Задачу 26 из файлика (наконец-то кто то ее решил!) решил @Anton_skd, за авторство спасибо @egfed

Условие: дан треугольник ABC и точки X, Y. Построить такие изогонально сопряженные точки P, Q , что XPYQ - гармонический четырёхугольник

I - центр вписанной окружности треугольника ABC.Докажите что полярная окружность выделенного треугольника касается (ABC).

Полярной окружностью треугольника называется единственная окружность, относительно которой поляра любой вершины - это противоположная ей сторона.

(Это задача 5 из нашего файлика, ее тоже решил @Anton_skd, его решение есть в комментариях)

Задачу 6 из файлика решил @Anton_skd

За авторство благодарим @kosmonauten3114

Условие:
В треугольнике ABC выбирается произвольная точка P на кубике Томсона, PAPBPC — ее педальный треугольник, A′B′C' — окружностно-чевианный треугольник. A1, B1, C1 — образы симметрий точек A′, B′, C′ относительно BC, AC, AB соответственно. А2, B2, C2 — образы симметрий относительно MA, MB, MC соответственно. A3, B3, C3 — образы симметрий относительно PA, PB, PC соответственно. Докажите, что окружности (A1B1C1), (A2B2C2), (A3B3C3) соосны.

Задачу 1 решили наш подписчик (некто Д. Крохалев) и я

За авторство спасибо @egfed

Условие:
Дан треугольник. Стороны треугольника Жергонна всегда пересекают антисоот-
ветственные стороны антисерединного треугольника в шести точках, лежащих на
одной конике. Докажите, что чевианная окружность центра этой коники касается
вписанной окружности.

Задачу номер 14 из файлика только что опроверг Claude fable. Оказывается точка просто очень близка в X_45 (настолько, что мы до сегодняшнего дня не замечали это в геогебре). Однако в формулировке что такая точка единственная задача всё ещё открыта.

Короче несколько объявлений по файлику:

1) Задачи 14, 24, 29 оказались неверными
1.1) В задаче 14 единственная точка НЕ X_45
1.2) В задаче 24 доказывайте, что коники C_abc образуют связку
1.3) В задаче 29 пока не удалось исправить условие

2) Мы посмотрели на файлик и поняли, что новая версия 14 задачи и 12 задача - неинтересные и слишком алгебраические. Поэтому в ближайшем будущем мы их планируем заменить.

3) Мы исправили несколько опечаток.

Видно, что несколько мест для задач освободилось, поэтому подписчики могут предложить новые.
Upd: файлик обновили

Это 28 задача из файлика. Ее решили мы с легендарным @Acopianker

https://drive.google.com/drive/folders/1HULtL7ry4kxniCBuKSrS8ao3m5PKZ6TH?usp=sharing

Актуальная версия файлика

У нас снова есть продвижения по файлику:

Во-первых, мы с @Acopianker нашли еще одно, наверное самое простое решение задачи 8.

Во-вторых, мне это помогло решить задачу 7, которой посвящен этот пост. Картинка будет от автора (@Mamonovclhgffkuffhj конечно)

Задачу 15 из файлика решили!

Благодарим за решение @sh_andrei_a

А за авторство спасибо @DmitriyKrohalev

Условие:
В треугольнике ABC диаметр описанной окружности равен 2R. Точки X и Y таковы, что (XB·AC+XC·AB)/AX = (YB·AC+Y C·AB)/AY = 2R. Среди всех максимальных углов XAY для треугольников ABC найти минимальный.

Это задача 10 из файлика, автор @Mamonovclhgffkuffhj

Решил ее сегодня некто Полиграф Шариков
Вот и думайте

На картинке описанная около самурайского треугольника окружность пересекает окружность через его вершину и две точки касания вневписанных в точке P. Доказать, что пунктирная прямая проходит через точку Шиффлера серединного треугольника

Завтра будут ещё посты. Пока скажу только, что 17 задача из файлика решилась мной, но уже была решённой Петром ~также. В общем ничего нового не произошло.

Задачу @claws0n (номер 16 из файлика) вчера решили независимо @Anton_skd и @sh_andrei_a.

Условие: точки A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 образуют октет, X, Y, Z, T - середины AA_1, BB_1, CC_1, DD_1.
а) Доказать, что есть окружность через X, Y, Z, T.
б) Доказать, что ее центр лежит на прямой Гаусса четырёхугольника из центров (ABA_1B_1), (BCB_1C_1), (CDC_1D_1), (DAD_1A_1).

Решили с @Acopianker вчера такую задачку (23 из файлика).

Там два пункта, но один из них уже рисовался в этом канале, поэтому картинка только к пункту б (картинка от автора @Knamprihodilinoneseichas)

Вроде на ней все понятно; доказать касание

Инструкция

Кнопки "рисовать" и "движок включен" отключают во время их использования геогебру / движок соответственно. Это удобно, например, чтобы рисовать ненужные объекты и не засорять их уравнениями память.

Когда вы делаете построения, в алгебре точек все координаты и уравнения отображаются. Делать построения также можно командами в командной строке (какие есть команды там написано). Если вам вдруг удалось натыкать объект, уравнение которого считается больше 5 с, вам будет предложено посчитать еще немного и так до победного. Однако это повод задуматься сменить план счета.

Если выражения огромные, то компланатор выносит по умолчанию только понятные скобочки. Для тотального разложения на скобки используйте строку "выражения от координат". Забиваете туда все что угодно, компланатор приводит уравнение к каноничному виду и сам предлагает это сделать.

Аналогично работает "условие на точки". Эта штука нужна, например, чтобы записать уравнение на исходные объекты, когда в задаче "оказалось, что".

Командная строка также умеет решать системы уравнений. Для этого в одной строке вы можете написать несколько команд с несколькими неизвестными точками, компланотор решит систему и все нарисует.
!!! Рекомендуется использовать это, например, для пересечения (ABC) и (DEC). Человек бы тоже не стал для этого писать уравнения обеих окружностей и пересекать.
Изогональное сопряжение прям настоятельно рекомендуется делать системой angle(A, B, D, E, B, C) angle(A, C, D, E, C, B)!!!

Иррациональности компланатор поддерживает как "независимые переменные", но помнит на них условия. Все последующие координаты зависят от этих переменных, но в них нет симметрических частей, квадратов и тд.

Какой-то потолок у компланатора есть. Он упирается в многочлены огромной степени (степень зависит от числа независимых переменных). Мы тестировали компланатор на максимально стремных задачах из пабликов, и ни в одной потолок не был достигнут даже близко. Но, если вам удалось это сделать, то это повод задуматься, а не надо ли вам сменить план счета

Например, #баян (сложный)
Источник: USAMO 2021, P6

Противоположные стороны шестиугольника параллельны, а их попарные произведения равны. Доказать, что ортоцентр треугольника из середин его диагоналей лежит на прямой, проходящей через центры нарисованных окружностей