Добрай раніцы, шаноўнае спадарства!
N9 — цэнтр акружыны 9 пунктаў. Давесці, што адмечаны кут просты.

Вітаю, шаноўнае спадарства! Сёння вам прапануецца давесці наступны факт ад Мацея Зорка (БелМА IV этап 9.8) пра правільны шасцікутнік:

Бок шасцікутніка роўны 1, з кропкі на сярэдзіне аднаго з бакоў выпускаецца промень, які адбівается ад кожнага з бакоў шасцікутніка. Атрымалася, што праз некалькі адбіткаў промень вярнуўся ў родную сярэдзіну таго ж боку, а таксама даўжыня промня атрымалася натуральнай, давесці, што яна дзеліцца на 3.

Вітаю! Прапаную ўспомніць MGO-2024 і задачу Рыгора Забазнова. А дакладней яе абагульненне ад Яўгенія Шэшукова.
Аднакаляровыя прамыя — ізаганалькі

Вітаем шаноўнае спадарства! Прапануем вам азнаёміцца з наступным сюжэтам.

Як вядома, праз кожныя тры пункты, якія не ляжаць на адной простай, заўсёды можна правесці акружыну, прытым адзіную. Калі задумацца пра варыяцыі дадзенага сцверджання, то можна сфармуляваць наступнае:

Зафіксуем напрамак. Тады праз кожныя тры пункты, якія не ляжаць на адной прамой, заўсёды можна правесці парабалу, вось якой паралельная заданаму напрамку, прытым роўна адну.

Дзіву годнае, але апынаецца, што велізарная колькасць фактаў, якія былі дакладнымі для акружын застаюцца дакладнымі для парабал з паралельнымі восямі. Ніжэй адлюстраваны аналаг тэарэмы Фейербаха.

Гэтак жа ў тэрмінах парабал можна сфармуляваць тэарэму Мікеля для чатырохвугольніка. Але самае дзіўнае, што "парабаличная" кропка Мікеля заўсёды будзе ляжаць на парабале, якая дакранаецца ўсіх бакоў чатырохвугольніка. Паспрабуйце самі давесці гэты факт.

На плоскасці змесцаваны адзінкавы квадрат. Пункт M клічацца цiкавым, калі унутры квадрата існуюць такія пункты P і Q, што PQ = 1 і M сярэдзіна PQ.

Знайдзіце геаметрычнае месца цiкавых пунктаў

Паводле https://t.me/boring_problems/210

Вітаю! Сёння ў пятніцу 13 прапануем вам разабрацца з гэтай задачай😈.

Вітаем, шаноўнае спадарства! Прапануем вам вырашыць задачу, на якую хопіць ведаў і семікласніку!

Добрай раніцы, шаноўнае спадарства!
Прапануем вам у якасці простага практыкавання вырашыць наступную задачу.

У роўнабаковым трыкутніку ABC (AB = AC) адзначылі цэнтр апісанай акружыны O і цэнтр упісанай акружны I. Акружыны (BIO) і (ABC) перацінаюцца у пункце D. Давядзіце, што прамая AD дакранаецца акружыны (BIO).

Дарагія сябры!

Са шчырымі і радаснымі віншаваннямі звяртаемся да вас у гэта цудоўнае і чароўнае свята — Каляды! Тым часам, калі свет напаўняецца адменнай атмасферай, напоўненай чаканнем дзіва і цяплом шчырых пачуццяў, мы прапануем нацешыцца вам выдатнай навагодняй задачай.

Унутры елкі ABC адзначаны пункт P. Апынулася, што існуе прамая, што дакранаецца навагодніх шароў, упісаных у трыкутнiкі ABP, BCP, CPA.

Давесці, што прамая, якая праходзіць праз тры вонкавыя цэнтры гаматэтыі пар упісаных у трыкутнікі ABP, BCP, CPA навагодніх шароў, таксама праходзіць праз вяршыню елкі ABC.

Аўтар: Раман Прозараў
Крыніца MGO 2024, задача 6

С наступающим Новым Годом от Олимпиадной геометрии!

Докажите, что синие гирлянды на елке параллельны!

Вітаю! Шаноўныя гледачы, сардэчна віншуем вас з Новым Годам!🎄🎄🎄
Спадзяемся, што з новага ў гэтым годзе будуць толькі новыя дасягненні і веды. А пакуль прапануем вам вяртацца да працоўнага рытму і вырашыць нескладанае практыкаванне.

Вітаю, шаноўнае спадарства! Сёння хочацца пажадаць усім удзельнікам III этапу БелМА удачы і найлепшых вынікаў! Аўтарскі калектыў нашага каналу спадзяецца, што вы атрымаеце толькі пазітыўныя эмоцыі ад задач🙏.

Таксама жадаем ўдачы ўдзельнікам МЖА (IZhO)! Атрымайце асалоду ад розвязу задач, шаноўныя. 💅

І канешне прымацоўваю традыцыйнае фота, поспехаў!☺️

P.s. Пасля алімпіяды тут можна напісаць як вам задачы і як вы іх парашалі😉

Добрай раніцы, сябры!
Зусім нядаўна прайшло IZho, таму прапануем вам развязаць гэтую цікавую задачу!

IZho 2025, P5.
Выпуклы шасцікутнік A1C2B1B2C1A2 упісаны ў акружыну Ω. Прамяні A1B1 і A2B2 перацінаюцца ў пункце P, а адрэзкi A1C1 і A2C2 — ў пункце Q. Акружына Γ1 праходзіць праз пункты B1 і С1, а гэтак жа артаганальна Ω. Аналагічна, акружына Γ2, такая што праходзіць праз пункты B2 і С2, а гэтак жа артаганальна Ω.

Давядзіце, што існуе гаматэтыя з цэнтрам на прамой PQ, якая адлюстроўвае Γ1 у Γ2.

Вітаю, шаноўнае спадарства!

На мінулым тыдні скончыўся ІІІ этап БелМА і аўтарскі калектыў нашага каналу віншуе пераможцаў і прызёраў! 🎉🎉🎉
Спадзяемся, што ўдзельнікі ацанілі якасць задач і ўсім жадаючым давялося ўбачыць прыгажосць умоў і развязаў да іх. 💅💅💅

Сёння мы пачынаем выкладваць геаметрычныя задачы! Цікавыя развязванні і канструктыўная крытыка задач вітаецца!

Аўтар: Мацвей Зорка
Крыніца: БелМА ІІІ этап, задача 8.4

Вітаю!

Працягваем наш марафон Ⅲ этапу. На гэты раз дзявятаму класу была прапанавана не зусім стандартная геаметрыя. Прапануем вам азнаёміцца з ёй.

Ма і Гео гуляюць у гульню. Спачатку Ма абірае пункт X унутры акружыны Ω радыусу 1. Пасля гэтага Геа называе лік ɑ ∈ (0,90] . Затым Ма праводзіць дзве прамыя, вугал паміж якімі роўны ɑ°, і адзначае пункты пераціну A, B, C і D гэтых прамых з акружынай Ω.
Знайдзіце найменшае магчымае значэнне P, для якога Геа можа зрабіць так, каб няроўнасць XA² + XB² + XC² + XD² ≤ P выконвалась незалежна ад дзеянняў Ма.

Аўтар: Антон Палюховіч
Крыніца: БелМА Ⅲ этап, задача 9.4

Вітаю!

Марафон, III (Ⅲ) этап, вы самі і так усё ведаеце. Клясічная нескладаная геаметрыя на 4 пазіцыі.

Аўтар: Аляксей Вайдзелевіч
Крыніца: БелМА III этап, задача 10.4

ААА ВІТАЮ Я ЗАБЫЎСЯ НА ПОСТ А 23:29

Аўтар: Мацвей Зорка
Крыніца: БелМА III этап, задача 11.4

Вітаю, паважаныя падпісанты!

Задачы з 4 пазіцыі скончыліся, таму прапаную вам ацаніць цікавае назіранне, якое падыйдзе як лёгкае практыкаванне для пачынаючых геометраў.

A_1B=BC, AB_1=AC

Аўтар: Аляксей Вайдзелевіч
Крыніца: БелМА III этап, задача 9.6