Пререквизиты отражают степень того, насколько много знаний и внутренней мотивации автор ожидает от читателя. Классификация:

1. Пререквизиты отсутствуют. Рассчитано на широкую аудиторию тех, кто
▪️впервые знакомится с предметом
▪️может не обладать стандартным уровнем математической культуры*
▪️может не знать базовую математику (по меркам младших курсов университета)

2. Формально пререквизиты отсутствуют. Рассчитано на широкую аудиторию тех, кто
▪️впервые знакомится с предметом
▪️обладает некоторым уровнем стандартной математической культуры
▪️может не знать базовую математику

3. Требуются некоторые пререквизиты. Рассчитано на тех, кто
▪️уже знаком с основными мотивировками и идеями предмета
▪️имеет некоторые знания из базовых и смежных областей математики

4. Требуются серьёзные пререквизиты. Рассчитано на тех, кто
▪️уже хорошо знаком с основными мотивировками и идеями предмета
▪️имеет хорошие знания из базовых и смежных областей математики

*Упомянутая стандартная математическая культура включает:
▪️готовность воспринимать новые понятия
▪️способность замечать аналогии между понятиями и утверждениями
▪️умение отличать сказанное от подразумеваемого и принимать вещи по номиналу
▪️первоначальное знакомство с аксиоматическим методом
▪️автоматизм в применении простейших законов логики
▪️владение стандартными приемами доказательства (индукция, разбиение на случаи, доказательство от противного, etc)
▪️умение строить цепочки из двух–трех импликаций
▪️навык следить за длинными цепочками рассуждений
▪️умение отличать доказанное от недоказанного
▪️привычка к полноте анализа
▪️автоматизм алгебраических преобразований
▪️умение подставлять выражения в другие выражения

Теперь вы можете скачать любую книгу бесплатно: https://telegra.ph/how-to-get-books-08-29

Ключевые факторы успеха в начале научного пути

1. Проходите курсы и слушайте лекции. Осваивайте множество различных курсов: на факультете и в интернете. Вы обязаны выяснить, что представляют собой различные предметы и нравится ли вам их математический "стиль": например, являетесь ли вы "калькулятором” или “концептуализатором”; мыслите ли вы формулами или картинками; насколько "широким", по вашему мнению, будет ваш путь как математика и т.д. Плюс вы сможете присмотреться к преподавателям и обдумать вашу потенциальную совместимость с ними в плане научного руководства. #выборнаучногоруководителя

2. Посещайте семинары. Многие студенты избегают семинаров, вероятно, потому, что не имеют представления о том, что означают заявленные названия, не слышали о докладчиках, думают, что быстро потеряются, и вообще считают, что семинары предназначены для преподавателей. Это всё ошибки!

Посещая семинары, вы постепенно узнаете о том, что происходит в математике "снаружи": вы познакомитесь с множеством различных областей современных исследований и сможете построить ментальную карту того, что люди изучают в настоящее время. Через некоторое время названия семинаров начнут что-то значить для вас!

Вы столкнётесь со множеством "нейм дроппингов" и узнаете, чьи работы вам следует просмотреть, чтобы узнать больше о тех или иных областях. Вам необходимо знать все это, чтобы в конечном итоге принять взвешенное решение о том, в какой области вы хотите работать.

Семинары на самом деле ориентированы на студентов не меньше, чем на преподавателей — зачастую преподавателям было бы эффективнее просто поговорить с приглашённым докладчиком с глазу на глаз, если бы единственной целью визита было услышать доказательство его/её последней теоремы.

Это действительно правда, что когда вы только начинаете ходить на семинары, вы в основном теряетесь:

Я почти ничего не понял из многочисленных семинаров по экзотическим теориям когомологий, которые я посетил в свой первый семестр. Но, по крайней мере, благодаря лояльному посещению я познакомился с преподавателями и докладчиками и почувствовал себя принятым "топологом".

Это чувство никогда не исчезает полностью! Однако все приличные докладчики стараются начинать с уровня, понятного всем, и постепенно повышать темп. Когда в (скажем) последние пятнадцать минут они действительно пытаются объяснить свое доказательство, разумно ожидать, что немногие люди, незнакомые с этой областью, все еще следят за всеми деталями, если вообще следят. Но дело в том, что объем, за которым вы способны следить, будет увеличиваться тем больше, чем больше вы посещаете семинары — так что лучше начать как можно раньше. Более того, лекторам нравится, когда люди задают вопросы (чтобы почувствовать, что их действительно слушают, а также чтобы получить удовольствие от ответов!), поэтому не бойтесь перебивать. #коммуникация

Еще один неочевидный момент заключается в том, что лекционные курсы по своей природе построены так, чтобы быть как можно более линейными: упорядоченная последовательность определения-теоремы-доказательства является нормой (с, хочется надеяться, некоторой мотивацией!).

На семинаре вы увидите "настоящую" математику: человек начинает с вопроса, проблемы или примера; объясняет, что о нем известно; описывает (иногда несколько различных попыток) решение; перечисляет оставшиеся без ответа вопросы или новые проблемы, возникшие в результате работы.

Это органическая, живая, грубая математика; семинар обычно ближе к математическому разговору, чем к чтению из учебника. #обучениедвижимоевопросами

3. Составьте ментальную карту того, что ещё предстоит изучить. Поймите, чего вы не знаете и что знаете. Речь идёт о вещах двух типов:
а) математические понятия/идеи
б) академические пласты деятельности.
#наведениемостов

Вот примеры второго типа: обучение математическому общению (с товарищами и преподавателями), решению задач, эффективному чтению статей, ясному письму и выступлению с докладами, поиск научного руководителя, поиск темы (направления) научной работы, поиск конкретной задачи для исследования, исследовательский процесс (источник)

Мысли об аспирантуре

Прошедшая неделя или две, пока моя диссертация ждала комментариев, навеяла на меня несколько ретроспективное настроение. Поэтому я подумал, что пока все еще свежо в памяти, я попытаюсь собрать вместе свои советы аспирантам. Я постараюсь давать советы, с которыми можно не соглашаться, что, надеюсь, вызовет дискуссию. (Таким образом, я тоже смогу чему-то научиться!) По необходимости все это будет лучше всего подходить для людей, находящихся в похожей ситуации, как я и большинство моих друзей (в ведущем учебном заведении, планирующих продолжать исследования и т.д.).

Я организую свои мысли вокруг следующих идей:
1. Отдавайте предпочтение чтению читабельных источников
2. Стройте нарративы
3. Изучайте вкусы других математиков
4. Сделайте один ранний побочный проект (side project)
5. Найдите тусовку других аспирантов
6. Забросьте широкую сеть при поиске научного руководителя
7. Не работайте только над чем-то одним

(источник)

1. Отдавайте предпочтение чтению читаемых источников. Когда вы начинающий аспирант, вы сталкиваетесь с проблемой: работы пишутся для экспертов, а вы не эксперт. Однако единственный способ стать экспертом - читать больше математики. Как победить эту уловку-22?

Хорошая новость заключается в том, что ключ к тому, чтобы стать экспертом, заключается не в знании основных положений статей, а в знании материала, который является общим для всех статей в данной области. Это означает, что вместо того, чтобы выбирать статьи на основе их главных теорем, вы должны выбирать то, что вам легче всего читать! Если вы испытываете трудности с какой-то статьей, бросьте ее и читайте что-нибудь другое. Не тратьте семестр на борьбу с одной работой. Читайте хорошие учебники, по возможности читайте пояснительные источники. Когда найдете автора, которого вам легко читать, тогда прочитайте все его работы. (Жаль, что последний совет не пришел мне в голову раньше).

Следствие мысли: выбирайте занятия по преподавателю, а не по материалу. #чтение

2. Стройте нарративы. Математики — это люди, а люди любят истории. Люди не хотят слышать ваши теоремы, они хотят услышать историю, которую вы рассказываете вместе с ними. Точно так же, если вы хотите понять какую-то область, вам нужно переложить ее на истории. #нарративы

Так что делайте это при любой возможности. Когда вы изучаете работу других людей, предположите, в какое повествование она вписывается, и посмотрите, сможете ли вы уложить ее в эту картину. Выступите с докладом по этой истории. Это не обязательно должно быть то, что на самом деле имел в виду автор, но это должна быть хорошая интересная история.

(по ссылке есть примеры из квантовой теории поля)

3. Изучайте вкусы других математиков. Это тесно связано с предыдущим пунктом. Так же, как вы строите рассказы о математике, вы должны строить рассказы о математиках. Научитесь предсказывать, какая математика сделает вашего научного руководителя счастливым. Какие беседы ему/ей нравятся? Какие вопросы он/она задаёт? Какие результаты он/она считает глупыми? Например, мой руководитель ненавидит отрицательные результаты ("Возможно, если вы просто измените предположения, то у вас получится положительный результат!"), и любит асимптотические вопросы ("а что, если устремить N к бесконечности?"). Посещайте семинары других профессоров и, обдумывая свое исследование, думайте: "Как бы я мог сформулировать это так, чтобы профессорам теории представлений это понравилось?. Джонсу? Топологам?" И т.д. #обучениедвижимоевопросами

В аспирантуре важно начать развивать свой собственный вкус. Но у вас еще нет достаточного опыта, чтобы оценить, станет ли математика, которая вам нравится, хорошей математикой. Поэтому вам нужно узнать о вкусе других людей и использовать его для формирования своего собственного вкуса. Вы не должны копировать вкус вашего научного руководителя, потому что есть и другие люди с хорошим вкусом, которые не согласятся с вашим научным руководителем. Но с другой стороны, если я думаю о чем-то и не могу придумать, как заинтересовать этим Колю Решетихина, или Вована Джонса, или Питера Тайхнера, то, вероятно, это не такая уж хорошая идея.

Суть в том, чтобы понять, почему это не заинтересовало их, и перенять некоторые из этих причин в свой собственный вкус в будущем.

4. Сделайте один ранний побочный проект. Процесс начала и завершения проекта имеет определенные сходства независимо от содержания или масштаба проекта. Ранний опыт прохождения через весь процесс позволит вам понять, что вы ненавидите свою диссертацию не потому, что ненавидите математику или не хотите быть математиком, а потому, что вы находитесь на той стадии исследования (для меня это когда работа написана примерно на 3/4), когда вы ненавидите работу. Опыт преодоления этой стадии и завершения небольшого проекта невероятно ценен. Опыт выбора журнала, подачи статьи, чтения отчетов рецензентов и т.д. также полезно пройти с небольшим проектом, прежде чем вам придется делать это с чем-то более важным. Наконец, наличие уже опубликованных работ очень ценно, когда вы подаете заявку на постдока.

У меня было два таких побочных проекта, и хотя каждый из них по отдельности был очень ценен, я думаю, что в некотором смысле делать два побочных проекта было излишне. Возможно, я получил бы столько же, если бы занимался только одним из них, а затем больше сосредоточился на своем основном направлении исследований.

5. Найдите тусовку других аспирантов. Гораздо легче учиться и заниматься математикой, когда у вас есть единомышленники. Группа из полудюжины человек с несколько схожими интересами и одного возраста может иметь огромное значение. Это также позволяет создать студенческий семинар. В Беркли была большая группа по теории представлений примерно нашего возраста, и это было здорово. Если бы я начинал на три года позже, работа в области теории представлений была бы не столь привлекательной. (И наоборот, для людей, начинающих через несколько лет после меня, в Беркли есть отличная группа по алгебраической геометрии). Математика, над которой вы будете работать через 5 лет, будет достаточно отличаться от вашего первого взгляда на область, для того, чтобы имело смысл корректировать то, над чем вы хотите работать, исходя из условного социального окружения.

6. Забросьте широкую сеть при поиске научного руководителя. Мне нечего сказать о таком важном вопросе, как выбор научного руководителя, потому что это очень сложно и совершенно загадочно. Но вот одно наблюдение:

Самый простой способ быть несчастным в аспирантуре — это заранее определиться, над какой именно математикой вы хотите работать.

Это часто приводит к тому, что вам трудно найти научного руководителя, или к тому, что вы не подходите друг другу по характеру и стилю общения. Кажется, гораздо лучше рассмотреть большее количество вариантов, найти кого-то, кто имеет некоторое совпадение с вами в математическом плане, но, что более важно, хочет иметь студента и подходит по стилю. Лучшие математики интересуются широким кругом тем, вам не нужно, чтобы ваши интересы точно совпадали, чтобы найти хороший проект в области пересечения ваших интересов. #выборнаучногоруководителя

7. Не работайте только над чем-то одним. Мне кажется, что будучи аспирантом, вы должны практиковаться в поведении так, как настоящий взрослый человек. В частности, если вы ожидаете, что после аспирантуры будете успевать выполнять несколько проектов (а вы вроде как должны это делать, если хотите получить несколько публикаций в первые два года постдока, прежде чем подавать заявки на постоянную работу), то не должны ли вы также успевать выполнять сразу несколько проектов в качестве аспиранта?

Как сделать больше проектов за то же время? Сотрудничайте, сотрудничайте, сотрудничайте. Вы многому научитесь у своих коллег, быстрее выполните проекты и, возможно, получите больше удовольствия от работы.

Ной Снайдер, 2009

1. Упражняйтесь во внешнем цикле. Для начала отметим природу исследовательского опыта. Он — одновременно увлекательный и раздражающий процесс, потому что вы постоянно работаете на уровне метапроблем. Вы не просто решаете задачи — это лишь простой внутренний цикл. Большую часть времени вы проводите во внешнем цикле, определяя, какие проблемы стоит решать и какие из них созрели для решения. Вы постоянно представляете себе, как решаете гипотетические задачи, и задаетесь вопросами: куда это вас приведет, что это может открыть, или будет ли это кому-то интересно. Если вы похожи на меня, это иногда может немного сводить с ума, потому что вы тратите долгие часы на работу над вещами, даже не будучи уверенными, правильные ли это вещи или существует ли вообще решение. #обучениедвижимоевопросами

2. Развивайте вкус. Когда речь заходит о выборе проблем, вы услышите, как академики говорят о мистическом чувстве «вкуса». Это реальная вещь. Если вы предложете потенциальную задачу своему научному руководителю, вы либо увидите, как его лицо искажается, глаза закатываются, а внимание рассеивается, либо почувствуете возбуждение в его глазах, когда он начнет размышлять о неизведанной территории, готовой к исследованию. В этот краткий момент происходит многое: оценка важности проблемы, ее сложности, привлекательности, исторического контекста (и, возможно, соответствия их текущим грантам). Другими словами, ваш руководитель, скорее всего, мастер внешнего цикла и обладает высокоразвитым вкусом к проблемам. Во время обучения вы сами сможете развить это чувство. #нарративы

В частности, я думаю, что у меня был ужасный вкус, когда я только начинал PhD. Это видно по записям, которые я делал в первые годы. Многие проблемы, которые меня тогда волновали, в ретроспективе были плохо продуманы, неразрешимы или нерелевантны. Мне хочется верить, что к концу я отточил это чувство через практику и наставничество.

Теперь я попробую систематизировать несколько мыслей о том, что составляет это чувство вкуса и что делает проблему/задачу интересной для работы.

2.1. Заготовьте плодородную почву. Осознайте, что во время аспирантуры вы глубоко погрузитесь в одну область, и ваши статьи, скорее всего, будут выстраиваться друг на друга, создавая цельный корпус работ (который станет вашей диссертацией). Поэтому при выборе проблемы вам всегда нужно думать на несколько шагов вперед. Невозможно предсказать, как все сложится, но часто можно почувствовать, сколько пространства может быть для дальнейшей работы.

2.2. Соответствуйте интересам и сильным сторонам вашего руководителя. Вы захотите работать в сфере интересов вашего руководителя. Некоторые руководители могут позволить вам заниматься немного смежными областями, но тогда вы не будете в полной мере использовать их знания, и они будут менее склонны помогать вам с проектом или продвигать вашу работу. Например (и это относится к моему предыдущему пункту о понимании работы вашего руководителя), у каждого руководителя есть «стандартный набор разгонов/историй/сюжетов/слайдов» о своих исследованиях, который они постоянно используют, и если ваша работа может добавить в этот набор новые захватывающие сюжеты о передовых исследованиях, вы обнаружите, что они гораздо более вовлечены, полезны и заинтересованы в вашем исследовании. Кроме того, их выступления будут продвигать и популяризировать вашу работу. #выборнаучногоруководителя

2.3. Будьте амбициозны: сублинейный рост сложности. У людей есть странный психологический дефект: проблема, которая в 10 раз важнее или значимее, интуитивно кажется в 10 раз сложнее (или в 10 раз менее достижимой). Но это заблуждение. На моем опыте проблема, которая в 10 раз важнее, в худшем случае в 2-3 раза сложнее для достижения. Более того, в некоторых случаях проблема, которая кажется в 10 раз сложнее, может быть легче достижимой. Как так? Потому что мышление в масштабе 10x выталкивает вас за рамки привычного, заставляет столкнуться с реальными ограничениями подхода, думать с нуля, полностью менять стратегию, инновационно подходить к делу. Если вы стремитесь улучшить что-то на 10% и усердно работаете, вы этого добьетесь. Но если вы стремитесь улучшить это на 100%, вы все еще вполне можете это сделать, но сделаете это совершенно иначе. #толерантностькнеопределённости

2.4. Амбициозность не без подхода к задаче. Здесь важно также отметить, что существует множество важных проблем, которые не становятся отличными проектами. Рекомендую прочитать «Вы и ваши исследования» Ричарда Хэмминга, где этот момент подробно раскрыт:

Если вы не работаете над важной проблемой, вряд ли вы сделаете важную работу. Это совершенно очевидно. Великие учёные тщательно обдумывают ряд важных проблем в своей области и постоянно держат в уме вопрос о том, как к ним подступиться.

Позвольте предупредить: термин «важная проблема» требует точного определения. Важность проблемы определяется не её грандиозностью, а наличием инструментов для решения.
Три «важные» проблемы в физике, в определённом смысле, вообще не разрабатывались, пока я был в Bell Labs. Так вот под «важной» я понимаю ту, что гарантирует Нобелевскую премию и любую сумму денег, какую только можно назвать. Мы не работали над (1) путешествиями во времени, (2) телепортацией и (3) антигравитацией. На самом деле, это не важные проблемы, потому что у нас нет подхода к их решению (attack).

Не следствие делает проблему важной, а наличие разумного метода её решения (reasonable attack). Вот что делает проблему важной.

3. Человек, который сделал X. В конечном итоге цель аспирантуры (PhD) заключается не только в том, чтобы развить глубокую экспертизу в своей области, но и в том, чтобы оставить свой след в ней. Чтобы направить её, сформировать. Идеальный сценарий — к концу PhD вы «владеете» какой-то частью важной области, желательно такой, которую легко и быстро описать. Вы хотите, чтобы люди говорили про вас: «он/она — человек, который сделал X». Если вы сможете заполнить этот пробел, у вас будет успех. #нарративы

4. Негативные примеры. Существуют также задачи или типы публикаций, которых желательно избегать. Например, иногда можно услышать, как академики говорят о «инкрементальной работе» (это худший возможный эпитет в академической среде).

Инкрементальная работа — это статья, которая улучшает что-то существующее, усложняя это, и добавляет всего 2% к какому-то показателю. Забавно, что такие статьи имеют довольно высокий шанс быть принятыми (рецензент не может указать на что-то, чтобы их зарубить; их иногда называют «тараканьими статьями»), так что если у вас есть серия таких публикаций, можно почувствовать себя очень продуктивным. Но на самом деле эти статьи не будут широко цитироваться, и вы не окажете большого влияния на свою область.

Точно так же выбор проектов не должен включать мысли вроде «вот следующий логический шаг, который никто еще не сделал, давай я это сделаю» или «это будет легкая публикация».

5. Ценные навыки. Осознайте, что во время PhD вы станете экспертом в выбранной вами области*. Представьте себя через 5 лет мировым специалистом в той или иной области (10 000 часов обеспечат это независимо от академического влияния вашей работы). Задайте себе вопрос: будут ли эти навыки захватывающими или потенциально ценными для ваших будущих начинаний?

*Кстати, любопытный факт: [5 лет] × [260 рабочих дней] × [8 часов в день] = 10 400 часов. Если верить Гладуэллу, то PhD — это ровно то время, которое нужно, чтобы стать экспертом

6. Пример: моя диссертация. Чтобы сделать эту дискуссию более конкретной, я хотел бы привести пример того, как развивался мой собственный PhD. Сначала забавный факт: вся моя диссертация основана на работе, которую я выполнил за последние 1,5 года PhD. То есть мне потребовалось довольно много времени, чтобы покрутиться в пространстве метапроблем и найти проблему, над которой я действительно хотел работать (остальные ~2 года я в основном бродил в других областях).

Затем в какой-то момент на третьем году я случайно зашел в офис Ричарда Сочера в субботу в 2 часа ночи. Мы поболтали об интересных проблемах, и я понял, что некоторые его работы по изображениям и языку действительно затрагивают что-то очень интересное (но конечно, область пересечения изображений и языка уходит корнями гораздо дальше, чем работы Ричарда). Я не мог точно предвидеть все последствия, но эвристически это наблюдение выглядело очень многообещающим: это была плодородная почва (много нерешенных проблем, много интересных возможностей связать изображения с их описаниями), я чувствовал, что это круто и важно, это легко объяснить, это казалось на грани возможного (глубокое обучение только начинало работать), наборы данных только начали появляться (Flickr8K только что вышел), это хорошо вписывалось в интересы Фей-Фей (моего руководителя), и даже если бы я не добился успеха, я бы по крайней мере получил много практики с оптимизацией интересных глубоких сетей, которые мог бы применить где-то еще. У меня было сильное ощущение, будто все галочки выстроились в ряд, случился щелчок, и в моей голове все встало на свои места. На следующий день я предложил эту область Фей-Фей, и, к моему облегчению, она с энтузиазмом одобрила, поддержала меня и позже помогла мне ориентироваться в этом пространстве (например, Фей-Фей настояла, чтобы я занялся генерацией предложений из изображений, в то время как я был в основном занят ранжированием). Я доволен тем, как все развивалось дальше.

Короче говоря, я два года бродил во внешнем цикле, пытаясь найти, во что погрузиться. И как только я понял, что это будет, основываясь на нескольких эвристиках, я начал копать.