حساب التكامل بالتجزئة :

ليكن التابعين u و v قابلين للاشتقاق على مجال I وبفرض ان 'u و 'v مستمرين على I اذا كان العددين a و b من I كان

ₐ ∫ ᵇ u • v dx = [ u • v ]ₐ ᵇ - ₐ ∫ ᵇ u' •v dx

يستخدم التكامل بالتجزئة عند وجود
جداء لتابعين من طبيعتين مختلفتين :

1 تابع اسي × تابع صحيح
2 تابع مثلثي × تابع صحيح

↲ نفرض الصحيح = u

3 تابع لغارتمي × تابع صحيح

↲ نفرض اللوغارتمي = u

4 تابع اسي × تابع مثلثي

↲ نفرض الأسي = u

تكاملات بعض التوابع الكسرية :

مكاملة التابع الكسري من الشكل
A(x)
------
B(x)
حيث (x)A تابع كثير حدود
و (x)B كثير حدود من الدرجة الثانية يمكن تحليله
ونميز حالتين :

الحالة الأولى : (درجة البسط ≤ 1)

نفرق الكسر على الشكل الآتي
A(x) a b
--------------- = ---------- + ----------
( )( ) ( ) ( )
ثم نوحد المقامات ونحذفها
ثم نطابق ونوجد قيمة a و b ونكامل

الحالة الثانية : (درجة البسط  > 1)
نجري عملية القسمة الاقليدية مباشرة ثم نكتب

الباقي
f(x) = الناتج + ----------
المقسوم عليه

ثم نكمل كما في الحالة الأولى

استخدام التكامل في إيجاد التابع الأصلي :

ليكن f تابع مستمر على المجال I عندئذ التابع الأصلي (x)F للتابع f يعطى بالعلاقة

F(x) = ₐ ∫ ˣ f(x) = ₐ ∫ ˣ f(t) dt

ملاحظة : الجواب تابع ل x

حساب المساحات اعتماداً على التكامل :

اولاً : حساب مساحة السطح المحصور بين Cf و محور 'xx والمستقيمين x=a و x=b الموازيين ل 'yy تعطى بالعلاقة :

● اذا كان 0 ≤ f ( اي c يقع فوق المحور 'xx )

S = ₐ ∫ ᵇ f(x) dx

● اذا كان 0 ≥ f ( اي c يقع تحت المحور 'xx )

S = - ₐ ∫ ᵇ f(x) dx

● اذا كان 0 ≤ f ( اي c يقع فوق المحور 'xx ) على المجال [ a , c ]
وكان 0 ≥ f ( اي c يقع تحت المحور 'xx ) على المجال [ c , b ]

S = ₐ ∫ ᶜ f(x) dx - ꜀ ∫ ᵇ f(x) dx

● حالة خاصة : اذا كان الشكل متناظر

                   S = 2 ₐ ∫ ᵇ f(x) dx

ملاحظة هامة : اذا لم يتم تحديد المستقيمين x=a و x=b عندها نوجد نقاط التقاطع بحل المعادلة 0 = (x)f

ثانياً : حساب السطح المحصور بين الخطين البيانيين Cf و Cg للتابع f و g على المجال I و المستقيمين x=a و x=b تعطى بالعلاقة

S = ₐ ∫ ᵇ | f(x) - g(x) | dx

اي ان :
S = ₐ ∫ ᵇ f(x) - g(x) dx cg تحت cf ↲

S = ₐ ∫ ᵇ g(x) - f(x) dx        cg فوق cf ↲

▪︎ S = ₐ ∫ ᵇ [ التحت - الفوق ] dx  ▪︎     

حالات استنتاج رسم الخط البياني من خط بياني .
بفرض أن التابع هو :
f(x) = lnx
ملاحظة :
- التابع f المفروض لونه احمر 🔴
- التابع g المُستنتج لونه ازرق 🔵

اضافة عدد a إلى داخل التابع علماً انَّ a > 0 وليكن a=1
g(x) = f(x+1)

🛑 نجري انسحاب على محور الفواصل
بمقدار العدد a=1 نحو اليسار.

طرح عدد a إلى داخل التابع علماً انَّ a > 0 وليكن a=1
                        g(x) = f(x-1)

🛑 نجري انسحاب على محور الفواصل
     بمقدار العدد a=1  نحو اليمين.

اضافة عدد a إلى داخل التابع علماً انَّ a > 0 وليكن a=1
                        g(x) = f(x)+1

🛑 نجري انسحاب على محور التراتيب
     بمقدار العدد a=1  نحو الأعلى.

طرح عدد a إلى داخل التابع علماً انَّ a > 0 وليكن a=1
                        g(x) = f(x)-1

🛑 نجري انسحاب على محور التراتيب
     بمقدار العدد a=1  نحو الأسفل.

ضرب التابع بالعدد (1-)

g(x) = - f(x)

🛑 نأخذ نظير الخط بالنسبة لمحور الفواصل.

ضرب ما داخل التابع بالعدد (1-)

                     g(x) = f(-x)

🛑 نأخذ نظير الخط بالنسبة لمحور التراتيب.

ضرب التابع وما داخله بالعدد (1-)

                     g(x) = - f(-x)

🛑 نأخذ نظير الخط بالنسبة لمبدأ الإحداثيات.

وضع التابع ضمن القيمة المطلقة

g(x) = |f(x)|

🛑 نحافظ على النقاط ذات الترتيب الموجب ونأخذ نظائر النقاط ذات الترتيب السالب بالنسبة لمحور الفواصل .

وضع ما داخل التابع ضمن قيمة مطلقة

g(x) = f(|x|)

🛑 نحافظ على النقاط ذات الفواصل الموجبة وناخذ نظائر النقاط ذات الفواصل السالبة بالنسبة لمحور التراتيب .

التابع العكسي للتابع المفروض

g(x) = f⁻¹(x)

🛑 ناخذ نظير التابع بالنسبة لمنصف الربع الأول.

كم تبقى للإمتحان النهائي ؟⏱✅

http://t.me/Files_lababidi_bot/Timer