"Прежде всего я беру наименьшую идею, какую только могу образовать о части пространства, и, будучи уверен, что нет ничего меньшего, чем эта идея, заключаю: все, что я открою с помощью этой идеи, должно быть реальным качеством протяжения. Затем я повторяю эту идею один раз, два, три и т. д. и замечаю, что сложная идея протяжения, возникающая благодаря этому повторению, все возрастает, делается вдвое, втрое, вчетверо и т. д. больше и наконец достигает значительной величины, большей или меньшей соответственно тому, повторяю ли я одну и ту же идею большее или меньшее число раз. Когда я прекращаю сложение частей, идея протяжения перестает возрастать, но мне ясно, что, продолжай я это сложение in infinitum, идея протяжения также должна была бы стать бесконечной. Из всего этого я заключаю, что идея бесконечного числа частей вполне тождественна идее бесконечного протяжения, никакое конечное протяжение не может заключать в себе бесконечного числа частей и, следовательно, никакое конечное протяжение не делимо до бесконечности [...] Я могу прибавить сюда другой аргумент, который был предложен одним известным автором и который кажется мне весьма сильным и убедительным. Очевидно, что существование, как таковое, принадлежит только тому, что едино, и может быть приписано числу лишь благодаря тем единицам, из который число составлено. Можно сказать, что двадцать человек существуют, но только потому, что существует один человек, существует второй, третий, четвертый и т. д., и если вы будете отрицать существование этих последних, то и существование первых [двадцати] отпадает само собой. Поэтому безусловно нелепо утверждать существование какого-нибудь числа и в то же время отрицать существование единиц; а так как протяжение, согласно обычному мнению метафизиков, всегда есть число и никогда не сводится к какой-нибудь единице или к какому-нибудь неделимому количеству, то отсюда следует, что протяжение вовсе не может существовать [...] Все это рассуждение применимо и ко времени в связи с одним добавочным аргументом, который не мешает здесь отметить. Неотделимое от времени и некоторым образом составляющее его сущность свойство заключается в том, что каждая из частей времени следует за другой и никакие из этих частей, как бы смежны они ни были, никогда не могут сосуществовать. По той же самой причине, в силу которой 1737 год не может совпасть с текущим 1738 годом, каждый момент должен быть отличен от другого, должен следовать за ним или предшествовать ему. Тогда очевидно, что время в том виде, как оно существует, должно быть составлено из неделимых моментов, ибо если бы мы никогда не могли дойти до конца при делении времени и если бы каждый момент, следуя за другим моментом, не был совершенно отдельным и неделимым, то существовало бы бесконечное число сосуществующих моментов, или частей времени, а это, я думаю, все признают явным противоречием. Бесконечная делимость пространства, как это явствует из природы движения, предполагает бесконечную делимость времени. Поэтому если последняя невозможна, то таковой же должна быть признана и первая" (Трактат о человеческой природе, Книга 1, Часть 2, Глава 3)

П1. Утверждение множества есть утверждение всех его единиц (Дэвид Юм приводит следующий пример: "Можно сказать, что двадцать человек существуют, но только потому, что существует один человек, существует второй, третий, четвертый и т. д., и если вы будете отрицать существование этих последних, то и существование первых [двадцати] отпадает само собой")
П2. В бесконечной делимости нет единиц (Дэвид Юм пишет: "Протяжение, согласно обычному мнению метафизиков, всегда есть число и никогда не сводится к какой-нибудь единице или к какому-нибудь неделимому количеству, то отсюда следует, что протяжение вовсе не может существовать", тоже самое мы применяем к количественности)
П3. Бесконечная делимость множественна
С1. Бесконечная делимость противоречива
П4. Математика предполагает бесконечную делимость
С2. Математика противоречива
В. Математика ложна

"Собел также показывает, что аксиомы Гёделя подразумевают следующее: если все имеет сущность, то все является необходимым сущим [...] Предположим, что аргумент Гёделя обоснован и доказывает существование богоподобного существа g1. Согласно Теореме 2, свойство быть богоподобным является сущностью g1. На основании доказательства Теоремы 3 богоподобие с необходимостью имеет носителей. Пусть р – любая контингентная истина, и пусть Q – свойство, которым некая вещь обладает тогда и только тогда, когда р. Из Принципа Абстракции следует, что g1 обладает Q тогда и только тогда, когда р. Из этого утверждения и истинности р следует, что g1 обладает Q. Поскольку свойство быть богоподобным является сущностью Q, то свойство быть богоподобным влечет за собой Q. Но тогда свойство Q с необходимостью имеет носителей, потому что свойство быть богоподобным с необходимостью имеет носителей. Из Абстракции и Введения Необходимости следует, что Q с необходимостью имеет носителей тогда и только тогда, когда с необходимостью выполняется р. Следовательно, р истинно с необходимостью, что противоречит нашему предположению о контингентности" (Sobel 1987, р. 253)

"Я сознаю свое существование как определенное во времени. Всякое определение времени предполагает существование чего-то постоянного в восприятии. Но это постоянное не может находиться во мне, так как мое существование во времени может быть определено прежде всего именно этим постоянным. Следовательно, воспринять это постоянное можно только при помощи вещи вне меня, а не посредством одного лишь представления о вещи вне меня. Значит, определение моего существования во времени возможно только благодаря существованию действительных вещей, которые я воспринимаю вне меня. А так как сознание во времени необходимо связано с сознанием возможности этого временного определения, то оно необходимо связано также и с существованием вещей вне меня как условием временного определения; иными словами, сознание моего собственного существования есть вместе с тем непосредственное сознание существования других вещей вне меня

Примечание. Из предыдущего доказательства видно, что оружие, употребляемое идеализмом, с еще большим правом может быть обращено против него. Идеализм предполагает, что единственный непосредственный опыт — это внутренний опыт и что исходя из этого опыта мы только заключаем о внешних вещах, да и то без достаточной достоверности, как это всегда бывает, когда мы заключаем от данных действий к определенным причинам: ведь причина представлений, которую мы, быть может ложно, приписываем внешним вещам, может находиться в нас самих. Между тем мы доказали здесь, что внешний опыт непосредственно в собственном смысле слова и что только при его посредстве возможно если не сознание нашего собственного существования, то все же его определение во времени, т. е. внутренний опыт. Конечно, представление я существую, будучи выражением сознания, могущею сопутствовать всякому мышлению, есть то, что непосредственно заключается в себе существование субъекта, однако это еще не знание о нем, стало быть, и не эмпирическое знание, т. е. не опыт: к опыту относится кроме мысли о чем-то существующем еще и созерцание, в данном случае внутреннее созерцание, в отношении которого, т. е. времени, субъект должен быть определен, и для этого определения внешние вещи, существующие в действительности, совершенно необходимы. Следовательно, внутренний опыт возможен лишь опосредствованно через внешний опыт"

1. Бытие есть, небытия нет
2. Не-быть невозможно
3. Бытие никогда не возникало, иначе ему бы предшествовало небытие
4. Бытие никогда не исчезнет, иначе возникнет небытие
5. Бытие неограниченно, иначе оно было бы ограничено небытием
6. Бытие неделимо, иначе между частями было бы небытие
7. Бытие есть тоже самое, что и мыслимое, ибо нельзя мыслить о небытии