(3/3) Очень важно, читая книгу, думать над упражнениями и заданиями. По видимому, вы сможете ответить на большинство несложных вопросов. Но если вам не удастся справиться с остальными, то огорчить вас это должно не больше, чем неудачная попытка с ходу ответить на внезапно появившийся вопрос.
В нашей книге есть и другого сорта отступления от дедуктивной схемы. Например, на интуитивном уровне многообразия и геометрические структуры обсуждаются в первых двух главах, хотя их точные определения и основные свойства появляются лишь в третьей главе. Эти определения тяжеловаты для понимания, если перед глазами нет хороших примеров. Понятие орбифолда появится лишь в пятой главе второго тома, хотя оно и важно для материала четвертой главы. Но иногда для удобства ссылок, мы изменяем нашему принципу примата психологического над логическим. Так, например, глава 2 содержит более полное изложение гиперболической геометрии, чем требуется в книге на этот момент. Поэтому читатель может здесь кое-что пропустить, в дальнейшем возвращаясь к этому материалу по мере необходимости.
Очень часто начинающий бросает чтение, если попадает в дебри неизвестных терминов и непонятных обозначений. С учетом нелинейного характера изложения, принятого в книге, вы наверняка столкнетесь с незнакомыми терминами, которые до этого в тексте не встречались. И в этом случае не огорчайтесь: полезно бывает почитать дальше, а потом вернуться к фрагменту, который вас «держит». Некоторые понятия определены в словаре терминов. Перед ними поставлен знак звёздочки.
#толерантностькнеопределённости
В нашей книге есть и другого сорта отступления от дедуктивной схемы. Например, на интуитивном уровне многообразия и геометрические структуры обсуждаются в первых двух главах, хотя их точные определения и основные свойства появляются лишь в третьей главе. Эти определения тяжеловаты для понимания, если перед глазами нет хороших примеров. Понятие орбифолда появится лишь в пятой главе второго тома, хотя оно и важно для материала четвертой главы. Но иногда для удобства ссылок, мы изменяем нашему принципу примата психологического над логическим. Так, например, глава 2 содержит более полное изложение гиперболической геометрии, чем требуется в книге на этот момент. Поэтому читатель может здесь кое-что пропустить, в дальнейшем возвращаясь к этому материалу по мере необходимости.
Очень часто начинающий бросает чтение, если попадает в дебри неизвестных терминов и непонятных обозначений. С учетом нелинейного характера изложения, принятого в книге, вы наверняка столкнетесь с незнакомыми терминами, которые до этого в тексте не встречались. И в этом случае не огорчайтесь: полезно бывает почитать дальше, а потом вернуться к фрагменту, который вас «держит». Некоторые понятия определены в словаре терминов. Перед ними поставлен знак звёздочки.
#толерантностькнеопределённости
Оптимальное переживание
1. Когда вы последний раз настолько погружались в математическую задачу, что теряли счет времени? Что вы чувствовали? Как это повлияло на результат и ваше восприятие сложности?
2. Можно ли организовать процесс занятий математикой так, чтобы он требовал меньше волевых усилий и приносил больше удовлетворения? Как превратить борьбу в увлекательное путешествие?
3. Как преодолеть внутреннее сопротивление перед сложной задачей или страхом неудачи? Существует ли состояние, где эти барьеры ослабевают?
4. Почему одни задачи кажутся "неподъемными", а над другими можно биться часами с азартом, не чувствуя усталости? Существует ли оптимальное психическое состояние для математической работы?
1. Когда вы последний раз настолько погружались в математическую задачу, что теряли счет времени? Что вы чувствовали? Как это повлияло на результат и ваше восприятие сложности?
2. Можно ли организовать процесс занятий математикой так, чтобы он требовал меньше волевых усилий и приносил больше удовлетворения? Как превратить борьбу в увлекательное путешествие?
3. Как преодолеть внутреннее сопротивление перед сложной задачей или страхом неудачи? Существует ли состояние, где эти барьеры ослабевают?
4. Почему одни задачи кажутся "неподъемными", а над другими можно биться часами с азартом, не чувствуя усталости? Существует ли оптимальное психическое состояние для математической работы?
Гипотеза. Наиболее эффективным (в плане продуктивности, мотивации и снижения субъективной сложности) для занятия математикой эмоциональным состоянием (mental state) является «оптимальное переживание» (flow).
Что такое «оптимальное переживание» (старая версия; новая)
Оптимальное переживание — это устойчивое эмоциональное состояние глубокой концентрации и вовлечённости в деятельность, когда человек ощущает себя максимально продуктивным и мотивированным. Концепция впервые была сформулирована Михаем Чиксентмихайи в 1975 году и подробно описана в его монографии «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990).
Люди, испытывающие оптимальное переживание, эффективнее совершенствуют свои навыки и получают возможность браться за всё более сложные задачи, что приводит к ощущению счастья и способствует росту и развитию их личности.
Оптимальное переживание — это устойчивое эмоциональное состояние глубокой концентрации и вовлечённости в деятельность, когда человек ощущает себя максимально продуктивным и мотивированным. Концепция впервые была сформулирована Михаем Чиксентмихайи в 1975 году и подробно описана в его монографии «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990).
Люди, испытывающие оптимальное переживание, эффективнее совершенствуют свои навыки и получают возможность браться за всё более сложные задачи, что приводит к ощущению счастья и способствует росту и развитию их личности.
Во время интервьюирования испытуемых, проведённого М. Чиксентмихайи, несколько людей описали свои оптимальные переживания метафорой несущего их потока, поэтому рассматриваемое состояние получило название «потока» (flow).
Условия потока (определение)
Представим себе, что мы занимаемся той или иной деятельностью в течение определённого небольшого периода (например, одного часа). Вот ключевые условия, необходимые для появления состояния потока:
1. Баланс между сложностью задачи и уровнем собственных навыков. Чуть сложнее обычного, чтобы не заскучать, но и не слишком сложно, чтобы не вызвать тревогу.
Например, в математике, особенно исследовательской, изначальная неопределенность высока. Но когда она воспринимается нами как вызов, а не как угроза, и когда у нас достаточно навыков, возникает состояние потока. Баланс сложности/навыка здесь особенно тонок. #толерантностькнеопределённости
2. Наличие ясных целей, находящихся под нашим контролем. Должны быть четко определенные правила игры (критерии выигрыша/победы/успеха) и чувство, что исход напрямую зависит от наших действий и решений.
3. Возможность получения незамедлительной обратной связи. Необходимо мгновенное ощущение приближения к цели и потенциала успеха. (В этом случае поведение можно изменить по мере необходимости.)
В математике обратная связь может выглядеть так:
▪️увидевшаяся закономерность
▪️понимание, почему предыдущий подход не сработал
▪️ощущение "вот оно!" при нахождении ключевой идеи
▪️четкое видение следующего шага после текущего.
Эти моменты инсайта являются мощнейшей формой незамедлительной обратной связи и сильнейшими триггерами/подкреплениями потока. #интуиция
4. Активная вовлечённость в процесс и высокая концентрация. Деятельность должна быть сфокусированной, а наше участие — активным (не пассивным).
Представим себе, что мы занимаемся той или иной деятельностью в течение определённого небольшого периода (например, одного часа). Вот ключевые условия, необходимые для появления состояния потока:
1. Баланс между сложностью задачи и уровнем собственных навыков. Чуть сложнее обычного, чтобы не заскучать, но и не слишком сложно, чтобы не вызвать тревогу.
Например, в математике, особенно исследовательской, изначальная неопределенность высока. Но когда она воспринимается нами как вызов, а не как угроза, и когда у нас достаточно навыков, возникает состояние потока. Баланс сложности/навыка здесь особенно тонок. #толерантностькнеопределённости
2. Наличие ясных целей, находящихся под нашим контролем. Должны быть четко определенные правила игры (критерии выигрыша/победы/успеха) и чувство, что исход напрямую зависит от наших действий и решений.
3. Возможность получения незамедлительной обратной связи. Необходимо мгновенное ощущение приближения к цели и потенциала успеха. (В этом случае поведение можно изменить по мере необходимости.)
В математике обратная связь может выглядеть так:
▪️увидевшаяся закономерность
▪️понимание, почему предыдущий подход не сработал
▪️ощущение "вот оно!" при нахождении ключевой идеи
▪️четкое видение следующего шага после текущего.
Эти моменты инсайта являются мощнейшей формой незамедлительной обратной связи и сильнейшими триггерами/подкреплениями потока. #интуиция
4. Активная вовлечённость в процесс и высокая концентрация. Деятельность должна быть сфокусированной, а наше участие — активным (не пассивным).
🔥2
Характерные признаки потока (свойства)
Состояние потока часто описывается исследуемыми как ощущение получения удовольствия от самореализации, повышенной и обоснованной уверенностью в себе, ярко выраженным повышением коммуникативных способностей, умением чётко и ясно выражать свои мысли, убеждать собеседника, эффективно решать проблемы любой сложности или находить неординарные способы их решения. У исследуемых в потоковом состоянии повышаются показатели усваиваемости информации, активизируется память и способности к анализу информации. Выделим ключевые признаки потока:
1. Искажение чувства времени. Часы начинают ощущаться как минуты (или наоборот).
2. Исчезновение чувства самоосознания. Действие и осознанность сливаются, а беспокойство о качестве собственного исполнения пропадает.
3. Снижение субъективного ощущения усилий. Мотивация повышается, деятельность начинает восприниматься ценной сама по себе, ощущение 'тяжелого труда' снижается.
4. Сильная форма концентрации. На фоне полного погружения в процесс другие потребности и проблемы становятся незначительными, негативные мысли уходят.
5. Сильная форма контроля над происходящим. Задача начинает казаться менее трудоемкой, чем обычно для этого человека, деятельность становится более плавной и лёгкой, а беспокойство о потере контроля исчезает.
Таким образом, оптимальное переживание (flow) обеспечивает идеальные условия для занятий математикой: повышенную мотивацию, снижение субъективной трудоёмкости и ускоренное освоение навыков. Понимание и сознательное внедрение механизмов потока помогает сделать научную работу более продуктивной и приятной, а также способствует профессиональному и личностному росту.
Состояние потока часто описывается исследуемыми как ощущение получения удовольствия от самореализации, повышенной и обоснованной уверенностью в себе, ярко выраженным повышением коммуникативных способностей, умением чётко и ясно выражать свои мысли, убеждать собеседника, эффективно решать проблемы любой сложности или находить неординарные способы их решения. У исследуемых в потоковом состоянии повышаются показатели усваиваемости информации, активизируется память и способности к анализу информации. Выделим ключевые признаки потока:
1. Искажение чувства времени. Часы начинают ощущаться как минуты (или наоборот).
2. Исчезновение чувства самоосознания. Действие и осознанность сливаются, а беспокойство о качестве собственного исполнения пропадает.
3. Снижение субъективного ощущения усилий. Мотивация повышается, деятельность начинает восприниматься ценной сама по себе, ощущение 'тяжелого труда' снижается.
4. Сильная форма концентрации. На фоне полного погружения в процесс другие потребности и проблемы становятся незначительными, негативные мысли уходят.
5. Сильная форма контроля над происходящим. Задача начинает казаться менее трудоемкой, чем обычно для этого человека, деятельность становится более плавной и лёгкой, а беспокойство о потере контроля исчезает.
Таким образом, оптимальное переживание (flow) обеспечивает идеальные условия для занятий математикой: повышенную мотивацию, снижение субъективной трудоёмкости и ускоренное освоение навыков. Понимание и сознательное внедрение механизмов потока помогает сделать научную работу более продуктивной и приятной, а также способствует профессиональному и личностному росту.
Как мы понимаем математику
Понимание математики — очень сложный вопрос. Это индивидуальная и внутренняя составляющая, которую трудно полностью осознать, понять и, зачастую, передать.
Люди очень по-разному понимают те или иные фрагменты математики. Для иллюстрации следует привести пример, воспринимающийся опытными математиками по-разному, но с которым начинающие испытывают трудности. Здесь хорошо подходит производная функции. О ней можно думать следующими способами:
1. Инфинитезимально
Отношение бесконечно малого изменения значения функции к бесконечно малому изменению аргумента.
2. Символически
Производная от икс квадрат равна два икс, производная от синуса равна косинусу, производная композиции выражается так-то, и так далее.
3. Логически
Производная функции равна такому числу, что для любого эпсилон больше нуля существует такая дельта, что выполняется определённая импликация.
4. Геометрически
Наклон прямой, касающейся графика функции.
5. Частотно
Мгновенная скорость в данный момент времени.
6. Аппроксимативно
Наилучшее линейное приближение к функции вблизи точки.
7. Микроскопически
Предел того, что можно получить, рассматривая функцию под микроскопом все большей мощности.
Различия начнут исчезать, если начать переводить эти мысленные концепции в точные, формальные и однозначные определения (если только не прилагать значительных усилий для сохранения тона и вкуса исходных инсайтов).
Я помню, как воспринимал каждую из этих концепций как нечто новое и интересное, тратил много умственных сил и времени на то, чтобы переварить и отработать каждую из них, согласовывая ее с другими. Я также помню, как впоследствии возвращался к этим концепциям с новым смыслом и пониманием.
Список выше можно продолжать, и нет никаких причин, чтобы он когда-нибудь закончился. Ниже приведён пример. Нам может казаться, что мы знаем всё, что можно сказать по тому или иному вопросу, но новые открытия не за горами. Кроме того, четкий мысленный образ для одного человека — это запугивание для другого:
37. Производная функции — это лагранжево сечение кокасательного расслоения, задающее форму связности для единственной плоской связности на тривиальном расслоении, для которого график исходной функции является параллельным.
Эти различия — не просто какая-то диковинка. Человеческое мышление и понимание не работают по единой схеме, подобно компьютеру с единым центральным процессором.
Понимание математики — очень сложный вопрос. Это индивидуальная и внутренняя составляющая, которую трудно полностью осознать, понять и, зачастую, передать.
Люди очень по-разному понимают те или иные фрагменты математики. Для иллюстрации следует привести пример, воспринимающийся опытными математиками по-разному, но с которым начинающие испытывают трудности. Здесь хорошо подходит производная функции. О ней можно думать следующими способами:
1. Инфинитезимально
Отношение бесконечно малого изменения значения функции к бесконечно малому изменению аргумента.
2. Символически
Производная от икс квадрат равна два икс, производная от синуса равна косинусу, производная композиции выражается так-то, и так далее.
3. Логически
Производная функции равна такому числу, что для любого эпсилон больше нуля существует такая дельта, что выполняется определённая импликация.
4. Геометрически
Наклон прямой, касающейся графика функции.
5. Частотно
Мгновенная скорость в данный момент времени.
6. Аппроксимативно
Наилучшее линейное приближение к функции вблизи точки.
7. Микроскопически
Предел того, что можно получить, рассматривая функцию под микроскопом все большей мощности.
Это скорее список различных способов мышления или представления о производной, чем её логических определений.
Различия начнут исчезать, если начать переводить эти мысленные концепции в точные, формальные и однозначные определения (если только не прилагать значительных усилий для сохранения тона и вкуса исходных инсайтов).
Я помню, как воспринимал каждую из этих концепций как нечто новое и интересное, тратил много умственных сил и времени на то, чтобы переварить и отработать каждую из них, согласовывая ее с другими. Я также помню, как впоследствии возвращался к этим концепциям с новым смыслом и пониманием.
Список выше можно продолжать, и нет никаких причин, чтобы он когда-нибудь закончился. Ниже приведён пример. Нам может казаться, что мы знаем всё, что можно сказать по тому или иному вопросу, но новые открытия не за горами. Кроме того, четкий мысленный образ для одного человека — это запугивание для другого:
37. Производная функции — это лагранжево сечение кокасательного расслоения, задающее форму связности для единственной плоской связности на тривиальном расслоении, для которого график исходной функции является параллельным.
Эти различия — не просто какая-то диковинка. Человеческое мышление и понимание не работают по единой схеме, подобно компьютеру с единым центральным процессором.
Наш мозг и сознание, по-видимому, организованы в виде множества отдельных мощных систем, которые работают в свободном режиме, “разговаривая” друг с другом на высоких, а не на низких уровнях организации.
Вот несколько основных мощных систем работы сознания и мозга, важных для математического мышления.
Человеческий язык
Мы обладаем мощными специализированными возможностями для общения и понимания человеческого языка, которые также связаны с чтением и письмом. Наши языковые возможности — это важный инструмент не только для общения, но и для мышления. В качестве примера можно привести формулу квадратного уравнения, которую люди, возможно, помнят как небольшое песнопение: "икс равно минус бэ плюс минус квадратный корень из бэ квадрат минус четыре а цэ делить на два а". Математический язык символов тесно связан с нашим речевым аппаратом. В части математической символики, доступной большинству изучающих математический анализ студентов, есть только один глагол: "=". Поэтому когда студентам нужен глагол, они используют именно этот. Практически каждый, кто преподавал математику в США, видел, как студенты инстинктивно пишут "икс куб равно два икс квадрат" и т.п.
Человеческий язык
Мы обладаем мощными специализированными возможностями для общения и понимания человеческого языка, которые также связаны с чтением и письмом. Наши языковые возможности — это важный инструмент не только для общения, но и для мышления. В качестве примера можно привести формулу квадратного уравнения, которую люди, возможно, помнят как небольшое песнопение: "икс равно минус бэ плюс минус квадратный корень из бэ квадрат минус четыре а цэ делить на два а". Математический язык символов тесно связан с нашим речевым аппаратом. В части математической символики, доступной большинству изучающих математический анализ студентов, есть только один глагол: "=". Поэтому когда студентам нужен глагол, они используют именно этот. Практически каждый, кто преподавал математику в США, видел, как студенты инстинктивно пишут "икс куб равно два икс квадрат" и т.п.
Пространственное восприятие
Люди обладают очень широкими возможностями для зрительного и кинестетического восприятия информации, а также мышления с помощью пространственных ощущений. В то же время у них не так хорошо развита способность к превращению внутреннего пространственного представления в плоское изображение. В результате количество и качество картинок, представленных в работах математиков, совершенно не выдерживает сравнения с тем, что происходит у них в голове.
Интересно, что большую роль в пространственном мышлении играет масштаб. Мы можем думать о маленьких предметах, которые держим в руках, или о больших структурах размером с человека, которые мы сканируем, или о пространственных структурах, которые охватывают нас и в которых мы передвигаемся. Мы склонны мыслить гораздо эффективнее, когда используем пространственные образы большего масштаба: как будто наш мозг воспринимает крупные объекты более серьёзно и может выделить для них больше ресурсов.
Люди обладают очень широкими возможностями для зрительного и кинестетического восприятия информации, а также мышления с помощью пространственных ощущений. В то же время у них не так хорошо развита способность к превращению внутреннего пространственного представления в плоское изображение. В результате количество и качество картинок, представленных в работах математиков, совершенно не выдерживает сравнения с тем, что происходит у них в голове.
Интересно, что большую роль в пространственном мышлении играет масштаб. Мы можем думать о маленьких предметах, которые держим в руках, или о больших структурах размером с человека, которые мы сканируем, или о пространственных структурах, которые охватывают нас и в которых мы передвигаемся. Мы склонны мыслить гораздо эффективнее, когда используем пространственные образы большего масштаба: как будто наш мозг воспринимает крупные объекты более серьёзно и может выделить для них больше ресурсов.
Логика и логический вывод
У нас есть некоторые встроенные способы рассуждать и связывать вещи воедино, которые касаются логических умозаключений: причина и следствие (связанные с импликацией), противоречие, отрицание и т.д.
Математики, по-видимому, обычно не опираются на сами формальные правила дедукции в процессе мышления. Они скорее держат в голове логическую структуру доказательства, разбивая его на промежуточные результаты, чтобы не держать в голове слишком много логики одновременно. Более того, часто первоклассные математики даже не знают стандартного формального использования кванторов ("для любого" и "существует"), однако все математики, безусловно, проводят те рассуждения, которые кодируют эти кванторы.
Интересно, что и хотя "или", "и" и "влечёт" имеют равное формальное значение в логике, мы воспринимаем "или" и "и" как союзы, а "влечёт" — как глагол.
У нас есть некоторые встроенные способы рассуждать и связывать вещи воедино, которые касаются логических умозаключений: причина и следствие (связанные с импликацией), противоречие, отрицание и т.д.
Математики, по-видимому, обычно не опираются на сами формальные правила дедукции в процессе мышления. Они скорее держат в голове логическую структуру доказательства, разбивая его на промежуточные результаты, чтобы не держать в голове слишком много логики одновременно. Более того, часто первоклассные математики даже не знают стандартного формального использования кванторов ("для любого" и "существует"), однако все математики, безусловно, проводят те рассуждения, которые кодируют эти кванторы.
Интересно, что и хотя "или", "и" и "влечёт" имеют равное формальное значение в логике, мы воспринимаем "или" и "и" как союзы, а "влечёт" — как глагол.