ادامه پاسخنامه تشريحي آزمون ١١ سايت رياضي

پاسخ تشريحي آزمون ١٢ سايت رياضي

ادامه پاسخ تشريحي آزمون ١٢ سايت رياضي

من كه اصلا اينطوري نيستم! هستم؟

مبحث تعويض ترتيب در المان انتگرالگيري از فصل #انتگرال چندگانه

مبحث تغيير متغير دوبعدي از فصل #انتگرال چندگانه

مبحث تغيير متغير سه بعدي از فصل #انتگرال چندگانه

١- مبحث تعويض ترتيب در المان از مهمترين و پرتست ترين قسمتهاي فصل انتگرال چندگانه
٢- نشانه استفاده از اين تكنيك دوچيز است: يا در صورت سوال ترتيب dxdy يا dydx داده شده و در گزينه ها برعكس آن سوال شده (يعني خود سوال از شما تعويض ترتيب را ميپرسد) يا اينكه تابع انتگرال نسبت به المان داخلي قابل حل نيست يا حتي حل پيچيده دارد.

توضيح اين سوال: ما انتگرال sin^3x رو بلديم ولي انتگرال sinx^3 رو نه
مگر اينكه كنارش x^2 وجود داشت تا با تغيير متغير حلش ميكرديم كه نيست!
پس بايد تعويض ترتيب بزنيم.

٣- در تعويض ترتيب دو گام چارچوبمند رو رعايت كنين، راحت به ج اب ميرسيد: گام اول- رسم ناحيه از روي كرانهاي فعلي، گام دوم- تعيين كران جديد از روي ناحيه رسم شده و حل انتگرال جديد!

١- ژاكوبين مشتق متغيرهاي قديمي به جديد هست! پس يا ميتونيم مثل پاسخ اين سوال معكوسش رو حساب كنيم و جواب رو عكس كنيم يا مثل پاسخ سوال بعدي خود ژاكوبين رو با معكوس كردن مشتقات مستقيم پيدا كنيم (پيشنهاد من روش دوم هست، چون فراموش نميكنين كه در نهايت عمليات معكوس رو انجام بدين)
٢- اگر حاصل ژاكوبين منفي بدست آمد از آن قدرمطلق ميگيريم، چون ترتيب انتخاب تغييرمتغيرها سليقه اي است.
٣- براي تعيين كرانهاي جديد، فقط روي مرز ناحيه اوليه حركت ميكنيم.

تغيير مختصات بيضي (شبه قطبي) روشي براي حل #انتگرال هاي چندگانه اي است كه در ناحيه يا تابع تحت انتگرالشان فرم بيضي ظاهر شود.

جمع بندي ويژه از حجم محصور توسط دو استوانه از سه استوانه معروف با شعاع قاعده يكسان - اثبات محاسبات حجم با كمك #انتگرال سه گانه

#مختصات استوانه اي

مختصات استوانه اي، تبديلي براي حل #انتگرال هاي سه گانه اي كه در آنها عبارت x^2+y^2 ظاهر ميشود.
ولي در حالت كلي سوالاتي شبيه تست مذكور نيز مطرح ميشود كه در آن يكي از مفاهيم رياضي در اين مختصات مطرح ميشود.

#مختصات كروي

يكي از مهمترين روشهاي حل #انتگرال سه گانه تبديل مختصات كروي است كه در حل انتگرالهاي سه گانه اي استفاده ميشود كه در آنها x^2+y^2+z^2 در تابع تحت انتگرال يا ناحيه انتگرالگيري ظاهر شده است كه در اين تبديل به ژاكوبين المان جديد و تبديل كرانها را دقت كنيد.

تست مهم براي محدوديت تبديل كران در #مختصات كروي در حالتيكه في تغييري نداره و تتا محدوديت پيدا ميكند

حالتهاي مختلف كرانهاي انتگرال سه گانه با روش تبديل #مختصات كروي و حالتي كه ناحيه شامل كره و مخروط باشد. جمع بندي خوبي است.

روشي خوب و سريع براي تعيين تابع پتانسيلِ يك ميدان پايستار

روش استفاده از تابع پتانسيل براي حل انتگرال خطي كه ميدان تحت آن پايستار هست ولي مرز ناحيه بسته نيست كه بتوان از قضيه گرين استفاده كرد.

اين تست به خوبي نشون ميده كه روش تابع پتانسيل از روش پارامتري كردن مرز (كه حاي در اين مرز را پارامتري داريم) روش بهتري هست.