#нер_во (простое)
Источник ???

M, N, A - середины BC, CA, MJ. Доказать, что AB + BJ >= AJ + AC

#авторка
Для привлечения внимания случайная задача, которая получилась на ультрамегаласттесте.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD с центром описанной окружности O и точкой Монжа H (отражение O относительно центра параллелограмма вариньона). Доказать, что прямые Эйлера ACH, BDH пересекаются на OH

ИНСТРУКЦИЯ

Нарисуйте интересующую вас конструкцию. Подумайте, какие объекты из конструкции существенно должны быть в теореме (например, если вы отмечали середину для построения центроида, то она вам не нужна). Установите симметрию на независимые (!= ключевые!!) объекты конструкции, от которых вы ее строили (обычно это вершинки фигуры). Я рекомендую B, C для треугольников ABC и A, C; B, D для четырёхугольников ABCD.
Далее выбирайте построения, которые вы хотите. Я рекомендую убедиться, что везде стоят бесконечности (если нет, просто сотрите число). Выберите также то, что хотите искать. Статистически большинство задач на равенство углов / отрезков, поэтому я рекомендую искать только их / все без них. Галочку на "трехточечные построения" советую ставить.

Установите количество слоев (как правило в олимпиадных задачах 2-3 слоя). Если хотите залезать в многослойные задачи (скорее всего да), то тыкните галочку рандом. Поле "объектов на слой" советую оставить пустым, оно само рассчитается. Там есть классические построения, я их настроил так, чтобы качество задач было норм, но вы можете переделать под себя (в процентах там все измеряется).

Далее установите, сколько секунд готовы ждать, и под вас рассчитается бюджет. Крополятор старается прикинуть, сколько времени уйдёт на ваш бюджет, можете посмотреть также вкладку "подробнее". На кнопку "одна из точек ключевая" можно тыкнуть, но я обычно не делаю.

Далее нажимаете на кнопку "генерировать" или "случайная задача". Получается список фактов / факт (чуть пролистайте вниз). К каждому факту есть опция нарисовать, получить текстовое условие и проверить на обобщение. Случайная задача по умолчанию не обобщается. Также есть кнопка остановки "хватит", если поиск идёт долго.

У меня обычно интересные теоремы генерируются на 3 слоях и бюджете 5-10 тысяч. Советую сначала испытать генератор на понятных простых конструкциях.

Что может пойти не так?
- поиск идет слишком долго, тогда скорее всего сломалась симметрия;
- мир уперся в предел по памяти (маловероятно);
- выданная вам задача оказалась по какой-то причине неинтересна / тривиальна.
Во всех случаях обращайтесь ко мне в лс, разберемся и полечим

Извините, я прикрепил не самую свежую версию. Теперь все верно
Upd: короче я еще раз обновил, исправил пару мелких багов. Возможно еще несколько раз так буду делать

#разминка #авторка
(Теперь это делает крополятор за минуту-две).

В треугольнике ABC отразили A относительно центра описанной окружности и опустили A-высоту. Синяя и красная точки - ортоцентры синего и красного треугольников. Доказать вписанность

#разминка #авторка

В треугольнике ABC BE, CF - высоты, E' - отражение E относительно BC, K - пересечение касательных в B, C к описанной окружности. Доказать, что касательная в C к (ACF), KE и FE' пересекаются в одной точке

Я кстати вчера еще раз обновил крополятор, раньше ему не всегда было очевидно что A \in (ABC), плюс еще пара минибагов

#разминка #авторка
(Баян на крополятор)

Докажите что пунктирная прямая - симедиана AOC

#75 #авторка

Существует ли тетраэдр ABCD, обладающий следующим свойством: если точка X выбрана на его описанной сфере так, что отрезок DX пересекает внутренность треугольника ABC, то DX = AX + BX + CX?

P. S.: теорема Помпею не обобщается на 3d((

Немножко стереомы (простой)

#разминка #авторка
Мало кто знает, но у крополятора есть внутренняя модель, которая опровергла гипотезу Римана отлично придумывает задачи на ГМТ и равносильные условия.

Например, такая задача с самого первого теста. Доказать, что если 2BC = AB + AC, то точки лежат на одной окружности.

#авторка
Как вам такое творчество крополятора?

В остроугольном треугольнике ABC H - ортоцентр, W - середина малой дуги BC (ABC), l - прямая через середины HW, BC.
Доказать, что d(A, l) ^2 >= 1/3(AB^2 + AC^2 + AH^2)

#баян (сложный)
Источник: Taiwan TST 2020

Начался учебный год, а значит время ботать геому к олимпиадкам(и снова ставить себе мораторий на полиномдвиж и учиться решать по нормальному, тк его не принимают когда сдаешь задачи в цпме), поэтому вот держите хорошую геому с олимпиадки.

#авторка (оказалась неинтересной()

Доказать неравенство:
AM*BC <= (AB^2 + AC^2 + AH^2)/2

#авторка (простая)

а) I, O, I_a - центры вписанной и описанной и A-вневписанной окружностей ABC. Синяя и красная точки - изогональные сопряжения A' в соответствующих треугольниках. Доказать вписанность

б) Доказать что точки Шалтая AIC, AIB тоже лежат на этой окружности

#разминка #авторка (простая)

H, O - ортоцентр и центр описанной окружности ABC, точки без имени - серединки

#из_предложки от @MeZox_111

Красивая задача, хотелось бы услышать красивое решение

Upd: на рисунке НЕ полувписанные окружности

Пусть T - треугольник, образованный вторыми внешними касательными к вневписанным окружностям, а T' - ортотреугольник (из оснований высот). Доказать, что они гомотетичны, притом центр гомотетии и есть точка пересечения из задачи Макара

Треугольник T образован перпендикулярами в основаниях биссектрис ABC к самим биссектрисам. Пусть X - центр гомотетии треугольника из центров вневписанных окружностей и T; O - центр (ABC). Доказать, что радикальный центр красных окружностей из задачи Макара лежит на OX.

Как звучит аналогичный факт для полувписанных окружностей?