Квантовые гейты: функциональный базис: I, X, Y, Z

Матрицы Паули — это не просто набор квантовых гейтов, а полный функциональный базис для всех однокубитных операций. Разбираемся, почему четыре простые матрицы могут описать любое квантовое преобразование

Математическая основа

Матрицы Паули вместе с единичной матрицей образуют ортонормальный базис в векторном пространстве всех эрмитовых матриц размерностью 2 × 2
Это означает, что любую эрмитову матрицу можно единственным образом разложить по этому базису:

H = α0I + α1σx + α2σy + α3σz,

где все коэффициенты α — вещественные числа

Сами матрицы имеют вид:

I = (1 0)
(0 1),
σx = (0 1)
(1 0),
σy = (0 −i)
(i 0),
σz = (1 0)
(0 −1)

Почему именно эрмитовы матрицы?

В квантовой механике эрмитовы операторы представляют наблюдаемые величины
Матрицы Паули описывают измерения спина вдоль осей X, Y и Z в трёхмерном пространстве

Поскольку любая физически измеримая величина для кубита должна быть эрмитовой, базис Паули охватывает все возможные наблюдаемые двумерного квантового пространства

Именно поэтому матрицы Паули иногда обозначают как I, X, Y, и Z

Функциональная полнота

Термин «функциональный базис» означает, что через эти четыре матрицы можно выразить любое унитарное преобразование кубита. Используя формулу Эйлера для матричных экспонент:

U = exp(i(α1σx + α2σy + α3σz),

можно получить произвольный однокубитный гейт
Это делает базис Паули универсальным для квантовых вычислений на одном кубите

Геометрическая интерпретация

Матрицы Паули связаны с сферой Блоха — геометрическим представлением состояний кубита
Вектор Паули σ = σxx + σyy + σzz обеспечивает отображение из трёхмерного вещественного пространства R3 в пространство бесследовых эрмитовых матриц:

a⋅σ = (a3a1 − ia2) (a1 + ia2−a3)

Алгебраические свойства

Матрицы Паули обладают уникальными свойствами:

* Эрмитовость: σi† = σi
* Унитарность: σi†σi = I
* Бесследовость: tr(σi) = 0
* Антикоммутация: {σi, σj} = 2δijI

Произведение матриц Паули даёт: σiσj = δij + iεijkσk, где εijk — символ Леви-Чивиты

Связь с группами Ли

Матрицы iσx, iσy, iσz образуют базис алгебры Ли SU(2), которая экспоненцируется в группу SU(2) — группу всех унитарных матриц размерности 2 × 2 с единичным определителем
Это означает, что базис Паули порождает все возможные квантовые вращения в двумерном пространстве

Практическое применение

В квантовых вычислениях базис Паули используется для:

* Разложения произвольных гейтов в элементарные операции
* Квантовой томографии — восстановления состояний через измерения
* Анализа ошибок в квантовых схемах
* Оптимизации квантовых алгоритмов

Базис I, X, Y, Z — это математический фундамент, на котором строится вся архитектура однокубитных квантовых вычислений
Четыре простые матрицы содержат в себе всю полноту квантовой логики для одного кубита

AlphaEvolve: как искусственный интеллект начинает открывать новую математику

В мае 2025 года Google представила AlphaEvolve — революционного ML-агента, который способен разрабатывать сложнейшие математические алгоритмы с помощью больших языковых моделей и эволюционного отбора

Эта система уже демонстрирует прорывные результаты: она не просто поддерживает учёных в доказательствах или вычислениях, а сама открывает новые решения давно открытых и открытых задач, предлагая оригинальные подходы, к которым человечество шло десятилетиями

AlphaEvolve опирается на мощные модели Gemini, которые предлагают гипотезы и пишут код, и на встроенных автоматических оценщиков, проверяющих корректность и эффективность этих решений. Но в отличие от предыдущих поколений ML, этот агент не ограничен задачами автоматизации
Он способен развивать и видоизменять собственные подходы — словно участвует в исследовательском процессе как полноценный математик

Самый яркий пример — новое решение задачи умножения комплексных матриц 4×4. AlphaEvolve нашла способ выполнить это с 48 скалярными умножениями — результат, превосходящий знаменитый алгоритм Штрассена, который считался эталоном с 1969 года

Более того, система не просто случайно наткнулась на улучшение: она прошла через 15 итераций мутаций и селекции, методично выводя эффективную структуру, которую можно математически интерпретировать и воспроизвести

Система была также протестирована на более чем 50 открытых математических задачах из анализа, комбинаторики, геометрии и теории чисел

В 75 % случаев AlphaEvolve воспроизвела лучшие на сегодня известные решения, что само по себе впечатляет
Но более важно то, что в 20 % задач она предложила лучшие решения, повышая текущие нижние или верхние оценки, и тем самым реально продвигая границу знания

Один из таких случаев — проблема поцелуев в 11-мерном пространстве
Задача, мучившая математиков более трёхсот лет, касается максимального количества сфер, касающихся центральной сферы. AlphaEvolve предложила конфигурацию из 593 внешних сфер, улучшив существующую нижнюю границу и тем самым внесла новый вклад в многомерную геометрию

По итогам AI Startup School от YC 2+1 взгляд на будущее ML: масштабирование, переосмысление или возвращение к биологии?

Вчера на AI Startup School от YC собрались ведущие исследователи, чтобы поделиться с молодыми стартаперами видением того, как мы дойдем до AGI

3 совершенно разных подхода от лидеров индустрии, которые сегодня определяют направление развития отрасли

1. Джаред Каплан, главный научный сотрудник Anthropic.
Соавтор знаменитых законов масштабирования считает, что путь к AGI лежит через планомерное улучшение 6 известных компонентов:
Знания — более глубокое понимание мира
Память — долгосрочная память систем
Надзор — лучший контроль и безопасность
Более крупные задачи — переход от минут к часам и дням работы
Мультимодальность — интеграция текста, изображений, аудио
Масштаб — продолжение увеличения моделей

Философия Каплана - революционных прорывов может и не потребоваться
Достаточно довести до совершенства то, что уже работает
Сейчас сложность задач, которые может решить ML, удваивается каждые 7 месяцев
От секунд в 2021 году до часов в 2024-м

Франсуа Шолле, создатель Keras, экс-исследователь Google: "Мы измеряем не то"
Шолле указывает на фундаментальную проблему: современные бенчмарки тестируют запоминание, а не интеллект
Его определение интеллекта - способность преобразовать небольшой набор примеров из прошлого опыта в решения для широкого круга неизвестных задач
Проблема нынешних LLM — они отлично справляются с "размытым распознаванием паттернов" (увидеть собаку на фото), но плохо с "написанием правил" (посчитать буквы в слове)
Людям доступны оба типа мышления
Его прогноз: 2025 год станет годом "рассуждений во время выполнения" — переходом от запоминания к настоящему мышлению

Bыступление Дэмиса Хассабиса DeepMind
Мозг — единственная доказанная архитектура AGI

CEO DeepMind предлагает самый радикальный взгляд - нужно вернуться к изучению мозга как единственного работающего примера общего интеллекта

Что это значит для будущего?
Каждый подход отражает разную философию развития технологий:

Каплан верит в эволюционный путь — постепенное совершенствование известных методов
Это позиция больших корпораций с ресурсами для масштабирования

Шолле призывает к революции в архитектуре — гибридные системы, сочетающие нейронные сети с символическим ML
Это путь исследователей, ищущих принципиально новые решения

Хассабис предлагает вернуться к основам — изучить мозг и воспроизвести его принципы. Это междисциплинарный подход на стыке ML, нейронауки и биологии

Почему важно понимать эти различия?
Выбор подхода определяет не только технические решения, но и:

1. Куда направлять инвестиции (скейлинг vs исследования vs нейронаука)
2. Какие специалисты нужны (инженеры vs ученые vs биологи)
3. Когда ожидать прорывов (годы vs десятилетия)
4. Как готовиться к изменениям в обществе

Возможно, истина лежит не в одном подходе, а в их сочетании. Но понимание этих различий поможет лучше ориентироваться в мире, где ML развивается с головокружительной скоростью

MiniMax Agent представил своего ИИ-агента, который фокусируется на выполнении комплексных задач от начала до конца

Агент создан на основе MiniMax их прорывной модели с 4М токенами контекста

MiniMax Agent работает так:Человек → Требование → Агент → Готовый продукт

Основные возможности:
1. Создание сайтов и лендингов
2. Генерация обучающих материалов с визуальным и аудио контентом
3. Разработка интерактивных презентаций
4. Работа с мультимодальным контентом (текст, изображения, видео, аудио)

Технические особенности:
- Интеграция с GitHub, GitLab, Slack, Figma через MCP
- Многоэтапное планирование задач
- Автоматическое тестирование создаваемых продуктов

Текущие ограничения:
•Использует несколько моделей вместо единой, что влияет на стоимость
•Находится в процессе оптимизации для снижения затрат

Пример: При запросе на создание сайта музея, агент генерирует не только код, но и готовый продукт с контентом, навигацией и медиафайлами

IBM начала совместное исследование с французской компанией Inclusive Brains для улучшения интерфейсов мозг-компьютер

Команды работают над системой, которая анализирует не только мозговые волны, но и движения глаз, мимику и другие физиологические сигналы

Алгоритмы ML интерпретируют эти данные и переводят их в команды для управления компьютерами или другими устройствами

Для поиска оптимальных решений они тестируют сотни тысяч различных алгоритмов машинного обучения
IBM предоставляет свои базовые модели Granite и экспертизу в квантовых вычислениях, которые могут помочь в обработке сложных нейросигналов

Технология уже проходит испытания в медицинском центре, где хирурги получают данные о своем уровне стресса и концентрации в реальном времени во время операций
Это помогает поддерживать работоспособность врачей и может улучшить результаты лечения

Inclusive Brains ранее продемонстрировала несколько прототипов: управляемый мыслями экзоскелет и возможность "писать мыслями" сообщения

Диаграмма показывает прогресс LLM ровно за 2 года с появления оригинальной модели GPT-4 в июне 2023 по сегодня (июнь 2025)

Прогресс показан для двух основных показателей:
– стоимость использования модели (в расчете на 1.000.000 токенов (каждый токен это единица текста от буквы до короткого слова);
– интеллектуальная способность модели, подтверждаемая её показателем прохождения тестов GPQA Diamond Score (показатель того, насколько успешно ML справляется с решением самых сложных, требующих экспертных рассуждений задач, которые ставят в тупик даже эрудированных людей с доступом к поисковикам)

Посмотрите в левый нижний угол диаграммы на способности и стоимость оригинальной модели GPT-4 в июне 2023 и сравните с показателями сегодняшних моделей:
• Рост интеллектуальных способностей +106 %
(с уровня студента-старшекурсника университета (знает основы, но далеко не эксперт) до уровня, превышающего средний среди обладателей профильных PhD
• Снижение стоимости использования модели, примерно – 100 %

N.B. GPQA — это набор очень сложных вопросов уровня аспирантуры в таких областях, как биология, физика и химия
Его главная особенность в том, что вопросы "защищены от поиска в Google"

Это означает, что для ответа на них недостаточно просто найти информацию в Интернете
Требуется глубокое понимание темы, умение рассуждать и связывать воедино сложные концепции

Это и есть суть GPQA, а Diamond score — это оценка за самую сложную часть этого экзамена

Какой вывод можно сделать из диаграммы?
• Пока нет никаких признаков прекращения быстрого роста возможностей ML при постоянно снижающихся затратах
• За следующие 2 года возможности ML вполне могут превысить уровень PhD не менее, чем уровень PhD выше студента-старшекурсника

Как называть таких «ML-сверхумников» будет уже не важно

Важно, что их будет много, и каждый из них будет обладать несопоставимыми с людьми возможностями

И это будет, хотите вы этого или нет

Google предлагает SPARQ-новый метод создания синтетического набора данных, который включает задачи с четко определенными шагами решения, чтобы модели могли учиться не только конечным ответам, но и процессу их получения

Это помогает преодолеть ограничения, связанные с галлюцинациями, поверхностным запоминанием шаблонов, что часто встречается в LLM

Метод также использует автоматизированные подходы для масштабируемого создания данных, минимизируя необходимость в дорогостоящей ручной разметке

В работе об Emergent Misalignment сбой скрывался не в миллиардах параметров, а в одном линейном направлении внутри активаций

Подтолкни модель к этому вектору — и она злодействует; вырежи его — зло почти исчезает

Другая группа исследователей задала мультимодальной модели миллионы вопросов «что похоже на что» — и выяснила: почти весь здравый смысл укладывается в 66 осей («животное», «инструмент», «красный»…)

Каждая ось совпала с человеческими интуициями и даже с зонами мозга, отвечающими за лица и места

LLM сжимают колоссальные знания и цели в узкий пучок управляемых векторов

90 % пути пройдено существующими методами, но оставшиеся 10% требуют прорыва

Пример — проблема Какеи: минимальная область на плоскости, в которой можно развернуть иглу, проходя через все направления
В двух измерениях задача решена, но в трёх измерениях — при условии малой, но ненулевой толщины иглы — возникают глубокие связи с дифференциальными уравнениями, геометрией и волновыми фронтами
Эта геометрическая задача оказывается связана с концентрацией энергии в волновых уравнениях, и, следовательно, имеет приложения в физике

Одной из центральных тем становится обсуждение уравнений Навье–Стокса

Тао объясняет, что в их основе лежит борьба между двумя эффектами: диссипацией (вязкость) и транспортом энергии
В двумерном случае (критический режим) вязкость достаточна для сдерживания энергии
В трёхмерном случае (сверхкритический режим) возможны ситуации, где энергия концентрируется, приводя к сингулярности — взрыву решения

Он обсуждает свой вклад 2016 года — конструкцию модифицированных уравнений, в которых взрыв возможен
Эти уравнения упрощены и искусственно «ослаблены», но их анализ позволяет исключить целый класс подходов к доказательству глобальной регулярности
Это важно: вместо поиска положительного решения, Тао показывает, почему многие существующие подходы не сработают

Интересен и другой аспект: идея «жидкостного компьютера»
Тао моделирует конструкцию, в которой взаимодействующие волны воды реализуют логические операции
Это гипотетическая машина, в которой энергия передаётся от одного масштаба к другому с задержкой, позволяя создать цепочку самовоспроизводящихся конфигураций

Вся конструкция — аналог машины Тьюринга, построенной на уравнениях движения жидкости
Если подобная система возможна в рамках настоящих уравнений Навье–Стокса, это будет означать возможность конечновременного взрыва

https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k

Сфера Блоха — превращает абстрактную математику кубитов в наглядную геометрию, когда каждая квантовая операция становится простым поворотом в трёхмерном пространстве, и представляет состояние одного кубита как точку на поверхности единичной сферы

Северный полюс соответствует состоянию |0⟩, южный — |1⟩, а все остальные точки описывают суперпозиции этих базисных состояний
Математически любое состояние кубита записывается как:

∣ψ⟩ = cos(θ/2)∣0⟩ + e^{iϕ}sin(θ/2)∣1⟩,

где θ — угол между вектором состояния и осью Z, а φ — азимутальный угол в плоскости XY

Геометрия квантовых операций

Главная магия сферы Блоха в том, что любая квантовая операция с кубитом — это поворот сферы
Это происходит благодаря изоморфизму между группой SU(2) унитарных матриц и группой трёхмерных вращений SO(3)

Основные гейты как вращения:

• X-гейт поворачивает состояние на 180° вокруг оси X
• Y-гейт — поворот на 180° вокруг оси Y
• Z-гейт — поворот на 180° вокруг оси Z
• Гейт Адамара — сложное вращение, переводящее |0⟩ в равновероятную суперпозицию

Операторы поворота имеют вид: R_x(θ) = e^{−iθX/2}, R_y(θ) = e^{−iθY/2}, R_z(θ) = e^{−iθZ/2}

Интуитивное понимание: сфера Блоха делает абстрактные квантовые состояния визуально понятными
Вместо работы с комплексными числами разработчик видит простые геометрические преобразования

Проектирование алгоритмов: при создании квантовых схем сфера помогает планировать последовательность операций

Нужно повернуть состояние из точки A в точку B?
Просто найдите кратчайший путь на сфере

Отладка и оптимизация: современные инструменты вроде Qiskit показывают траектории состояний на сфере Блоха, что помогает находить ошибки в квантовых программах

Образование: исследования показывают, что студенты значительно лучше понимают квантовые концепции после работы с интерактивными моделями сферы Блоха

Создаются физические устройства на базе Raspberry Pi и ESP32, которые синхронизируют вычисления с реальным вращением сферы
Такие системы используют FPGA для параллельных квантовых симуляций и моторы для физической визуализации состояний

Сфера Блоха работает только для одного кубита

Для многокубитных систем используются Q-сферы или фазовые диски, но они менее наглядны

Внутренние точки сферы представляют смешанные состояния, возникающие при взаимодействии с окружением

Связь между квантовой механикой и геометрией через сферу Блоха — это пример глубокой математической красоты

Комплексное проективное пространство ℂP¹ изоморфно сфере Римана, что делает квантовые состояния объектами дифференциальной геометрии

Сфера Блоха превращает квантовые вычисления из чёрной магии в понятную геометрию
Для любого, кто работает с кубитами, это не просто визуализация — это язык мышления о квантовых состояниях

Математика и физика, бесконечность, структура знаний
Во второй части интервью Тао обсуждает различие между математикой и физикой

Математика, по его словам, работает внутри моделей, исследуя их логические следствия

Физика — связывает модели с наблюдениями

Инженерия действует от задачи к решению

Математика в этом треугольнике — самый абстрактный и формализованный компонент, способный проверить внутреннюю непротиворечивость гипотез

Обсуждается и роль бесконечности в математике
Тао подчёркивает, что бесконечность часто используется для упрощения формулировок, но несёт риски: при работе с бесконечными суммами, например, могут возникнуть ошибки при перестановке слагаемых
Поэтому возникает идея «фенитизации» — перевода утверждений в конечный вид с конкретными оценками

В разговоре появляется и тема универсальности: того, как сложные системы на макроуровне подчиняются простым законам, независимо от микроскопических деталей
Тао приводит пример — распределение Гаусса, возникающее во множестве независимых случайных процессов
Однако он подчёркивает, что в системах с корреляциями (например, экономика) такие модели могут давать сбои — как в кризисе 2008 года

В завершении Тао переходит к методологии
Он делит математиков на «ежей» и «лис»: одни глубоко работают в одной области, другие ищут связи между разными направлениями. Сам он называет себя скорее «лисой» — его стиль работы основан на переносе идей между отдалёнными темами

Отдельное внимание он уделяет эстетике доказательств: не только корректность, но и краткость, прозрачность, адаптивность — критерии, по которым он оценивает математические тексты
Он вспоминает лекции Джона Конвея, где обсуждались «экстремальные доказательства» — самые короткие, самые элементарные или самые элегантные из возможных

Интервью охватывает множество тем: от гипотезы близнецов-простых до различий в стилях мышления
Но общая интенция ясна: математика — это не только инструмент формального вывода, но и способ выстраивать структурное мышление о сложных системах

Тао последовательно демонстрирует, как эта структура формирует наши представления о реальности — от воды в ванне до Вселенной в целом

https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k

today Science submitted a full CE mark application for marketing approval in Europe for PRIMA retinal prosthesis

With this key step, Science are moving closer to bringing to market the first brain-computer interface technology to restore functional form vision to patients blinded with late-stage age-related macular degeneration (AMD)

Теорему его имени знают все, а вот о нём самом у нас неизвестно практически ничего — Мишель Ролль

Теорема Ролля, которой в этом году исполняется 330 лет, гласит: если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a,b] и дифференцируемая на интервале (a, b) принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, где производная функции равна нулю

Сам Мишель Ролль открыл и доказал её для многочленов, тем не менее его имя присвоено более сильному утверждению. Собственно, Ролль и не мог говорить в 1691 году о дифференцируемых функциях — он был противником исчисления бесконечно малых, считая рассуждения о них неточными и ошибочными
Но потом поверил

Ролль был первым геодезистом, назначенным Людовиком XIV
Он перенес два апоплексических удара
Из первого выкарабкался, сохранив ясный ум и физические силы, а вот после второго его разбил паралич

https://www.mathedu.ru/text/mo_1998_1/p70/

интервью Н.Н. Константинова

(некоторые другие можно найти на странице
https://old.mccme.ru/edu/index.php%3Fikey=konst.html — но данного там как раз нет)

Федеральный судья США постановил, что Anthropic может обучать Claude на купленных книгах без разрешения авторов

Anthropic скачала более 7.000.000 пиратских копий книг с нелегальных сайтов (Books3, LibGen, PiLiMi), включая произведения истцов

Позже компания также купила миллионы печатных книг, отсканировала каждую страницу и создала цифровые копии
Для этого она даже наняла бывшего сотрудника Google, который специализируется на этой работе

Судья решил:

Использование книг для обучения языковых моделей подпадает под добросовестное использование

Нет карт-бланша на пиратство под предлогом ML-разработки

Признал обучение LLM чрезвычайно трансформативным использованием, сравнив его с тем, как люди учатся читать и писать
Это создает сильный прецедент для будущих дел

ML приведет к вымиранию человечества, нет оснований полагать, что люди достаточно умны, чтобы не дать себя уничтожить, когда поймут серьезность угрозы

Риски от ML реально высоки, и при очевидной для всех угрозе, человечество уже не сможет мобилизоваться

Пока все спорят о ChatGPT и регулировании ИИ, исследователи из Forethought Centre подняли ряд интересных вопросов, который почти никто не задаёт

Выделяется 3 стадии промышленного взрыва:

1. ИИ направляет и оптимизирует работу людей
2. Полностью автономные роботизированные заводы и фабрики.
3. Переход к молекулярному уровню для максимальной скорости.

Ключевая идея - когда роботы начнут строить роботов под управлением ML, возникнет петля обратной связи:

• Больше роботов → дешевле производство
• Дешевле производство → ещё больше роботов
• Экспоненциальный рост до физических пределов

Сегодня роботы удваиваются каждые 6 лет
Но когда они начнут строить друг друга под управлением ML, то:

Год 1: Удвоение за 12 месяцев, как сейчас удваиваются солнечные панели
Год 10-15: Удвоение за недели (по мере удешевления производства)

Физический предел - удвоение за дни или часы
Предел Земли — около 100.000.000.000.000 роботов (ограничение — солнечная энергия)
Это в 12.500 раз больше, чем людей

Ключевой расчёт авторов:
Гуманоидный робот стоит ~$100.000
Работая 24/7, он может заработать ~$240.000/год
Окупаемость: меньше года
С учётом строительства фабрик: 1-2 года на удвоение

Для сравнения, производственный сектор США создаёт $2.600.000.000.000 стоимости, используя $5.400.000.000.000 капитала — соотношение, которое делает самовоспроизводство возможным

Что упускают исследователи?
1. Маловероятно, что правительства позволят 90 % безработицу
2. "Удвоение за часы" игнорирует термодинамику и логистику
3. Кто купит продукцию триллионов роботов?

Вспоминаем, повторяем и не забываем чему равен предел

Будем строить последовательность по такому правилу
Выберем натуральное число
Если оно чётное, делим его на 2, в противном случае умножаем на 5 и прибавляем 1

С результатом будем проделывать то же самое снова и снова

Какие последовательности будут возникать?

Например,
1 – 6 – 3 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1, получился цикл;
5 – 26 – 13 – 66 – 33 – 166 – 83 – 416 – 208 – 104 – 52 – 26, снова цикл;
7 – 36 – 18 – 9 – 46 – …, а дальше не понятно, выйдет ли она на цикл или нет; по крайней мере на 100-м шаге получается число 11857916;
9 — в этой же растущей последовательности, 11 тоже выходит на неё;
15 попадает в цикл 1;
17 даёт ещё один цикл из 10 шагов…

И в целом наблюдается довольно хаотичная картина многих устойчивых состояний-циклов и возможно бесконечного роста для некоторых начальных значений

Должно ли что-то принципиально измениться, если всего лишь заменить 5 на 3 в этом правиле?
Оказывается,что для любого начального значения все такие последовательности рано или поздно приходят к единице!
Точнее говоря, пока не обнаружено такого числа, которое не пришло бы к единице, а проверено уже 2⁶⁸ первых натуральных чисел, и все они в итоге приходят к 1, и проверка непрерывно продолжается

Это знаменитая гипотеза Коллатца (немецкий математик Лотар Коллатц сформулировал её 1 июля 1932 г.), одна из нерешённых проблем математики (известная также под именем сиракузской проблемы, проблемы 3n+1 и др.)
Например, при n=27 последовательность состоит из 111 членов до первой единицы, достигая в пике значения 9232.
Почему 3n+1 подчиняется порядку, а 5n+1 — нет?

Ответа нет
Математики предполагают, что множитель 3 создает баланс между "подъёмом" (3n+1) и "спуском" (n/2), а 5 — нарушает его
Но строгого объяснения этого баланса нет

В настоящее время непонятен даже статус этой гипотезы. Теоретически возможны три варианта:
1) Гипотеза доказуема в аксиоматике Пеано и, значит, верна для всех натуральных чисел
2) Гипотеза опровержима в аксиоматике Пеано, и тогда существует контрпример — конкретное стандартное натуральное число, для которого последовательность уходит в бесконечность или в цикл, отличный от 4 – 2 – 1
3) Гипотеза неопровержима и недоказуема в системе аксиом Пеано, и это означает, что в этой аксиоматике невозможно ни доказать, что все числа приходят к 1, ни предъявить контрпример

Но в любом случае, в стандартной модели множества натуральных чисел она является истинной или ложной, даже если она недоказуема в аксиоматике Пеано

Если она истинна, это означает, что аксиоматика Пеано слишком слаба для её доказательства, а если ложна (и существует контрпример), то аксиоматика Пеано не умеет его построить

Стоит отметить, что конструктивная математика (отвергающая закон исключённого третьего для бесконечных множеств) допускает иную философскую позицию: у нас может никогда не быть конструктивных оснований ни для подтверждения гипотезы (алгоритма, строящего путь к 1 для любого n), ни для её опровержения (предъявления явного контрпримера)

Таким образом, для нас она может остаться без установленного значения истинности

Google сделал бесплатным свой ML Gemini для образовательного сообщества

Google запустил специальную версию Gemini для образовательного сообщества. Она построена на модели Gemini 2.5 Pro
Теперь у кого есть корпоративный образовательный аккаунт в Google, сможет бесплатно получить доступ к:

1. Gemini for Education — специальная версия для образования с доступом к премиум ML-моделям и повышенными лимитами

2. Gemini in Classroom — теперь доступен бесплатно для всех версий Google Workspace for Education

3. NotebookLM — доступен студентам 18+ и скоро будет доступен студентам всех возрастов