3. Наличие ясных целей

В нашей деятельности должны быть четко определенные правила игры: цели, критерии выигрыша, победы, успеха. Эти цели должны находятся под нашим контролем, быть краткосрочными и относиться к самому процессу, а не к итоговому результату.

Пример с лекцией. Я стремлюсь понять главные мысли, суть лекции и извлечь для себя пользу, выделить методы и принципы, которые я смогу применить в своей жизни.

Пример с чтением. Следить за развитием сюжета, понимать мотивы персонажей, улавливать замысел автора. Более локальные: дочитать очередной абзац.

Пример с футболом. Каждый игрок имеет четкую тактическую задачу: забить гол, остановить атаку, создать голевой момент.

Пример с театром. Точно передать характер персонажа, донести эмоцию до зрителя.

Пример с гитарой. Правильно исполнить произведение, передать музыкальную фразировку, выразить эмоциональное содержание.

Примеры в математике. Провести вычисление, обнаружить закономерность, выделить главную идею, сформулировать удачную гипотезу, обработать ветку в дереве полного перебора, записать очередной абзац доказательства, донести до напарника свою мысль, найти точную аналогию или интерпретацию, увидеть полную картину, разобрать доказательство, построить контрпример, составить план дальнейших действий, понять, почему предыдущий подход не сработал.

Как обеспечить ясные цели (для новичков и сложных задач):
▪️Я заранее разбиваю большую цель на конкретные, измеримые шаги, которые можно и нужно делать здесь и сейчас. Например, не "написать статью", а "написать введение из 3 абзацев".
▪️В процессе деятельности я подмечаю свои успехи и ошибки и исправляю их. Например, в программировании я отлаживаю код, в письме я перечитываю абзацы и при необходимости исправляю.

4. Возможность получения незамедлительной обратной связи

У нас должно быть мгновенное ощущение приближения к цели и потенциала успеха — чувство, что наши действия и решения непосредственно влияют на исход и сближают с нашей целью.

Пример с лекцией. Я чувствую ощущение приближения к цели, подмечаю свои ошибки в понимании и исправляю их, корректирую свои действия по мере необходимости.

Пример с чтением. Понимание текста дает немедленную обратную связь — либо смысл проясняется, либо возникает потребность перечитать отрывок.

Пример с гитарой. Каждый извлеченный звук дает мгновенную обратную связь о правильности исполнения.

Пример с покером. Реакция соперников на каждое действие, изменение их поведения, результат каждой раздачи.

Пример с театром. Отклик публики на каждую реплику, жест, эмоцию актера.

Пример с рисованием. Каждый мазок кисти немедленно показывает, приближается ли изображение к задуманному результату.

Примеры в математике. Когерентность проведённых вычислений, увидевшаяся закономерность и формулировка гипотезы, ощущение "ага!" при нахождении ключевой идеи, чувство удовлетворения после записи очередного абзаца для своей статьи, четкое понимание следующего шага после текущего, обоснованное понимание вашей идеи в глазах напарника, нахождение контрпримера, закрытие гештальта при наведении мостов, понимание, почему предыдущий подход не сработал.

5. Искажение чувства времени

Изменяется восприятие течения времени — часы превращаются в минуты, а минуты могут растягиваться в часы.

Пример с лекцией. Полтора часа пролетели для меня незаметно.

Пример с чтением. «Читал всю ночь, не заметив, как пролетело время» — типичное переживание читателя в состоянии потока.

Пример с покером. 12-часовая игровая сессия ощущается как несколько часов.

6. Искажение чувства самоосознания

В момент совершения действия осознание своего я (или эго) как будто исчезает. Мы сливаемся воедино с выполняемой деятельностью. Это — свобода от рефлексии.

Пример с лекцией. Я не отвлекался на сомнения «правильно ли я всё понимаю», не оценивал свои успехи по ходу лекции.

Пример с театром. Актер полностью становится персонажем, забывая о себе как о человеке на сцене.

Пример с игрой на гитаре. «Потеря себя в музыкальном ландшафте», когда музыкант становится проводником музыки.

7. Сильная форма концентрации

В результате попадания в состояние потока наша увлеченность становится настолько высокой, что мы забываем о повседневных потребностях, проблемах и тревогах. Любые факторы, которые не важны с точки зрения совершения действия, остаются вне сферы нашего внимания. Мы забываем еде, о сне, бытовых делах и негативных мыслях.

Пример с лекцией. Другие мои потребности и проблемы ощущались незначительными, а негативные мысли отошли на второй план.

Пример с писательством. Автор забывает о еде, времени, бытовых заботах, полностью погружаясь в создаваемый мир.

8. Сильная форма контроля над происходящим

Занятие позволяет нам ощутить контроль над нашими действиями. Деятельность становится более плавной и лёгкой, а беспокойство о потере контроля исчезает.

Пример с лекцией. Я чувствовал готовность задать вопрос или изменить свои действия, если что‑то будет непонятно.

Пример с футболом. Игрок чувствует полный контроль над мячом, предвидит развитие игровых ситуации.

9. Деятельность ощущается целью сама по себе (аутотеличность)

Деятельность начинает восприниматься настолько ценной, что нам было бы сложнее перестать заниматься ей, чем продолжить. Продолжить — проще, чем перестать: настолько наша мотивация повышается, а ощущение "тяжелого труда" уходит.

Пример с лекцией. Для меня было сложнее перестать слушать лекцию, чем продолжить концентрироваться на ней.

Пример с чтением. Процесс чтения становится увлекательным сам по себе, независимо от практической пользы материала.

Это не единственные свойства состояния оптимального переживания (потока). Исследуемыми оно также часто описывается ощущением получения удовольствия от самореализации, повышенной и обоснованной уверенностью в себе, ярко выраженным повышением коммуникативных способностей, умением чётко и ясно выражать свои мысли, убеждать собеседника, эффективно решать проблемы любой сложности или находить неординарные способы их решения. У исследуемых в потоковом состоянии повышаются показатели усваиваемости информации, активизируется память и способности к анализу информации. Подробнее: ссылка

Принцип наведения мостов

Изучая новый материал, сознательно устанавливайте связи между новой информацией и уже существующими знаниями и интуициями из разных областей математики и вне неё

Примеры:
• решение линейных однородных дифференциальных уравнений сводится к линейной алгебре
• теория групп — это мостик между алгеброй и геометрией
• связь вероятности и меры
• нильпотентные группы как многоэтажки
• социологическая сущность леммы Йонеды

Задавайте себе вопросы:
• На что это похоже из того, что я уже знаю?
• С чем это можно сравнить?
Так вы сможете развить собственную «смысловую сеть»: новые понятия начнут что-то значить лично для вас!

Такое «наведение мостов» увеличивает глубину понимания, создаёт точки опоры для памяти и интуиции, развивает целостное видение предмета. Ярким проявлением данного эффекта служит изучение математики через призму языка теории категорий. Там функторы (мощные аналогии) и естественные преобразования (аналогии между аналогиями) скрепляют отдельные факты и вычерчивают стройную карту знаний.

Человек понимает только то, что он может описать образами, иллюстрациями, метафорами и примерами из жизни

Используйте аналогии и метафоры — это эффективный способ объяснить идею на разных уровнях строгости и образности. Но всегда проверяйте границы их применимости: исследуйте предсказываемые ими факты и разбирайте примерчики. Это позволит «прощупать» окрестности понятия и превратить разрозненные знания в связную систему, словно добавив им топологическую душу.

Попробуйте прямо сейчас! Возьмите понятие, которое изучаете, и задайте себе два простых вопроса: на что это похоже и с чем это можно сравнить? Какие мосты вы сможете построить? #наведениемостов

Нильпотентность в теории групп: дом с этажами

Группа называется нильпотентной, если её нижний центральный ряд, G_0=G и G_{n+1}=[G,G_n], обрывается на единичной подгруппе. Эквивалентное определение: группа может быть построена из абелевых «блоков» с помощью последовательности центральных расширений.

Аналогия/метафора #наведениемостов

Представьте себе группу как «дом», состоящий из нескольких «этажей». Подгруппа G_n — часть «дома», начиная с этажа n и выше (этаж на земле, ground floor, нулевой). Сам «этаж» — это фактор G_n/G_{n+1} (пространство между G_n и G_{n+1}). Эти факторы всегда абелевы, поэтому «этажи» — «абелевы квартиры».

Класс/ступень нильпотентности группы — число непустых «этажей»: если G_n={1}, то дом имеет высоту n и больше не растёт вверх. Одноэтажные дома (нильпотентные ступени 1) — абелевы группы. Простейшая неабелева нильпотентная группа — дискретная группа Гейзенберга — имеет два «этажа»: Z^2 на нижнем и Z наверху

[ Z ] <— этаж 1 (G_1/G_2 = G_1 = коммутант = центр)
----
[Z^2] <— этаж 0 (G_0/G_1 = G/G_1 = абелианизация)

Каждый этаж дома устроен просто и понятно (абелев), но взаимодействие между этажами может создавать сложную архитектуру всего здания.

Границы применимости аналогии

В реальной жизни дом однозначно определяется своими этажами и способом их соединения. Однако в теории групп это предсказание ломается, ситуация принципиально иная: знание всех «этажей» (факторов нижнего центрального ряда) и даже способа их соединения не определяет группу однозначно — это фундаментальная проблема расширения в теории групп. Аналогия с домом не учитывает нетривиальные вторые когомологии, отвечающие центральным расширениям: одинаковые по этажам планировки могут быть скреплены по-разному — где поставить лестницу, какие несущие балки — и в результате «дома» окажутся неизоморфными.

Бонус. Чтобы увидеть, как в этой аналогии отражается ключевое свойство [G_p,G_q] ⊆ G_{p+q}, представьте себе, что наш дом — это штаб-квартира крупной организации. Первый этаж — общедоступное лобби, второй — внутренние документы, третий — «секретный архив» и т.д. Чем выше номер этажа — тем ближе к «центру» организации.
Взаимодействие двух работников организации (коммутатор двух элементов) с уровня p и q порождает документ/эффект, который кладут «выше», на уровень p+q. Коммутатор повышает уровень секретности и перемещает на более высокий этаж.

Это — мощный инструмент для развития интуиции нильпотентности. Как вы думаете, какие ещё «здания» в теории групп можно описать подобным образом?

Как стать частью научного сообщества

Научное исследование — это разговор внутри сообщества ученых. Чтобы присоединиться к этому разговору, нужно узнать, что уже было сказано, чем люди интересуются, и иметь что-то стоящее для добавления. В противном случае вас просто проигнорируют и продолжат говорить друг с другом.

Учебный план бакалавриата «догоняет» разговор примерно на уровне 1900 года. Вы начинаете говорить на языке, которым пользуются исследователи.
Программа магистратуры/аспирантуры дает вам основы того, о чём идёт речь в разных научных беседах, и часто позволяет нагнать уровень примерно середины или конца XX века — когда многие нынешние мэтры в этой области только начинали.

Вы выбираете одну конкретную беседу. Изучаете область глубоко, читаете статьи и препринты, пока не догоните общий ход разговора. В идеале у вас есть научный руководитель или наставник, который помогает понять, что действительно интересно, знакомит вас с другими исследователями и может поручиться за ваш потенциал.
Вы встречаете этих людей лично. Слышите, как они обсуждают предмет между собой, узнаёте их приёмы и способы думать о теме более эффективно.

Погружаясь в этот разговор, вы начинаете понимать, какие задачи интересны другим исследователям, и как можно использовать свои знания для их решения. После упорной работы вы находите ответ на один из таких вопросов и начинаете рассказывать о нём — по email, лично, в докладах, на arXiv, в своих публикациях.

Поскольку вы сказали нечто действительно интересное, другие исследователи начинают интересоваться вашим мнением — и вы становитесь частью разговора.

(источник) via https://t.me/truly_part/227

Преподавая, ты имеешь возможность обдумывать всякие элементарные, очень хорошо тебе известные вещи. Это и занятно, и приятно. От того, что ты обдумаешь их еще раз, вреда никакого не будет. Не существует ли лучшего способа их изложения? Или связанных с ними новых проблем? А сам ты не можешь ли придумать в связи с ними чего-то нового? Размышлять о вещах элементарных легко; не надумаешь ничего – нового, не беда, твоим студентам сгодится и то, что ты думал об этих вещах прежде. А если все-таки надумаешь – получаешь удовольствие от того, что сумел взглянуть на старое по-новому.


Р. Фейнман ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!")

Как читать книги

Вспомните о любимой книге, относящейся к вашей зоне ближайшего развития. Какой способ её чтения наиболее эффективен?

Правило 1. Взять из книги всё, что она может дать — выжать, впитать всё ценное, что в ней имеется и может быть дано вам её постижением.

Правило 2. Приспособлять способ изучения к цели изучения. Способ всецело ей обусловливается.

Цели чтения

Откинем сейчас такие цели, как убить время, отвлечься от неприятных мыслей или развлечься. Тогда можно выделить хотя бы пять:

1. Получить общее представление, базовые факты, свежую информацию по теме, стать "в курсе", пополнить сведения о чём-нибудь.

• Чтение новостной статьи о последних событиях в науке
• Чтение обзора новой книги или фильма
• Чтение путеводителя перед поездкой

2. Получить эмоциональный заряд, мотивацию, вдохновение, почувствовать уверенность и настроиться на новые свершения.

• Чтение биографии успешного человека, преодолевшего трудности
• Чтение мотивирующей книги по саморазвитию и лидерству
• Чтение вдохновляющей поэзии или цитатника
• Чтение истории о героизме, стойкости духа

3. Погрузиться в иной опыт, культуру, эпоху, систему ценностей, развить эмпатию, обогатить эмоциональный и интеллектуальный багаж, углубить мировоззрение.

• Чтение крупного произведения искусства
• Чтение классической литературы
• Чтение качественной исторической прозы, погружающей в эпоху
• Чтение поэзии, требующей осмысления
• Чтение пьесы (особенно с последующим просмотром постановки)

4. Изучить некоторый вопрос, получить структурированные знания и практические навыки в конкретной, четко очерченной области.

• Чтение учебника для подготовки вопроса перед экзаменом
• Чтение книги по кулинарии, чтобы освоить новую технику
• Чтение руководства по проведению чайной церемонии
• Чтение документа о правовом регулировании NFT в Швейцарии

5. Развиться как личность, развить компетенции, трансформироваться, расширить интеллектуальные горизонты, просветиться, стать более образованным.

• Чтение писем Сенеки для понимания стоицизма и интегрирования в свою жизнь
• Чтение книги на иностранном языке для пополнения словарного запаса
• Чтение литературы о Японии для понимания её культурного кода и переезда
• Чтение разбора произведения для развития эмоционального интеллекта
• Чтение практического руководства для освоения профессиональной области

Одну и ту же книгу можно изучать с различными целями. Тогда:
Один и тот же материал можно изучать различными способами.

Какова цель чтения вашей любимой книги?

Мысли между строк

Математика в некотором смысле имеет общий язык: язык символов, технических определений, вычислений и логики. Этот язык эффективно передаёт некоторые, но не все, способы математического мышления. Математики учатся переводить определённые вещи почти бессознательно из одного ментального режима в другой, так что некоторые утверждения быстро становятся понятными. Разные математики изучают статьи по-разному, но когда я читаю математическую статью в области, в которой я разбираюсь, я концентрируюсь на мыслях, которые стоят между строк. Я могу просмотреть несколько абзацев или цепочек уравнений и подумать: «Ага, они добавляют достаточно формальностей, чтобы провести такую-то идею». Когда идея ясна, формальная установка обычно избыточна и не нужна — мне часто кажется, что я мог бы выписать её сам легче, чем разобраться в том, что написали авторы. Это как новый тостер с 16-страничной инструкцией. Если вы уже понимаете тостеры и если этот тостер похож на предыдущие, с которыми вы сталкивались, вы можете просто включить его в розетку и посмотреть, работает ли он, вместо того чтобы сначала читать все детали в инструкции.
#чтение

Полиглоты в математике

Люди, знакомые с методами работы в подобласти, распознают различные шаблоны утверждений или формул как метафоры и идиомы или описательные обороты для определённых понятий или ментальных образов. Но для людей, не знакомых с тем, что происходит, те же шаблоны не очень просветляют; они часто даже вводят в заблуждение. Язык не оживает ни для кого, кроме тех, кто им пользуется.

Я хотел бы сделать здесь важное замечание: есть математики, которые разбираются в способах мышления более чем в одной подобласти, иногда в довольно большом их числе. Некоторые математики изучают жаргон нескольких подобластей в аспирантуре, некоторые люди просто быстро осваивают иностранный математический язык и культуру, а некоторые находятся в математических центрах, где они сталкиваются со многими подобластями. Люди, комфортно чувствующие себя более чем в одной подобласти, часто могут оказывать очень положительное влияние, служа мостами и помогая разным группам математиков учиться друг у друга. Но люди, знающие несколько областей, могут также оказывать негативный эффект, запугивая других и помогая узаконивать и поддерживать всю систему в целом плохой коммуникации. Например, такой эффект часто проявляется во время коллоквиумов, когда один или два эрудированных человека, сидящих в первом ряду, могут служить для докладчика ментальным ориентиром на аудиторию.

Разрыв между мышлением и записью в текст

Существует ещё один эффект, вызванный большими различиями между тем, как мы думаем о математике, и тем, как мы её записываем

Группа математиков, взаимодействующих друг с другом, может поддерживать набор математических идей в живом состоянии в течение ряда лет, и одновременно с этим их реальное мышление может сильно отличаться от записанной версии их математической работы, где гораздо больший акцент сделан на языке, символах, логике и формализме

Но по мере того, как новые поколения математиков изучают предмет, они склонны интерпретировать прочитанное и услышанное более буквально, так что более легко записываемый и передаваемый формализм и аппарат имеют тенденцию постепенно вытеснять другие способы мышления

Есть два противовеса этой тенденции, чтобы математика не погрязла полностью в формализме:

Во-первых, молодые поколения математиков постоянно открывают и переоткрывают идеи самостоятельно, тем самым повторно впрыскивая разнообразные способы человеческого мышления в математику

Во-вторых, математики иногда изобретают названия и находят объединяющие определения, которые заменяют технические описательные обороты и дают хорошие точки опоры для понимания

Названия вроде «группа» вместо «система подстановок, удовлетворяющая...», и «многообразие» вместо «Мы не можем задать координаты, чтобы параметризовать все решения наших уравнений одновременно, но в окрестности любого конкретного решения мы можем ввести координаты...» (Далее следует длинное техническое описание) — могли представлять или не представлять прогресс в понимании среди экспертов, но они чрезвычайно облегчают коммуникацию идей. #коммуникация

Коммуницируйте идеи, а не только результаты

Нам, математикам, нужно приложить гораздо больше усилий для передачи математических идей. Чтобы достичь этого, нам нужно уделять гораздо больше внимания передаче не только наших определений, теорем и доказательств, но и наших способов мышления

Нам нужно ценить значение разных способов мышления об одной и той же математической структуре

Нам нужно сосредоточить гораздо больше энергии на понимании и объяснении базовой ментальной инфраструктуры математики — и, как следствие, меньше энергии на новейшие результаты. Это подразумевает развитие математического языка, эффективного для радикальной цели — передачи идей людям, которые их ещё не знают.

Пропасть геометрической коммуникации

Математика — это путешествие, ведущее от одного невероятного вида к другому. Каждая из её многочисленных троп может быть скрыта невидимыми облаками иллюзий. Невезучие и неосторожные путешественники легко могут сбиться в обширное болото. Иллюзии возникают потому, что мы не можем непосредственно наблюдать за тем, как думают другие. Нам даже трудно осознавать собственное мышление. То, чего мы не видим, мы заменяем тем, что воображаем, отсюда и иллюзорная ловушка, которая может завести в тупик.

Склонность людей игнорировать то, что они не могут легко увидеть (или высказать), чтобы сосредоточиться на том, что легко увидеть (или сказать), приводит к предсказуемым и повсеместным проблемам в коммуникации математики

Внутренний неукротимый инстинкт побуждает нас передавать через речь такое содержание, которое высказать нелегко. Из-за этой тенденции математика принимает символичную, алгебраическую и техническую форму

Лишь немногие слушатели технического дискурса слышат историю. Большинство читателей математики (если им удается не запутаться полностью) фиксируют лишь технические детали — которые по сути отличаются от изначальных мыслей, вложенных нами в математический дискурс

Смысл, поэзия, музыка и красота математики обычно теряются. Это как если бы публика пришла на концерт, а музыканты, не сумев исполнить музыку так, чтобы её оценили, просто раздали копии партитуры. В математике часто случается так, что и исполнители, и публика не осознают, что пошло не так, хотя провал коммуникации очевиден для всех. #коммуникация

Когда математика сводится к техническим деталям, история исчезает. Но обсуждения математики без технических подробностей могут выявить её поэзию и вернуть её к жизни.

Другой источник облака иллюзий, часто скрывающего смысл в математике, кроется в контрасте между нашими поразительно богатыми способностями воспринимать геометрическую информацию и слабостью наших врожденных способностей передавать пространственные идеи (за исключением того, на что мы можем указать или что можем изобразить действием)

Мы без усилий смотрим на двумерную картинку и воссоздаем трехмерную сцену, но мы едва ли можем точно её нарисовать. Подобным образом, мы легко можем представить себе хореографию объектов, движущихся в двух или трех измерениях, но мы едва ли можем передать её буквально, за исключением — опять же — случаев, когда мы можем указать на неё или изобразить её действием. Дело не в том, что эти вещи невозможно передать.

Поскольку наши умы во многом схожи, мы действительно можем описать мысленные образы словами, а затем домыслить и воссоздать их с помощью силы внушения. Это — процесс выработки мысленных рефлексов, и, как и другие подобные задачи, он требует времени. Нам просто нужно осознавать, что это и есть задача и что она важна, чтобы мы не инстинктивно не возвращались к символичному и денатурированному кодированию. #интуиция