выше — вольный перевод эссе
Oded Goldreich "On our duties as scientists (a personal version)" от 14 марта 2004, доступного где-то на страничке https://www.wisdom.weizmann.ac.il/~/oded/essays.html Хороший текст, но не супердоступный (потому что оригинал выложен в формате .ps), захотел это исправить. Курсив авторский, жирный шрифт мой

TLDR: https://www.bible.com/ru/bible/201/LUK.12.48.RSP

Профессия математика

Математики доказывают теоремы, которые сами же и придумали, и испытывают невероятный кайф от этого. Чтобы жизнь мёдом не казалась, найти (высокооплачиваемую) постоянную работу за рубежом не так просто, да и в России тоже. Вместе с тем, все очень быстро меняется, жизнь непредсказуема и все, кому очень надо, что-то да находят. После университета (или даже аспирантуры) математики занимаются очень разными вещами: финансами, программированием, экономикой, анализом данных. А кто остался в науке (или, правильнее говорить, ушёл в науку) много путешествуют, общаются с интересными людьми, преподают умным студентам. Кто уходит в науку?
Совершенно не обязательно самые умные (что бы это ни значило) – может быть, самые упорные, а, может быть, кому повезло найти такую интересную задачу, ради которой можно и всё остальное бросить.

Никита Калинин, 2020

Ради этого и стоит заниматься математикой: https://telegra.ph/how-to-become-a-scholar-08-05

1. Опишите самые яркие впечатления за время обучения

Больше всего мне запомнился курс по геометрической теории групп, на котором я познакомился со своим будущим научным руководителем. Видимо, именно в этот период я принял для себя мысль о том, что любую сколь угодно сложную загадку можно разгадать.

Ещё запомнилось, как на третьем курсе мне впервые поставили оценку «хорошо» на экзамене. Сейчас мне видится, что основная задумка экзамена — это самоконтроль в процессе освоения дисциплин, и поэтому важно показывать на них свой максимум. Дело в том, что до этого я считал отличные оценки как показателем, так и необходимым условием успеха. Избавиться от этой ложной мысли мне помог один экзамен, на котором я обнаружил для себя, что для получения оценки выше четырёх нужно было сдавать коллоквиум в середине семестра :)

Как можно догадаться, мне до сих пор снятся кошмары про экзамены

2. Что вы считаете своими главными учебными и внеучебными достижениями?

Первое, что приходит в голову — дипломная работа. Но хотелось бы упомянуть еще и научные успехи моих учеников, а также повышение уровня исследовательских задач Санкт-Петербургского Турнира юных математиков, руководителем которого я и являюсь. Для меня это те самые большая сила и большая ответственность.

3. Какие у Вас планы на ближайшие пару лет?

Заниматься научной работой, параллельно проходя обучение в магистратуре на программе «Современная математика». Поступить в местную аспирантуру и защитить диссертацию.

4. Что бы вы посоветовали будущим студентам-математикам?

Не надейтесь, что всему необходимому вас научат на лекциях в университете. Занимайтесь самообразованием. Развивайте soft skills и учите иностранные языки. Например, зная азы английского, выучить математический английский можно, скажем, на youtube каналах 3Blue1Brown, PBS Infinite Series или Prof Ghrist Math.

Создайте у себя на компьютере электронную библиотеку и попробуйте собрать в ней все возможные учебники по всем разделам математики, находя их через Google или Amazon и скачивая через Library Genesis. Не обязательно прочитывать все книги, достаточно бегло просматривать содержание и запоминать заголовки, чтобы иметь возможность в будущем вернуться к ним. Помните, что никакое видение теории не может быть единственно правильным. Переосмысляйте изученное.

Занимайтесь преподаванием. Например, организуйте исследовательский кружок или прочитайте курс лекций по знакомой вам теме, в которой желаете разобраться чуточку глубже. Изучите сложную математическую теорию и попытайтесь пересказать соответствующие ключевые идеи на простом языке, понятном даже школьнику. Учитесь делать доклады.

После того, как выберете для себя наиболее интересные разделы математики, подпишитесь на ежедневные рассылки аннотаций препринтов на arxiv.org/help/subscribe. Помните, что просматривать публикации в конкретных научных журналах можно через Sci-Hub. Посещайте семинары и конференции, ищите единомышленников. Если не находится интересный научный семинар, организуйте свой собственный.

Ищите хороших научных руководителей. Помните, что смена руководителей способствует расширению кругозора.

Ищите хорошие задачи для научной работы. Например, зафиксируйте для себя сверхзадачу и стремитесь её решению. Представьте, что ваша копия из будущего уже доказала или опровергла гипотезу, которая в настоящем кажется вам неподвластной. Достигнув желанного, проанализируйте полученные результаты и, чтобы избежать временных парадоксов, признайте их очевидным (для себя). Принимайте собственные неудачи и не переживайте, когда что-то не получается. Ищите истину. #обучениедвижимоевопросами

(источник)

С.И. Поварнин - "Как читать книги"
Читает Юрий Лазарев
Аудиокнига АСТ 2022

Глубина отражает степень того, насколько подробно и аккуратно затрагиваются отдельные аспекты, составляющие данный предмет. Классификация:

1. Поверхностное изложение, в котором:
▪️ рассматриваются лишь самые базовые понятия и концепции, причем довольно бегло
▪️ высок процент понятий без точных определений и/или теорем без доказательств

2. Вводное изложение, в котором:
▪️ покрыты основные для этого предмета центральные сюжетные линии, хоть и бегло
▪️ допускаются понятия без точных определений и/или теоремы без доказательств

3. Материал для основательного погружения.

4. Тщательное изложение, освещающее как центральные темы, так и специальные разделы.

Пререквизиты отражают степень того, насколько много знаний и внутренней мотивации автор ожидает от читателя. Классификация:

1. Пререквизиты отсутствуют. Рассчитано на широкую аудиторию тех, кто
▪️впервые знакомится с предметом
▪️может не обладать стандартным уровнем математической культуры*
▪️может не знать базовую математику (по меркам младших курсов университета)

2. Формально пререквизиты отсутствуют. Рассчитано на широкую аудиторию тех, кто
▪️впервые знакомится с предметом
▪️обладает некоторым уровнем стандартной математической культуры
▪️может не знать базовую математику

3. Требуются некоторые пререквизиты. Рассчитано на тех, кто
▪️уже знаком с основными мотивировками и идеями предмета
▪️имеет некоторые знания из базовых и смежных областей математики

4. Требуются серьёзные пререквизиты. Рассчитано на тех, кто
▪️уже хорошо знаком с основными мотивировками и идеями предмета
▪️имеет хорошие знания из базовых и смежных областей математики

*Упомянутая стандартная математическая культура включает:
▪️готовность воспринимать новые понятия
▪️способность замечать аналогии между понятиями и утверждениями
▪️умение отличать сказанное от подразумеваемого и принимать вещи по номиналу
▪️первоначальное знакомство с аксиоматическим методом
▪️автоматизм в применении простейших законов логики
▪️владение стандартными приемами доказательства (индукция, разбиение на случаи, доказательство от противного, etc)
▪️умение строить цепочки из двух–трех импликаций
▪️навык следить за длинными цепочками рассуждений
▪️умение отличать доказанное от недоказанного
▪️привычка к полноте анализа
▪️автоматизм алгебраических преобразований
▪️умение подставлять выражения в другие выражения

Теперь вы можете скачать любую книгу бесплатно: https://telegra.ph/how-to-get-books-08-29

Ключевые факторы успеха в начале научного пути

1. Проходите курсы и слушайте лекции. Осваивайте множество различных курсов: на факультете и в интернете. Вы обязаны выяснить, что представляют собой различные предметы и нравится ли вам их математический "стиль": например, являетесь ли вы "калькулятором” или “концептуализатором”; мыслите ли вы формулами или картинками; насколько "широким", по вашему мнению, будет ваш путь как математика и т.д. Плюс вы сможете присмотреться к преподавателям и обдумать вашу потенциальную совместимость с ними в плане научного руководства. #выборнаучногоруководителя

2. Посещайте семинары. Многие студенты избегают семинаров, вероятно, потому, что не имеют представления о том, что означают заявленные названия, не слышали о докладчиках, думают, что быстро потеряются, и вообще считают, что семинары предназначены для преподавателей. Это всё ошибки!

Посещая семинары, вы постепенно узнаете о том, что происходит в математике "снаружи": вы познакомитесь с множеством различных областей современных исследований и сможете построить ментальную карту того, что люди изучают в настоящее время. Через некоторое время названия семинаров начнут что-то значить для вас!

Вы столкнётесь со множеством "нейм дроппингов" и узнаете, чьи работы вам следует просмотреть, чтобы узнать больше о тех или иных областях. Вам необходимо знать все это, чтобы в конечном итоге принять взвешенное решение о том, в какой области вы хотите работать.

Семинары на самом деле ориентированы на студентов не меньше, чем на преподавателей — зачастую преподавателям было бы эффективнее просто поговорить с приглашённым докладчиком с глазу на глаз, если бы единственной целью визита было услышать доказательство его/её последней теоремы.

Это действительно правда, что когда вы только начинаете ходить на семинары, вы в основном теряетесь:

Я почти ничего не понял из многочисленных семинаров по экзотическим теориям когомологий, которые я посетил в свой первый семестр. Но, по крайней мере, благодаря лояльному посещению я познакомился с преподавателями и докладчиками и почувствовал себя принятым "топологом".

Это чувство никогда не исчезает полностью! Однако все приличные докладчики стараются начинать с уровня, понятного всем, и постепенно повышать темп. Когда в (скажем) последние пятнадцать минут они действительно пытаются объяснить свое доказательство, разумно ожидать, что немногие люди, незнакомые с этой областью, все еще следят за всеми деталями, если вообще следят. Но дело в том, что объем, за которым вы способны следить, будет увеличиваться тем больше, чем больше вы посещаете семинары — так что лучше начать как можно раньше. Более того, лекторам нравится, когда люди задают вопросы (чтобы почувствовать, что их действительно слушают, а также чтобы получить удовольствие от ответов!), поэтому не бойтесь перебивать. #коммуникация

Еще один неочевидный момент заключается в том, что лекционные курсы по своей природе построены так, чтобы быть как можно более линейными: упорядоченная последовательность определения-теоремы-доказательства является нормой (с, хочется надеяться, некоторой мотивацией!).

На семинаре вы увидите "настоящую" математику: человек начинает с вопроса, проблемы или примера; объясняет, что о нем известно; описывает (иногда несколько различных попыток) решение; перечисляет оставшиеся без ответа вопросы или новые проблемы, возникшие в результате работы.

Это органическая, живая, грубая математика; семинар обычно ближе к математическому разговору, чем к чтению из учебника. #обучениедвижимоевопросами

3. Составьте ментальную карту того, что ещё предстоит изучить. Поймите, чего вы не знаете и что знаете. Речь идёт о вещах двух типов:
а) математические понятия/идеи
б) академические пласты деятельности.
#наведениемостов

Вот примеры второго типа: обучение математическому общению (с товарищами и преподавателями), решению задач, эффективному чтению статей, ясному письму и выступлению с докладами, поиск научного руководителя, поиск темы (направления) научной работы, поиск конкретной задачи для исследования, исследовательский процесс (источник)

Мысли об аспирантуре

Прошедшая неделя или две, пока моя диссертация ждала комментариев, навеяла на меня несколько ретроспективное настроение. Поэтому я подумал, что пока все еще свежо в памяти, я попытаюсь собрать вместе свои советы аспирантам. Я постараюсь давать советы, с которыми можно не соглашаться, что, надеюсь, вызовет дискуссию. (Таким образом, я тоже смогу чему-то научиться!) По необходимости все это будет лучше всего подходить для людей, находящихся в похожей ситуации, как я и большинство моих друзей (в ведущем учебном заведении, планирующих продолжать исследования и т.д.).

Я организую свои мысли вокруг следующих идей:
1. Отдавайте предпочтение чтению читабельных источников
2. Стройте нарративы
3. Изучайте вкусы других математиков
4. Сделайте один ранний побочный проект (side project)
5. Найдите тусовку других аспирантов
6. Забросьте широкую сеть при поиске научного руководителя
7. Не работайте только над чем-то одним

(источник)

1. Отдавайте предпочтение чтению читаемых источников. Когда вы начинающий аспирант, вы сталкиваетесь с проблемой: работы пишутся для экспертов, а вы не эксперт. Однако единственный способ стать экспертом - читать больше математики. Как победить эту уловку-22?

Хорошая новость заключается в том, что ключ к тому, чтобы стать экспертом, заключается не в знании основных положений статей, а в знании материала, который является общим для всех статей в данной области. Это означает, что вместо того, чтобы выбирать статьи на основе их главных теорем, вы должны выбирать то, что вам легче всего читать! Если вы испытываете трудности с какой-то статьей, бросьте ее и читайте что-нибудь другое. Не тратьте семестр на борьбу с одной работой. Читайте хорошие учебники, по возможности читайте пояснительные источники. Когда найдете автора, которого вам легко читать, тогда прочитайте все его работы. (Жаль, что последний совет не пришел мне в голову раньше).

Следствие мысли: выбирайте занятия по преподавателю, а не по материалу. #чтение

2. Стройте нарративы. Математики — это люди, а люди любят истории. Люди не хотят слышать ваши теоремы, они хотят услышать историю, которую вы рассказываете вместе с ними. Точно так же, если вы хотите понять какую-то область, вам нужно переложить ее на истории. #нарративы

Так что делайте это при любой возможности. Когда вы изучаете работу других людей, предположите, в какое повествование она вписывается, и посмотрите, сможете ли вы уложить ее в эту картину. Выступите с докладом по этой истории. Это не обязательно должно быть то, что на самом деле имел в виду автор, но это должна быть хорошая интересная история.

(по ссылке есть примеры из квантовой теории поля)