По сути, когда берешь книгу по математике, у тебя всегда сидит в голове какая-то мысль. Возможно, мы хотим разобраться в понятии, которое только что где-то увидели, узнать, верно ли конкретное утверждение, или понять, как его доказать. Реально нам нужно, может быть, Определение 7.4 со страницы 138, Теорема 11.5 со страницы 227 или всего лишь один конкретный момент из ее доказательства.

Вот Рафаэль и научил меня отправляться прямо на страницу 138 или 227 и искать те самые четыре–пять строк, которые в этот конкретный момент больше всего меня интересуют, вообще не заботясь о горах предварительных условий, от которых предположительно зависят эти строки.

Вот это и нервирует больше всего. Предполагается, что книга по математике организована логично, и чтобы понять страницу 138 или 227, теоретически следовало бы предварительно понять все, что написано раньше. А значит, линейное чтение должно быть единственно возможным способом чтения. Но на практике этот способ не работает!
#толерантностькнеопределённости

В тех четырех–пяти строках, которые нас интересуют, возможно, будут какие-то загадочные слова. Если это мешает нам понять суть, вероятно, мы захотим обратиться к определениям. Прекрасно. Или мы как-нибудь разберемся сами. Тоже отлично.

На самом деле мы можем делать что хотим. Можем листать книгу в течение десяти минут, часа или трех месяцев — неважно. Основной принцип — никогда не заставлять себя следовать порядку страниц, а следовать только порядку собственного желания и любопытства.

Это книга должна служить нам, а не наоборот. Если мы попытаемся читать книгу по математике как «нормальную» книгу, предоставим ей задавать темп и будем ждать, что она будет вести нас за руку и рассказывать историю, ничего не получится. Мы тут не для того, чтобы пассивно слушать. Нам не хватает для этого терпения, и, давайте уж начистоту, нас это не интересует. Мы здесь потому, что у нас есть конкретные вопросы, потому что мы чего-то не понимаем и хотим понять.

В любом случае, книга не должна навязывать нам тему разговора. Вопросы здесь задаем мы. #обучениедвижимоевопросами

Не стоит прятать голову в песок. Понять те четыре–пять строк, которые нас интересуют, будет очень сложно, особенно если они где-то в середине книги. Возможно, мы проведем над ними несколько часов. Каждая страница книги по математике очень трудна для понимания. Якобы простые, но на самом деле скучные предварительные пояснения понять ничуть не проще.

В конечном счете, страница, которая больше всего нас интересует, с большой вероятностью окажется для нас наименее сложной. Во-первых, она нас интересует — а когда интересно, все намного проще! Во-вторых, она неизбежно связана с чем-то, что мы уже понимаем, — иначе она бы нас не интересовала. #наведениемостов

Следовать своему желанию — единственный способ по-настоящему дать ему шанс осуществиться. Начинать с начала — значит рисковать все бросить уже на странице 2.

Великая тайна тостеров

На свете есть не только книги по математике. Есть и другие книги, которые никто никогда не читает с начала. Вот вы читали инструкцию к вашему тостеру?

Вероятно, нет. Может быть, вы машинально открыли ее, пока распаковывали тостер, но скорее всего вы никогда в нее по-настоящему не заглядывали. Разве что, конечно, если у вас возникла проблема с тостером — тогда вы, вероятно, пропустили все предисловия и напрямую отправились на страницу, которая в этот момент вас больше всего интересовала.

Может показаться шуткой, что мы сравниваем математические тексты с инструкциями к тостерам. Но вообще, это очень глубокая мысль. Мы обязаны ею Биллу Тёрстону.

Те‌рстон рассказывает, что, читая научную статью по знакомой тематике, он никогда не читает ее в полном смысле слова. Он предпочитает сосредоточиться на мыслях между строк.

Как только он составляет себе представление о них, весь формализм и подробности структуры статьи вдруг кажутся ему ненужными и избыточными:

Мне было бы проще всё написать с нуля, чем пытаться понять, что на самом деле хотели сказать авторы.

Это как новый тостер, к которому прилагается инструкция на шестнадцать страниц. Если вы уже понимаете что-то про тостеры, и этот экземпляр похож на те, с которыми вы встречались раньше, вы просто включите его в сеть и убедитесь, что он работает, а не будете сначала читать все подробности в инструкции.

Эта метафора заслуживает дальнейшего развития.

Тёрстон говорит, что инструкция бесполезна, если вы уже знаете, что такое тостер. Но если вы не имеете ни малейшего представления о тостерах, много ли пользы вам будет от инструкции?

Несомненно, вы с радостью узнаете, что не стоит совать пальцы внутрь и не нужно использовать его во время купания в ванне, но все эти правила безопасности, которые инструкция приказывает вам ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧЕСТЬ ПЕРЕД ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ, никак не помогут разрешить великую тайну тостеров: зачем они вообще нужны?

Я не нашел инструкцию от своего тостера, зато нашел от пылесоса. В ней 64 страницы, но нигде не объяснено, зачем нужен пылесос. Иначе говоря, если бы мы ограничились официальной литературой, пылесосы создали бы нам огромные проблемы. Было бы несколько счастливчиков, способных к использованию пылесоса (те, кто случайно разобрался, что с ним делать), а остальные остались бы в этом полными профанами. Мы приняли бы это с покорностью судьбе.

Сокровенный смысл пылесосов не содержится в инструкции к ним. Это секрет, который мы передаем в устной традиции. #коммуникация

Но этот основной закон обучения, работающий как для пылесосов, так и для математических теорий, остается неизвестным и забытым.

В процессе нашего познания законов Вселенной (математических или каких еще) только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Та изначальная невинность, данная нам от рождения, какая обитает в каждом из нас, будучи зачастую объектом нашего же презрения и тайного страха. Она одна объединяет смирение и смелость, благодаря которым мы оказываемся способны проникнуть в суть вещей и впустить вещи внутрь себя, проникшись ими.

Эта власть — отнюдь не особый «дар», как, скажем, исключительная способность рассудка усваивать и управляться легко и ловко с впечатляющей массой известных фактов, идей и технических приемов. Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро — «сверх всякой меры».

Все же не эти дары, и не честолюбие даже самое пылкое, поддержанное непреклонной волей к успеху, позволяют перешагнуть «круги невидимые, но властные», ограждающие Вселенную. Только невинность сумеет их преодолеть, сама того не заметив и не слишком о том заботясь, в минуты, когда мы, с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаемся во власть этой младенческой игры целиком...


А. Гротендик ("Урожаи и посевы")

Что доказывает математическое доказательство?

В последнее время все чаще обсуждается вопрос об изменении статуса доказательства и уменьшении нашей уверенности в справедливости результатов. Критика и скептицизм подобного рода наиболее энергично, часто и агрессивно озвучиваются в двух следующих направлениях:

1. Сомнения в надежности доказательств, выполненных с помощью компьютера.
2. Сомнения в надежности исключительно длинных и сложных доказательств.

Однако я склонен верить, что статус трудных современных результатов — и их доказательств! — мало отличается от статуса трудных математических результатов предшествующих веков. Я готов проиллюстрировать многочисленными историческими примерами, что фактические математические доказательства НИКОГДА — со времен греков — не удовлетворяли декларируемым стандартам. Классические работы, как и публикуемые сегодня, полны заблуждений, ошибок и пробелов разной степени серьезности. Что гораздо хуже, часто эти заблуждения и ошибки из поколения в поколение воспроизводятся в монографиях и учебниках, и их обнаружение в некоторых случаях потребовало многих десятилетий.

Следуя Конфуцию, я приглашаю к вскрытию ошибок, а не к их замазыванию. Нужно честно признать, что математика является человеческой деятельностью, целью и результатом которой является понимание, и мало отличается в смысле своей надежности от других видов человеческой деятельности. Достоверность математического доказательства и его убедительность относится к области психологии и социологии, а не логики.

В отличие от любых доказательств, математическое знание КАК ТАКОВОЕ обладает ЧРЕЗВЫЧАЙНО высокой степенью надежности. Эта надежность, как и надежность естественно-научного и технического знания, гарантируется отнюдь не доказательствами индивидуальных результатов, а общей когерентностью математической и естественно-научной картины мира, индивидуальным и коллективным пониманием и прямым контактом с миром идей, которое формируется в процессе работы у каждого квалифицированного и понимающего специалиста.

Вот, что знают о доказательстве практикующие математики, но боятся сказать:

1. Математическое доказательство, рассматриваемое как текст, не доказывает ничего, кроме факта существования доказательств.
2. Ни одно СЕРЬЕЗНОЕ математическое доказательство не может быть полностью формализовано, т.е. записано в соответствии со стандартами, пропагандируемыми математической логикой.
3. Доказательство классификации простых конечных групп обладает ГОРАЗДО более высокой степенью достоверности, чем доказательства большинства общепризнанных классических результатов в области топологии, анализа или теории дифференциальных уравнений.

А что касается компьютерных вычислений, то лично я склонен доверять им больше, чем любым математическим доказательствам, кроме самых простых (источник)

Оптимальное состояние сознания для занятий математикой

▪️Почему одни математические задачи кажутся "неподъемными", а над другими можно биться с азартом, не чувствуя усталости или страха неудачи и теряя счёт времени? От чего это зависит?
▪️Можно ли организовать процесс занятия математикой так, чтобы он требовал меньше волевых усилий и приносил больше удовлетворения?
▪️Существует ли оптимальное психическое состояние (mental state) для математической работы, где сложности и барьеры ослабевают?

Гипотеза. Наиболее продуктивным и устойчивым для занятия математикой эмоциональным состоянием является «состояние потока» (flow).

Что такое состояние потока

Поток (или состояние оптимального переживания) — это устойчивое эмоциональное состояние глубокой концентрации и вовлечённости в деятельность, когда человек ощущает себя максимально продуктивным и мотивированным. Концепция впервые была сформулирована Михаем Чиксентмихайи в 1975 году и впервые представлена широкому зрителю в его монографии «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990).

Люди, испытывающие оптимальное переживание, эффективнее совершенствуют свои навыки и получают возможность браться за всё более сложные задачи, что приводит к ощущению счастья и способствует росту и развитию их личности.

Во время интервьюирования испытуемых, проведённого М. Чиксентмихайи, несколько людей описали свои оптимальные переживания метафорой несущего их потока, поэтому рассматриваемое состояние и получило название потока

Определение потока (оптимального переживания)

Исследователями было выделено девять основных компонентов состояния потока, от которых зависит интенсивность этого психического состояния. Первые 4 — это ключевые условия, причины возникновения состояния потока, а остальные 5 — следствия, симптомы его возникновения.

Представим себе, что мы занимаемся той или иной деятельностью в течение определённого небольшого периода.

Примеры из жизни. Слушаем лекцию по интересующей нас теме, читаем интересную книгу (от детских сказок до научной литературы), рисуем (от картин по номерам до импровизации), танцуем, изучаем город на прогулке, играем на музыкальном инструменте, в шахматы, покер, футбол или другой командный спорт, выступаем на сцене, убираем квартиру, читаем молитву, штурмуем лесной или горный маршрут, пишем книгу, проводим операцию на сердце, гадаем или участвуем в лотерее, читаем лекцию.

Примеры из математики. Анализируем конфигурации (подвешиваем графы, мысленно летаем по трёхмерным многообразиям, запускаем гомотопические сфероиды в пространствах, выводим фигуры на бесконечность проективным преобразованием, прикидываем в уме устройство абелианизации и гомологий группы, заданной копредставлением), систематизируем знания, упражняемся во внешних и внутренних циклах (метод Пойа), упражняемся в развитии воображения (метод Тёрстона-Бессиса), работаем с наивными гипотезами (метод Лакатоса) и верифицируем их письмом (метод Гротендика), подбираем ключи к замкам и замки к ключам (метод Фейнмана), ведём дневник наблюдений в виде корзины входящих материалов и обрабатываем её (метод Рамануджана), экспериментируем с ассистентом (единомышленником, компьютером, LLM).

Ключевые условия (причины) потока:
1. Баланс между сложностью задачи и собственными навыками
2. Активная вовлечённость в процесс и высокая концентрация
3. Наличие ясных целей, находящихся под нашим контролем
4. Возможность получения незамедлительной обратной связи

Характерные свойства (симптомы) потока:
5. Искажение чувства времени
6. Исчезновение чувства самоосознания
7. Сильная форма концентрации
8. Сильная форма контроля над происходящим
9. Деятельность значима сама по себе (аутотеличность)

1. Баланс между сложностью и навыками

Задача, которую мы себе ставим, должна быть для нас посильной. Чуть сложнее обычного, чтобы не заскучать, но не слишком, чтобы не вызвать тревогу. Мы должны чувствовать себя хозяином ситуации, несмотря на высокие требования.

Пример с лекцией. Иллюстрации и принципы, приведённые на лекции, укладываются в мой опыт обучения и соответствуют моим текущим умениям. Материал достаточно сложен, чтобы удерживать внимание, но не настолько, чтобы вызвать фрустрацию.

Пример с чтением. При чтении взрослым человеком детских сказок навыки значительно превышают вызов — возникает скука. Чтение развлекательной литературы обеспечивает комфортный средний уровень сложности. Научная литература требует высокой концентрации и соответствующих навыков. При их наличии возникает поток.

Пример с рисованием. Рисование по номерам, как правило, представляет низкий творческий вызов — механическое следование инструкциям может привести к скуке. Художественная импровизация требует высоких навыков и представляет значительный вызов — идеальные условия для потока.

Пример с футболом. Команда входит в поток, когда уровень подготовки игроков соответствует сложности тактических задач и силе противника.

Пример с гитарой. Для новичка простые аккорды представляют оптимальный вызов. Для опытного музыканта состояние потока достигается при исполнении технически сложных произведений или импровизации.

Пример с покером. Игра против соперников равного уровня создает баланс навыков и вызова, необходимый для потока

Пример в математике. При изучении продвинутых теорий и в исследованиях мы чаще всего сталкиваемся со сложными, новыми для нас концепциями и задачами — изначальная неопределенность высока. Но когда она воспринимается нами как вызов, а не как угроза, и когда у нас достаточно навыков, возникает состояние потока. Чтобы определить уровень сложности материала, с которым вы собираетесь работать, вы можете использовать шкалы пререквизитов и глубины.

2. Активная вовлечённость и высокая концентрация

Мы должны быть активными и иметь возможность сосредоточиться на решаемой задаче.

Пример с лекцией. Я не просто пассивно слушаю лекцию, а задаю себе вопросы, продумывая связи текущего сюжета с другими известными мне идеями, и ничто меня не отвлекает: ни вид за окном, ни окружение, ни собственные дела.

Пример с чтением. Полное погружение в текст, когда внешний мир исчезает, а читатель живет жизнью персонажей.

Пример с театром. Актер полностью концентрируется на своей роли, забывая о публике и личных переживаниях.

Пример с покером. Полная сосредоточенность на игре, чтение соперников, анализ каждого хода без отвлечения на посторонние мысли.

Пример в математике. Чтобы активно вовлечься в изучение и исследование, мы должны найти в себе внутреннюю мотивацию — отталкнуться от собственных вопросов, а не пассивно плестись за авторами и усваивать готовые ответы. Двигателем изучения материала должны стать ваши вопросы. Тема должны изучаться не ради самих себя, а потому что они нужны для ответов на интересные вопросы о конкретных объектах. Если знания будут приобретаться в контексте их применения, это позволит нам легче концентрироваться на задаче.

Как обеспечить концентрацию. Я заранее организую пространство деятельности так, чтобы минимизировать количество отвлекающих себя факторов. Я целенаправленно фокусируюсь на желаемом действии и отбрасываю то, что не имеет к нему отношения. Например, я отключаю уведомления, закрываю лишние вкладки, предупреждаю окружающих, продумываю ближайшие приемы пищи.

Как обеспечить активное вовлечение. Я не просто пассивно участвую в активности, а стараюсь найти низкорастущие плоды, задаю себе вопросы, продумывая связи между новыми и известными мне идеями.

3. Наличие ясных целей

В нашей деятельности должны быть четко определенные правила игры: цели, критерии выигрыша, победы, успеха. Эти цели должны находятся под нашим контролем, быть краткосрочными и относиться к самому процессу, а не к итоговому результату.

Пример с лекцией. Я стремлюсь понять главные мысли, суть лекции и извлечь для себя пользу, выделить методы и принципы, которые я смогу применить в своей жизни.

Пример с чтением. Следить за развитием сюжета, понимать мотивы персонажей, улавливать замысел автора. Более локальные: дочитать очередной абзац.

Пример с футболом. Каждый игрок имеет четкую тактическую задачу: забить гол, остановить атаку, создать голевой момент.

Пример с театром. Точно передать характер персонажа, донести эмоцию до зрителя.

Пример с гитарой. Правильно исполнить произведение, передать музыкальную фразировку, выразить эмоциональное содержание.

Примеры в математике. Провести вычисление, обнаружить закономерность, выделить главную идею, сформулировать удачную гипотезу, обработать ветку в дереве полного перебора, записать очередной абзац доказательства, донести до напарника свою мысль, найти точную аналогию или интерпретацию, увидеть полную картину, разобрать доказательство, построить контрпример, составить план дальнейших действий, понять, почему предыдущий подход не сработал.

Как обеспечить ясные цели (для новичков и сложных задач):
▪️Я заранее разбиваю большую цель на конкретные, измеримые шаги, которые можно и нужно делать здесь и сейчас. Например, не "написать статью", а "написать введение из 3 абзацев".
▪️В процессе деятельности я подмечаю свои успехи и ошибки и исправляю их. Например, в программировании я отлаживаю код, в письме я перечитываю абзацы и при необходимости исправляю.

4. Возможность получения незамедлительной обратной связи

У нас должно быть мгновенное ощущение приближения к цели и потенциала успеха — чувство, что наши действия и решения непосредственно влияют на исход и сближают с нашей целью.

Пример с лекцией. Я чувствую ощущение приближения к цели, подмечаю свои ошибки в понимании и исправляю их, корректирую свои действия по мере необходимости.

Пример с чтением. Понимание текста дает немедленную обратную связь — либо смысл проясняется, либо возникает потребность перечитать отрывок.

Пример с гитарой. Каждый извлеченный звук дает мгновенную обратную связь о правильности исполнения.

Пример с покером. Реакция соперников на каждое действие, изменение их поведения, результат каждой раздачи.

Пример с театром. Отклик публики на каждую реплику, жест, эмоцию актера.

Пример с рисованием. Каждый мазок кисти немедленно показывает, приближается ли изображение к задуманному результату.

Примеры в математике. Когерентность проведённых вычислений, увидевшаяся закономерность и формулировка гипотезы, ощущение "ага!" при нахождении ключевой идеи, чувство удовлетворения после записи очередного абзаца для своей статьи, четкое понимание следующего шага после текущего, обоснованное понимание вашей идеи в глазах напарника, нахождение контрпримера, закрытие гештальта при наведении мостов, понимание, почему предыдущий подход не сработал.

5. Искажение чувства времени

Изменяется восприятие течения времени — часы превращаются в минуты, а минуты могут растягиваться в часы.

Пример с лекцией. Полтора часа пролетели для меня незаметно.

Пример с чтением. «Читал всю ночь, не заметив, как пролетело время» — типичное переживание читателя в состоянии потока.

Пример с покером. 12-часовая игровая сессия ощущается как несколько часов.

6. Искажение чувства самоосознания

В момент совершения действия осознание своего я (или эго) как будто исчезает. Мы сливаемся воедино с выполняемой деятельностью. Это — свобода от рефлексии.

Пример с лекцией. Я не отвлекался на сомнения «правильно ли я всё понимаю», не оценивал свои успехи по ходу лекции.

Пример с театром. Актер полностью становится персонажем, забывая о себе как о человеке на сцене.

Пример с игрой на гитаре. «Потеря себя в музыкальном ландшафте», когда музыкант становится проводником музыки.

7. Сильная форма концентрации

В результате попадания в состояние потока наша увлеченность становится настолько высокой, что мы забываем о повседневных потребностях, проблемах и тревогах. Любые факторы, которые не важны с точки зрения совершения действия, остаются вне сферы нашего внимания. Мы забываем еде, о сне, бытовых делах и негативных мыслях.

Пример с лекцией. Другие мои потребности и проблемы ощущались незначительными, а негативные мысли отошли на второй план.

Пример с писательством. Автор забывает о еде, времени, бытовых заботах, полностью погружаясь в создаваемый мир.

8. Сильная форма контроля над происходящим

Занятие позволяет нам ощутить контроль над нашими действиями. Деятельность становится более плавной и лёгкой, а беспокойство о потере контроля исчезает.

Пример с лекцией. Я чувствовал готовность задать вопрос или изменить свои действия, если что‑то будет непонятно.

Пример с футболом. Игрок чувствует полный контроль над мячом, предвидит развитие игровых ситуации.

9. Деятельность ощущается целью сама по себе (аутотеличность)

Деятельность начинает восприниматься настолько ценной, что нам было бы сложнее перестать заниматься ей, чем продолжить. Продолжить — проще, чем перестать: настолько наша мотивация повышается, а ощущение "тяжелого труда" уходит.

Пример с лекцией. Для меня было сложнее перестать слушать лекцию, чем продолжить концентрироваться на ней.

Пример с чтением. Процесс чтения становится увлекательным сам по себе, независимо от практической пользы материала.

Это не единственные свойства состояния оптимального переживания (потока). Исследуемыми оно также часто описывается ощущением получения удовольствия от самореализации, повышенной и обоснованной уверенностью в себе, ярко выраженным повышением коммуникативных способностей, умением чётко и ясно выражать свои мысли, убеждать собеседника, эффективно решать проблемы любой сложности или находить неординарные способы их решения. У исследуемых в потоковом состоянии повышаются показатели усваиваемости информации, активизируется память и способности к анализу информации. Подробнее: ссылка

Принцип наведения мостов

Изучая новый материал, сознательно устанавливайте связи между новой информацией и уже существующими знаниями и интуициями из разных областей математики и вне неё

Примеры:
• решение линейных однородных дифференциальных уравнений сводится к линейной алгебре
• теория групп — это мостик между алгеброй и геометрией
• связь вероятности и меры
• нильпотентные группы как многоэтажки
• социологическая сущность леммы Йонеды

Задавайте себе вопросы:
• На что это похоже из того, что я уже знаю?
• С чем это можно сравнить?
Так вы сможете развить собственную «смысловую сеть»: новые понятия начнут что-то значить лично для вас!

Такое «наведение мостов» увеличивает глубину понимания, создаёт точки опоры для памяти и интуиции, развивает целостное видение предмета. Ярким проявлением данного эффекта служит изучение математики через призму языка теории категорий. Там функторы (мощные аналогии) и естественные преобразования (аналогии между аналогиями) скрепляют отдельные факты и вычерчивают стройную карту знаний.

Человек понимает только то, что он может описать образами, иллюстрациями, метафорами и примерами из жизни

Используйте аналогии и метафоры — это эффективный способ объяснить идею на разных уровнях строгости и образности. Но всегда проверяйте границы их применимости: исследуйте предсказываемые ими факты и разбирайте примерчики. Это позволит «прощупать» окрестности понятия и превратить разрозненные знания в связную систему, словно добавив им топологическую душу.

Попробуйте прямо сейчас! Возьмите понятие, которое изучаете, и задайте себе два простых вопроса: на что это похоже и с чем это можно сравнить? Какие мосты вы сможете построить? #наведениемостов