Google - Genie3
Более того, международная группа исследователей из Anthropic, Decode, EleutherAI, Goodfire AI, Google DeepMind опубликовала масштабное исследование внутренних механизмов больших языковых моделей
Что выяснили?
1. Языковые модели используют многоэтапное мышление даже в простых задачах
2. Модели сначала решают задачи на универсальном уровне, а потом переводят на конкретный язык
3. У моделей есть специализированные "детекторы" для отслеживания грамматических структур, границ предложений и даже отдельных букв — особенно важно для рифм и акронимов
Исследователи разработали "графы атрибуции" — способ визуализировать информационные потоки внутри модели
Это как МРТ для Ml: можно увидеть, какие части "мозга" активны при решении конкретной задачи
Методы оказались воспроизводимыми на разных моделях (GPT-2, Gemma, Llama) и уже используются сообществом — создано более 7000 таких "снимков мозга" Ml
Для математических задач модели используют заготовленные паттерны для конкретных комбинаций входных данных
Это объясняет, почему Ml иногда неожиданно ошибается в, казалось бы, простых вычислениях
Появляется возможность точечно настраивать поведение моделей, предсказывать их ошибки и создавать более надежные системы
Telegram
All about AI, Web 3.0, BCI
Also Anthropic launched sota coding with Claude Opus 4.1
Claude Opus 4.1, an upgrade to Claude Opus 4 on agentic tasks, real-world coding, and reasoning.
Claude Opus 4.1, an upgrade to Claude Opus 4 on agentic tasks, real-world coding, and reasoning.
Рынок Ml уже почти сформировался из 3-6 крупных игроков, не больше
Это те компании, которые могут:
Создавать передовые модели
Имеют достаточно капитала для самофинансирования
Нужны огромные инвестиции в обучение моделей, которые не каждый может себе позволить
Два разных рынка:
1. Рынок базовых моделей, тут 3-6 игроков:
Anthropic (Claude)
OpenAI (GPT)
Google (Gemini), возможно еще пара
2. Рынок приложений на базе этих моделей - тысячи компаний, которые просто оборачивают возможности модели в удобный интерфейс, но рискуют, когда выйдет следующая версия модели, которая сможет делать то же самое напрямую
Про API как бизнес-модель - отличный бизнес, потому что модели принципиально не могут быть одинаковыми (в отличие от, скажем, баз данных)
Ml-продукты мало персонализированы
Персонализация станет огромным источником привыкания и удержания пользователей
Клиенты не захотят переключаться, потому что потеряют настройки
В Ml традиционные бизнес-модели не работают - экспоненциальный рост реален, но трудно предсказуем
Проблема с Ml-агентами - 95 % времени Ml-агент работает автономно и справляется сам, а 5 % времени нужно человеку, чтобы глубоко разобраться в деталях работы этого Ml-агента
Это принципиально новая проблема дизайна интерфейсов, которую еще никто не решил
Это те компании, которые могут:
Создавать передовые модели
Имеют достаточно капитала для самофинансирования
Нужны огромные инвестиции в обучение моделей, которые не каждый может себе позволить
Два разных рынка:
1. Рынок базовых моделей, тут 3-6 игроков:
Anthropic (Claude)
OpenAI (GPT)
Google (Gemini), возможно еще пара
2. Рынок приложений на базе этих моделей - тысячи компаний, которые просто оборачивают возможности модели в удобный интерфейс, но рискуют, когда выйдет следующая версия модели, которая сможет делать то же самое напрямую
Про API как бизнес-модель - отличный бизнес, потому что модели принципиально не могут быть одинаковыми (в отличие от, скажем, баз данных)
Ml-продукты мало персонализированы
Персонализация станет огромным источником привыкания и удержания пользователей
Клиенты не захотят переключаться, потому что потеряют настройки
В Ml традиционные бизнес-модели не работают - экспоненциальный рост реален, но трудно предсказуем
Проблема с Ml-агентами - 95 % времени Ml-агент работает автономно и справляется сам, а 5 % времени нужно человеку, чтобы глубоко разобраться в деталях работы этого Ml-агента
Это принципиально новая проблема дизайна интерфейсов, которую еще никто не решил
Связка нейроинтерфейсов с Ml— следующий большой тренд: интервью для Forklog,
Некоторые моменты:
1. Прогноз смены интерфейсов - эпоха Стива Джобса прошла, мы движемся к нейроинтерфейсам из-за желания ускорить взаимодействие с Ml
2. Состояние индустрии нейроинтерфейсов - в 2025 году индустрия выходит из коробки и переходит к большому количеству клиническим испытаниям, за 2024 год стартапы собрали $2.300.000.000 - инвестиций
3. Проблема материалов - главный барьер для нейроимплантов не софт, а отсутствие биосовместимых материалов
4. Google/DeepMind может создать сильный Ml через изучение мозга
5. Прорыв российских ученых - работа команды института ИИ МГУ с М. Лебедевым по созданию электродов за $1 и 3 дня
Главной задачей человечества в 21 веке, должно стать изучение человеческого мозга
Некоторые моменты:
1. Прогноз смены интерфейсов - эпоха Стива Джобса прошла, мы движемся к нейроинтерфейсам из-за желания ускорить взаимодействие с Ml
2. Состояние индустрии нейроинтерфейсов - в 2025 году индустрия выходит из коробки и переходит к большому количеству клиническим испытаниям, за 2024 год стартапы собрали $2.300.000.000 - инвестиций
3. Проблема материалов - главный барьер для нейроимплантов не софт, а отсутствие биосовместимых материалов
4. Google/DeepMind может создать сильный Ml через изучение мозга
5. Прорыв российских ученых - работа команды института ИИ МГУ с М. Лебедевым по созданию электродов за $1 и 3 дня
Главной задачей человечества в 21 веке, должно стать изучение человеческого мозга