Теорема Виета или как начать решать квадратные уравнения в 10 раз быстрее!

К прочтению обязательно тем, кто ещё игнорирует этот прекрасный инструмент)
А так же тем, кто планирует решать параметр на ЕГЭ)


Стандартный вид квадратного уравнения:
Приведённый вид - x² + px + q = 0 (здесь а = 1)
Общий вид - ax² + bx + c = 0

Теорема Виета гласит:
Если x₁ и x₂ – корни уравнения, то:
1. x₁ + x₂ = -p (или -b/a для общего вида)
2. x₁ * x₂ = q (или c/a для общего вида)

❗️ Важно❗️ Теорема работает только для уравнений, у которых ЕСТЬ корни (D ≥ 0).
И не забывайте проверять, что работаете с приведённым видом!


Решим пример:
x² - 5x + 6 = 0
Тогда:
x₁ + x₂ = -(-5) = 5
x₁ * x₂ = 6
Сумма 5, а произведение 6? Получается, что это 2 и 3!
Ответ: 2; 3.

Научитесь делать это в уме и вы откроете для себя мир быстрых решений!


А теперь для любителей параметра!

Мы можем анализировать корни, даже не решая уравнение, только используя через коэффициенты p и q (которые зависят от параметра).

1️⃣ Проверяем существование корней:
Уравнение имеет корни ⇨ Дискриминант D = p² - 4q ≥ 0 (это база).

2️⃣ Знаки корней:
Анализируем сумму (x₁+x₂ = -p) и произведение (x₁*x₂ = q):
🔤 Оба корня положительны: ⇨ x₁+x₂ > 0 И x₁*x₂ > 0 ⇨ -p > 0 И q > 0 ⇨ p < 0 и q > 0.
🔤 Оба корня отрицательны: ⇨ x₁+x₂ < 0 И x₁*x₂ > 0 ⇨ -p < 0 И q > 0 ⇨ p > 0 и q > 0.
🔤Корни разных знаков: ⇨ x₁*x₂ < 0 ⇨ q < 0 (Сумма (-p) может быть любой).


Задача с параметром:
При каком значении параметра a уравнение x² + (2a-1)x + (a² - a) = 0 имеет два положительных корня?


Своё решение пишите в комментариях!!

И накидайте огоньков за легендарный камбэк🔥

Мы с вами начинаем 10 дней графиков!

Здесь вы за 10 дней поймём все виды графиков, доступных в школьной программе!
(Нужно для 11го задания и для Параметра)

Начнём с базы - прямая!


1️⃣ Стандартное уравнение прямой (линейная функция):
Всё начинается с этой формулы:
y = kx + b
▫️y — зависимая переменная (значение функции)
▫️x — независимая переменная (аргумент)
▫️k — коэффициент наклона (угловой коэффициент)
▫️b — свободный член (коэффициент сдвига)



2️⃣ За что отвечает КАЖДЫЙ коэффициент?

1. k (Угловой коэффициент):
🔸Определяет НАКЛОН прямой: Чем больше |k|, тем круче подъем или спуск.
🔸Знак k задает направление:
▫️k > 0 ➔ Прямая ВОЗРАСТАЕТ (идет вверх направо). ↗️
▫️k < 0 ➔ Прямая УБЫВАЕТ (идет вниз направо). ↘️
▫️k = 0 ➔ Прямая ГОРИЗОНТАЛЬНА (см. ниже). ↔️
🔸k = tan(α), где α — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX. (посмотрите на картинку в комментариях)
🔸Как быстро найти k? k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) — (x₁;y₁) - первая точка, (x₂, y₂) - вторая точка.

2. b (Свободный член):
🔸Точка пересечения с осью OY! 🎯
🔸Где прямая пересекает ось Y? Ответ: в точке (0; b).
🔸Отвечает за "высоту" расположения прямой над/под осью OX.
🔸При b > 0 — пересекает OY выше начала координат.
🔸При b < 0 — пересекает OY ниже начала координат.
🔸При b = 0 — прямая проходит через начало координат (0;0).
❗️Важно помнить❗️, что если мы изменяем а, но изменяем b, то прямая "крутится" во круг точки пересечения с прямой OY, последите за этим на видео)



3️⃣ Все ВИДЫ прямых (частные случаи):

1. Обычная наклонная прямая: y = kx + b (где k ≠ 0, b — любое). Пример: y = 2x - 3.

2. Горизонтальная прямая (параллельна OX): y = b (частный случай, когда k = 0). Пример: y = 4 или y = -2.
▫️Особенность: Все точки имеют одинаковую ординату y = b. Функция постоянна.

3. Вертикальная прямая (параллельна OY): x = a. Пример: x = 5 или x = -1.
▫️Особенность: Все точки имеют одинаковую абсциссу x = a. Нет углового коэффициента.


📌 Главное запомнить:
◽️k — это крутизна и направление (↗️ или ↘️).
◽️b — это точка пересечения с осью Y (0; b).
◽️y = b — горизонтальная линия.
◽️x = a — вертикальная линия (не функция!).


Накидайте огоньков, если нравится идея 10 дней полного разбора одной темы🔥

#ЕГЭ #математикаВокругНас

Гипербола!

1️⃣ Стандартное уравнение гиперболы:
y = k / x
❗️Важно❗️ Гипербола стандартного вида никогда не пересекает оси координат (ни OX, ни OY, они называются асимптоты)! Она к ним только бесконечно приближается.


2️⃣За что отвечает коэффициент k?
🔸Расположение ветвей:
▫️k > 0 ➔ Ветви гиперболы находятся в I и III четвертях. ↗️↙️
▫️k < 0 ➔ Ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях. ↖️↘️
🔸Чем больше k по модулю, тем дальше "середина" ветвей гиперболы от точки (0;0)


3️⃣Общий вид уравнения гиперболы:
y = k / (x - a) + b
или тоже самое, но не приведённое y = (mx + n) / (px + q), тут нужно просто поделить многочлены и мы придём к общему виду, так что разбирать будем его!


4️⃣Асимптоты гиперболы:
Асимптота — прямая, к которой график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает ее.

🔸Для стандартной гиперболы y=k/x асимптоты это оси, потому что она их никогда не пересекает.

🔸Для общего вида y = k/(x-a) + b
▫️Горизонтальная: y = b (была y = 0)
▫️Вертикальная: x = a (была x=0).
Кстати, теперь значения k работаю слегка иначе:
▫️k > 0 ➔ Ветви гиперболы находятся в I и III четвертях относительно новых асимптот. ↗️↙️
▫️k < 0 ➔ Ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях относительно новых асимптот. ↖️↘️


На видео можете понаблюдать как работает изменение каждого коэффициента!
Красная и синяя пунктирные линии обозначают асимптоты гипербол!


Накидайте, пожалуйста, огоньков, чтобы я видел, что оно вам надо🔥🔥

Сегодня у нас с вами график корня!

1️⃣ Основное уравнение и вид графика:
y = k * √x


2️⃣Область допустимых значений (ОДЗ):
x ≥ 0 (под квадратным корнем не может быть отрицательного значения)


3️⃣Коэффициент k:
▫️Если k > 0 ➔ y ≥ 0
▫️Если k < 0 ➔ y ≤ 0


И честно говоря, для ЕГЭ вам этого хватит) Так что посмотрите видео и запомните) Если это попалась вам в 11м задние, то вы везунчик)

Но если хотите потом увидеть как работает каждый из коэффициентов в полной функции корня, то с вас огоньки🔥