Пакуль наш сусед піша галоўную алімпіяду года з найпрыгажэйшымі задачамі (Русанівську олимпіаду) мы прапануем вам гэты падарунак!

Акружына ω датыкаецца бока BC трыкутніка у пункце C і не перацінае іншых бакоў трыкутніка. Акружына Г праходзіць праз пункт А і датыкаецца акружыны ω на прамой AС і перацінае прамую АВ у пункце D. На прамой BC адзначаны пункт Е. Давядзіце, што радыкальная вось (EBD) і ω не залежыць ад радыуса ω.

proposed by Андрэй Кармановіч

Рубрыка паспрабуй не зарахуваць ці фінальны этап "ВСОШ по математике 2024" 11.4

Фінальны этап "ВСОШ по математике 2024" 9.6 ці зноўку баян?

На баках AB i BC трыкутніка ABC адзначаны пункты D i E адпаведна так, што AD = CE. З інцэнтра I трыкутніка АВС правялі перпендыкуляр на прамую DE. Давядзіце, што гэты перпендыкуляр праходзіць праз сярэдзіну дугі ABC акружыны (ABC) тады і толькі тады, калі 2AD = AC.

Вясна, вераб'і прыляцелі, ажно 2.

proposed by Вадзім Камянецкі

Вы ўсё бачыце на малюнку. Каляровыя — датычныя.
Ці патрэбны ў гэтай задачы акружыны?

Шасцікутнік ABCDEF такі, што ABCD паралелаграм, а CDEF раўнабокая трапецыя з DE || CF. Апісаная акружына трыкутніка AEF перацінае прамую CF у пунктах F i P. Апісаная акружына трыкутніка BCF перацінае прамую CD у пунктах C i Q.

Давядзіце, што пункт пераціну AP i BQ знаходзіцца на роўнай адлегласці ад прамых AB i EF.

Досыць добрая задача, у якой ёсць вельмі нядобрае рашэнне...

На плоскасці знаходзяцца тры выпуклых папарна перацінаючыхся многавугольнікі M1, M2, M3. Вядома, што M1 ∩ M2 ∩ M3 =∅. Давядзіце, што існуе такая кропка O, якая не належыць ні аднаму з многавугольнікаў, што кожны промень [OA) перацінае хаця б адзін з многавугольнікаў.

Адкрытая алімпіяда БДУ па матэматыцы 2024 p5.

Прыдумайце і давядзіце абагульненне на n-мерную прастору.

Яе рашылі толькі удзельнікі, якія з'яўляюцца адмінамі гэтага канала😎

F – пункт Феербаха

У дадатак да ўчорашняга паста

Досыць добрае заданне з нядаўняга Турніру гарадоў

Проста выдатная задача, ад развязку якой я атрымаў небывалае задавальненне. Давядзiце, што чырвоная прамая – датычная.

Тэарэма Якобі

Тэарэма Куланiна
Ёсць трыкутнiк ABC i прамая l праз цэнтр яго апiсанай акружыны. Давядзiце, што калi пункт P рухаецца па l, пядальная акружына праходзiць праз фiксаваны пункт.
Пытанне для самых дапытлівых геометраў: чым з'яўляецца фіксаваны пункт, калі l таксама праходзіць праз цэнтр упісанай акружыны?

USA TSTST 2019, P5

Акружына Ламуна

Добрая задача ад Адміна. Хай X пераменны пункт на акружыне Эйлера. Y дыяметральна процілеглая ёй. H' сіметрычная H адносна X. Давядзіце, што прамая YH' праходзіць праз фіксаваны пункт.

Акружына, упісаная ў нераўнабедраны трыкутнік ABC, дакранаецца старон BC, CA і AB у пунктах A1, B1 і C1 адпаведна. Тры мухі паўзлі па прамых AA1, BB1 і CC1 з сталымі хуткасцямі так, што ў нейкі момант яны знаходзіліся ў пунктах A, B і C, а ў іншы момант былі ў пунктах A1, B1 і C1. Праз некаторы час ўсе тры мухі апынуліся на адной прамой p1, а ў некаторы іншы момант — на прамой p2. Давядзіце, што p1 ⊥ p2.