Тэарэма Куланiна
Ёсць трыкутнiк ABC i прамая l праз цэнтр яго апiсанай акружыны. Давядзiце, што калi пункт P рухаецца па l, пядальная акружына праходзiць праз фiксаваны пункт.
Пытанне для самых дапытлівых геометраў: чым з'яўляецца фіксаваны пункт, калі l таксама праходзіць праз цэнтр упісанай акружыны?

USA TSTST 2019, P5

Акружына Ламуна

Добрая задача ад Адміна. Хай X пераменны пункт на акружыне Эйлера. Y дыяметральна процілеглая ёй. H' сіметрычная H адносна X. Давядзіце, што прамая YH' праходзіць праз фіксаваны пункт.

Акружына, упісаная ў нераўнабедраны трыкутнік ABC, дакранаецца старон BC, CA і AB у пунктах A1, B1 і C1 адпаведна. Тры мухі паўзлі па прамых AA1, BB1 і CC1 з сталымі хуткасцямі так, што ў нейкі момант яны знаходзіліся ў пунктах A, B і C, а ў іншы момант былі ў пунктах A1, B1 і C1. Праз некаторы час ўсе тры мухі апынуліся на адной прамой p1, а ў некаторы іншы момант — на прамой p2. Давядзіце, што p1 ⊥ p2.

Няхай F пункт Феербаха, а G цэнтроід трыкутніка ABC. Прамень FG перасякае апісаную акружыну у P. Адзначым цэнтроід трыкутніка PBC. Хай AG_{PBC} і FG перацінаюцца ў X. Давядзіце, што FG = 2GX

F можна замяніць на любы пункт акружыны дзевяці пунктаў

Лета пачалося, напруджвацца забаронена.
Паспрабуйце напісаць развязак мінімальнай колькасцю сімвалаў 👀

А тым часам наш канал дасягнуй 100 падпісантаў 🎉🎉🎉
Цісніце падабайку на гэты пост, калі лічыце, што падпісантаў павінна быць нашмат больш 🌍🌍🌍

Лета працягваецца, а задача ўжо не такая добрая як у мінулы раз
Магчыма я памыляюся, але Антон Котаў у гэтай задачы папросту лічыў вуглы (рахуємо кути)

Усіх з днём клопату пра любiмага ката!
Вось вам святочная задача

Задача з рэспубліканскай алімпіяды, якая была прапанавана ў 9 класе.

Дадзены вастракутны трыкутнік ABC. Пункты D і E абраны на баку BC і меншай дузе BC, так што <BAD = <EAC. Пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка AD перасякае апісаную акружыну ў пунктах G і F. Давядзіце, што артацэнтр трыкутніка GFE ляжыць на баку BC.

Аўтар: Мацвей Зорка

Працягваем выкладваць задачы з мінулай сёлета рэспубліканскай алімпіяды. Гэтым разам прапануем вам вырашыць задачу, якая была прапанавана ў 10 класе (на жаль, крыху са спойлерам)

Дадзены паралелаграм ABCD. Упісаная акружына трыкутніка ABC з цэнтрам I датыкаецца бакоў BC, AC і AB у пунктах P, Q, R адпаведна. DI перасякае бок BC у пункце S. Апынулася, што <RPD = 90°. Давядзіце, што акружына, пабудаваная на AS як на дыяметры, датыкаецца апісанай акружыны трыкутніка PQD.

Аўтар: Мацвей Зорка

Што за сцверджанне?
Правільна, гэта факт пра тое што бісектрысы смежных вуглоў перпендыкулярны.

Давесці, што чырвоная дуга дзеліцца напалову.

Пакуль Жэня не мае магчымасці штосьці посціць, час яго адной з любімых задач.
Чырвоная акружына пабудавана як на дыяметры. Фіялетавая — акружына 9 пунктаў BIC. Давесці, што разнакаляровыя акружыны перпендыкулярны.
Taiwan TST 2015 p3

Чырвоная прамая — радыкальная вось.
Давядзіце, што перыметр дзеліцца напалову радыкальнай воссю ўняўпісаных акружын.

Забываем мінулы пост і насалоджваемся новай не відавочнай задачай.
Чорныя прамыя атрымліваюцца адбіткам ад бакоў трыкутніка.