Как мы понимаем математику

Понимание математики — очень сложный вопрос. Это индивидуальная и внутренняя составляющая, которую трудно полностью осознать, понять и, зачастую, передать.

Люди очень по-разному понимают те или иные фрагменты математики. Для иллюстрации следует привести пример, воспринимающийся опытными математиками по-разному, но с которым начинающие испытывают трудности. Здесь хорошо подходит производная функции. О ней можно думать следующими способами:

1. Инфинитезимально

Отношение бесконечно малого изменения значения функции к бесконечно малому изменению аргумента.

2. Символически

Производная от икс квадрат равна два икс, производная от синуса равна косинусу, производная композиции выражается так-то, и так далее.

3. Логически

Производная функции равна такому числу, что для любого эпсилон больше нуля существует такая дельта, что выполняется определённая импликация.

4. Геометрически

Наклон прямой, касающейся графика функции.

5. Частотно

Мгновенная скорость в данный момент времени.

6. Аппроксимативно

Наилучшее линейное приближение к функции вблизи точки.

7. Микроскопически

Предел того, что можно получить, рассматривая функцию под микроскопом все большей мощности.

Это скорее список различных способов мышления или представления о производной, чем её логических определений.

Различия начнут исчезать, если начать переводить эти мысленные концепции в точные, формальные и однозначные определения (если только не прилагать значительных усилий для сохранения тона и вкуса исходных инсайтов).

Я помню, как воспринимал каждую из этих концепций как нечто новое и интересное, тратил много умственных сил и времени на то, чтобы переварить и отработать каждую из них, согласовывая ее с другими. Я также помню, как впоследствии возвращался к этим концепциям с новым смыслом и пониманием.

Список выше можно продолжать, и нет никаких причин, чтобы он когда-нибудь закончился. Ниже приведён пример. Нам может казаться, что мы знаем всё, что можно сказать по тому или иному вопросу, но новые открытия не за горами. Кроме того, четкий мысленный образ для одного человека — это запугивание для другого:

37. Производная функции — это лагранжево сечение кокасательного расслоения, задающее форму связности для единственной плоской связности на тривиальном расслоении, для которого график исходной функции является параллельным.

Эти различия — не просто какая-то диковинка. Человеческое мышление и понимание не работают по единой схеме, подобно компьютеру с единым центральным процессором.

Наш мозг и сознание, по-видимому, организованы в виде множества отдельных мощных систем, которые работают в свободном режиме, “разговаривая” друг с другом на высоких, а не на низких уровнях организации.

Вот несколько основных мощных систем работы сознания и мозга, важных для математического мышления.

Человеческий язык

Мы обладаем мощными специализированными возможностями для общения и понимания человеческого языка, которые также связаны с чтением и письмом. Наши языковые возможности — это важный инструмент не только для общения, но и для мышления. В качестве примера можно привести формулу квадратного уравнения, которую люди, возможно, помнят как небольшое песнопение: "икс равно минус бэ плюс минус квадратный корень из бэ квадрат минус четыре а цэ делить на два а". Математический язык символов тесно связан с нашим речевым аппаратом. В части математической символики, доступной большинству изучающих математический анализ студентов, есть только один глагол: "=". Поэтому когда студентам нужен глагол, они используют именно этот. Практически каждый, кто преподавал математику в США, видел, как студенты инстинктивно пишут "икс куб равно два икс квадрат" и т.п.

Пространственное восприятие

Люди обладают очень широкими возможностями для зрительного и кинестетического восприятия информации, а также мышления с помощью пространственных ощущений. В то же время у них не так хорошо развита способность к превращению внутреннего пространственного представления в плоское изображение. В результате количество и качество картинок, представленных в работах математиков, совершенно не выдерживает сравнения с тем, что происходит у них в голове.

Интересно, что большую роль в пространственном мышлении играет масштаб. Мы можем думать о маленьких предметах, которые держим в руках, или о больших структурах размером с человека, которые мы сканируем, или о пространственных структурах, которые охватывают нас и в которых мы передвигаемся. Мы склонны мыслить гораздо эффективнее, когда используем пространственные образы большего масштаба: как будто наш мозг воспринимает крупные объекты более серьёзно и может выделить для них больше ресурсов.

Логика и логический вывод

У нас есть некоторые встроенные способы рассуждать и связывать вещи воедино, которые касаются логических умозаключений: причина и следствие (связанные с импликацией), противоречие, отрицание и т.д. 

Математики, по-видимому, обычно не опираются на сами формальные правила дедукции в процессе мышления. Они скорее держат в голове логическую структуру доказательства, разбивая его на промежуточные результаты, чтобы не держать в голове слишком много логики одновременно. Более того, часто первоклассные математики даже не знают стандартного формального использования кванторов ("для любого" и "существует"), однако все математики, безусловно, проводят те рассуждения, которые кодируют эти кванторы. 

Интересно, что и хотя "или", "и" и "влечёт" имеют равное формальное значение в логике, мы воспринимаем "или" и "и" как союзы, а "влечёт" — как глагол.

Интерпретации и взаимосвязи

Человек обладает удивительными способностями:

▪️Интуиция. Ощущать что-то, не зная, откуда оно взялось. 
▪️Ассоциация. Чувствовать, что некоторое явление, ситуация или объект похожи на что-то другое.
▪️Метафора. Строить и проверять связи и сравнения, удерживая в уме две вещи одновременно.

Эти способности крайне важны для математики. Лично я прилагаю много усилий, чтобы "прислушаться" к своим интуициям и ассоциациям и выстроить их в метафоры и связи, при этом происходит как бы одновременное успокоение и фокусировка сознания. Конкретные же слова, логика и подробные витающие в воздухе картинки могут сдерживать интуицию и ассоциации. #интуиция #наведениемостов

Стимул-реакция

Это часто используется в средней школе; например, если вы видите 3927 × 253, вы пишете одно число над другим и проводите под ним черту и т.д. Это важно и для исследовательской математики: увидев диаграмму узла, мне может сразу захотеться записать копредставление для фундаментальной группы его дополнения с помощью процедуры, которая по ощущениям похожа на алгоритм умножения.

Последовательности и время

Мы обладаем способностью мыслить процессами или последовательностями действий, которую часто можно с успехом использовать в математических умозаключениях. Один из способов понимания функции — это действие, процесс, который переводит область определения в множество значений. Это особенно ценно при композиции функций. Другой способ использования этой способности — запоминание доказательств: люди часто запоминают доказательство как процесс, состоящий из нескольких шагов. С математической точки зрения время ничем не отличается от дополнительного пространственного измерения, но поскольку человек взаимодействует с временем совершенно по-другому, появляется очень сильная психологическая разница.

Уильям Тёрстон

Призыв Тёрстона

Принято считать, что математика — это поиск универсальных истин, паттернов, не привязанных к какому-то одному фиксированному контексту. Но на более глубоком уровне цель математики — выработать усовершенствованные способы того, как люди видят и осмысляют мир.

Математика — это путь преобразования, и прогресс в ней лучше измерять изменениями в нашем мышлении, чем внешними истинами, которые мы открываем.

Мы, люди, обладаем широким спектром способностей, которые помогают нам воспринимать и анализировать математическое содержание. Мы воспринимаем абстрактные понятия не только через зрение, но и через слух, через чувства, через наше ощущение движения тела и его положения. Наши геометрические и пространственные навыки хорошо тренируемы, как и в других видах деятельности, требующих высокой отдачи. В математике мы можем гибко использовать модули нашего разума — даже метафорически. #интуиция

Подход к математическому мышлению, задействующий весь разум, неизмеримо эффективнее обычного подхода, манипулирующего лишь символами

Нам нужно стремиться открыть весь свой разум для более всестороннего понимания математики

Чтение между строк

В детстве я был ненасытным читателем. Но когда я начал изучать серьезные математические учебники, я был удивлен тому, как медленно мне приходилось читать, гораздо медленнее, чем нематематические книги. Я не мог просто пробежать текст глазами. Формулировки и символы были тщательно подобраны, и каждый знак был важен. Теперь я читаю иначе.

Я редко трачу время и силы на то, чтобы внимательно следить за каждым словом и каждым уравнением в математической статье. Я пришел к пониманию важности объяснения, скрытого под поверхностью.

Я люблю следовать сигналам, которые направляют меня к неизвестному мне теоретическому фону. Я мало надеюсь на то, что слова станут хорошим представлением реальных идей. Я пытаюсь прорыть туннель под поверхностью и найти кратчайшие пути, проверяя себя достаточно часто, чтобы иметь разумную надежду не упустить главное. Я пришел к выводу, что мечтательность — это не баг, а фича. Если я могу отвлечься достаточно далеко, чтобы обрести перспективу, позволяющую увидеть общую картину, то замечать детали становится одновременно и легче, и менее важно.

Мне жаль, что я не развил навык чтения между строк гораздо раньше. Когда я читаю, я останавливаюсь и спрашиваю:

Что автор хочет сказать?
О чем автор на самом деле думает (если предположить, что это отличается от того, что он изложил в математическом тексте)?
Что я сам об этом думаю?

Я разговариваю сам с собой туда и обратно во время чтения чужого текста. Но главное — дать себе время, закрыть глаза, дать себе пространство, поразмышлять и позволить мыслям формироваться самостоятельно, чтобы оформить мои идеи. #чтение

Невидимые мышцы ума: интуиция и мысленные рефлексы

Изучение математики преобразует наш разум. Наши умственные навыки развиваются через медленные, пошаговые процессы, которые укореняются в наших нейронных цепях и облегчают быстрые рефлекторные реакции, требующие мало сознательных усилий или внимания. Слепая печать — хороший пример видимого навыка, который становится рефлекторным. Обучение слепой печати требует большой работы, но в ходе этого процесса люди по крайней мере видят, что им нужно освоить. Для меня процесс печати прозрачен. Я думаю о том, что хочу сказать, и переношу это на экран компьютера; я обычно вообще не обращаю внимания на сам процесс печати. Хотя мой сиюминутный мыслительный процесс сложен, он кажется непрерывным. #интуиция

А теперь представьте навык, подобный печати, но не включающий физических движений и не использующий напрямую слова или символы.

Как мы наблюдаем и обучаемся такому навыку — и как мы обсуждаем его?

Такой навык иногда называют интуицией — то есть мощным озарением, которое трудно объяснить. Одна из главных проблем в занятиях математикой заключается в том, что мы склонны не осознавать, что едва определимые навыки важны, что их нужно взращивать и развивать. И все же практика математики требует их. Математические идеи могут быть транскрибированы в символы, организованные в точные описания, уравнения и логические выводы — но такая транскрипция, как правило, далека от мыслительного процесса, порождающего идеи. #коммуникация

Эти типы проблем повсеместны, но не непреодолимы. Математику можно передавать без полной денатурации, если люди настроены на её ментальные измерения. Важная часть решения — вдумчивое чтение рефлексивных текстов. #чтение

Как передаётся понимание математики

Передача понимания от одного человека к другому происходит не автоматически. Это сложно и требует умения. Поэтому, чтобы проанализировать человеческое понимание математики, важно учитывать, кто понимает что и когда

Математики выработали привычки общения, которые часто оказываются неэффективными. Организаторы коллоквиумов повсюду призывают докладчиков объяснять вещи на элементарном уровне. Тем не менее, большинство аудитории на обычном коллоквиуме извлекает из него мало ценного. Возможно, они теряют нить в первые 5 минут, но затем молча сидят оставшиеся 55. Или, возможно, они быстро теряют интерес, потому что докладчик погружается в технические детали, не представив никаких причин для их исследования. В конце доклада несколько математиков, близких к области докладчика, задают вопрос или два, чтобы избежать неловкости. #обучениедвижимоевопросами

Эта модель схожа с тем, что часто происходит в аудиториях, где мы для проформы излагаем то, что, по нашему мнению, студенты «должны» выучить, в то время как студенты пытаются справиться с более фундаментальными проблемами изучения нашего языка и угадывания наших ментальных моделей.

Книги компенсируют это, приводя образцы решения задач каждого типа. Преподаватели компенсируют, давая домашние задания и контрольные работы, которые намного легче материала, «пройденного» в курсе, а затем выставляя оценки за домашние задания и контрольные по шкале, требующей мало понимания.

Мы предполагаем, что проблема в студентах, а не в коммуникации: мол студентам либо просто не хватает способностей, либо им просто всё равно. #коммуникация

Посторонние удивляются этому феномену, но внутри математического сообщества мы отмахиваемся от него пожиманием плеч

Коммуникация внутри дисциплин и между ними

Большая часть сложности связана с языком и культурой математики, которая разделена на подобласти. Базовые понятия, ежедневно используемые в одной подобласти, часто чужды другой. Математики перестают пытаться понять даже базовые понятия из соседних подобластей, если им не объяснили их в аспирантуре.

Напротив, коммуникация работает очень хорошо внутри подобластей математики. Внутри подобласти люди вырабатывают корпус общих знаний и известных методов. Благодаря неформальному общению люди учатся понимать и копировать способы мышления друг друга, так что идеи можно объяснять ясно и легко.

Математические знания могут передаваться внутри подобласти поразительно быстро. Когда доказывается значимая теорема, часто (но не всегда) оказывается, что решение можно передать от одного человека другому в пределах подобласти за считанные минуты. То же доказательство было бы изложено и в целом понято в часовом докладе для членов подобласти. Оно стало бы предметом статьи на 15 или 20 страниц, которую члены подобласти могли бы прочитать и понять за несколько часов или, возможно, дней. #коммуникация

Почему происходит такое сильное расширение от неформального обсуждения к докладу и к статье? При общении один на один люди используют широкие каналы коммуникации, выходящие далеко за рамки формального математического языка. Они используют жесты, рисуют картинки и диаграммы, издают звуки и используют язык тела. Коммуникация с большей вероятностью становится двусторонней, так что люди могут сосредоточиться на том, что требует наибольшего внимания. С такими каналами общения они гораздо лучше могут передать то, что происходит, не только в их логических и лингвистических способностях, но и в других их ментальных способностях.

Пример Терренса Тао:

"...Однажды я катался по полу с закрытыми глазами, чтобы понять эффект калибровочного преобразования, основанного на подобном типе взаимодействия между разными частотами. (К слову, это конкретное калибровочное преобразование принесло мне премию Бохера, когда я понял, как оно работает.) Полагаю, этот последний пример — тот, который мне было бы сложно объяснить даже моим ближайшим соавторам. Само собой, ни одна из этих аналогий не появляется в моих опубликованных работах..." https://mathoverflow.net/a/38882

В докладах люди более скованы и формальны. Математическая аудитория часто не очень хорошо умеет задавать вопросы, которые есть у большинства в голове, а докладчики часто имеют нереалистичный заранее заданный план, который мешает им отвечать на вопросы, даже когда их задают.

В статьях люди становятся ещё более формальными. Авторы переводят свои идеи в символы и логику, а читатели пытаются перевести обратно.

Почему существует такой разрыв между коммуникацией внутри подобласти и коммуникацией за её пределами, не говоря уже о коммуникации за пределами математики?

Как читать математические книги

Большинство "классических" книг по математике названы так не потому, что они хорошо излагают сложные абстрактные идеи для непосвященных, а лишь из-за того, что они всеобъемлющи или хорошо структурированы. Порой приступая к чтению таких книг, начинающему математику может показаться, что они написаны для тех, кто уже понимает предмет…

Дело в том, что математические тексты требуют совершенно иного типа чтения, чем художественная литература. Математическую книгу нужно читать не подряд, т. е. с самого начала и до конца, а в несколько этапов или режимов чтения. Используя данный метод, вы можете регулировать глубину погружения в материал в зависимости от ваших потребностей и количества времени. #чтение

Чтение 0 (Read 0)

Не читайте книгу, а узнайте, о чем пойдет речь, из научно-популярной заметки или видео, на Википедии, у друга или научного руководителя. Определите главные вопросы, задаваемые в этой теме, и основные теоремы, которые на них отвечают. Часто наиболее важные идеи излагаются кратко, поэтому вы должны быть в состоянии запомнить их.

Чтение 1 (Read 1)

Позвольте своим глазам перескакивать от определений к леммам и теоремам, не читая доказательств, если только что-то не привлечет ваше внимание или не заинтригует вас. Если в книге есть упражнения, попробуйте по ходу чтения выполнять первое упражнение из каждой главы или раздела.

Чтение 2 (Read 2)

Прочитайте книгу, но на этот раз с доказательствами. Не переживайте, если вам не всё понятно. Если какой-то логический переход не имеет четкого смысла, не стесняйтесь игнорировать его по своему усмотрению, если вам понятен общий ход рассуждений.

Чтение 3 (Read 3)

Читайте через призму скепсиса. Пройдитесь по всем доказательствам, задавая себе все вопросы, которые приходят в голову. На этом этапе у вас не должно возникать вопроса "почему" вы доказываете то, что доказываете. Стремитесь разобрать все детали.

Как читать математические статьи

Математик тратит, как правило, сотни часов в год на чтение статей: для выступления на семинаре, для поддержания квалификации в своей области или для изучения литературы по новому направлению. Умение читать статьи эффективно — важный, но редко преподаваемый навык. Поэтому начинающим математикам приходится учиться самостоятельно, методом проб и ошибок. Часто они тратят на это много сил и разочаровываются.

Чтобы решить эту проблему, используйте следующий простой трёхэтапный метод чтения, который позволяет не утонуть в деталях до того, как вы получите ясное представление о статье. Основная идея заключается в том, чтобы разбить чтение статьи на несколько этапов, а не начинать с самого начала и дочитывать до конца. Каждый этап преследует определенные цели и опирается на предыдущий #чтение

• Первый этап дает общее представление о статье
• Второй этап позволяет понять её содержание, но не детали
• Третий этап помогает глубже понять суть статьи

(источник)

Первый этап чтения

Данная стадия — это быстрое сканирование с целью получения представления о работе с высоты птичьего полета. На ней можно решить, нужно ли проходить остальные этапы. Она занимает около 5-10 минут и состоит из следующих шагов:

1. Внимательно прочитайте название, аннотацию и введение.
2. Прочитайте заголовки разделов и подразделов, но игнорируйте всё остальное.
3. Ознакомьтесь с математическим содержанием, чтобы определить лежащую в его основе теоретическую базу.
4. Ознакомьтесь с заключением статьи.
5. Просмотрите ссылки, мысленно отмечая те из них, которые вы уже изучали.

В конце первого этапа вы должны быть в состоянии ответить на следующие вопросы:

• К какому типу относится эта статья? Это обзор научной области? Построение контрпримера к гипотезе? Конкретное вычисление? Обобщение чьей-то работы? Доказательство фольклорного результата для заполнения пробела в литературе?
• С какими другими работами она связана? Какая теоретическая база в ней используется?
• В чем заключается основной вклад этой работы? Новый взгляд на вещи (модель)? Новый способ с ними взаимодействовать (техника)? Новые факты о них (результаты)?
• Качественно ли написана статья?
• Выглядят ли результаты правдоподобными?

Используя эту информацию, вы можете отказаться от дальнейшего чтения, если, например, статья вас не заинтересовала, или ваших знаний недостаточно для анализа деталей. Первого этапа вполне достаточно для тех работ, которые не относятся к области ваших исследований, но могут когда-нибудь оказаться актуальными.