@Anton_skd предложил нам такую красоту

На сторонах AB, AC треугольника ABC выбираются точки E, D так, что BE = CD. Доказать, что середина отрезка из точек Нагеля BAD, CAE бегает по фиксированной прямой

Задача от @Mamonovclhgffkuffhj

Картинка будет от автора.

Есть точка P и восьмиугольник ABCDEFGH, вращающийся по Понселе между двумя кониками. P_a - изогональное сопряжение P относительно ACG, аналогично определим P_b, P_c...P_h (типо треугольнички, с вершинками через одну вершину восьмиугольника). N - пересечение P_aP_e и Р_cP_g, M - пересечение P_bPf и P_dP_h.Докажите, что прямые вида MN проходят через фиксированную точку

Четырёхугольник F не вписанный. Обозначим через f(F) четырёхугольник, образованный серперами к сторонам F.

а) Доказать, что f(f(F)) и F подобны.

б) Доказать, что если F описанный, то f(F) тоже

И наконец последняя задача с геомбоя школьников против студентов которую еще не публиковали!

По моему самая красивая(я решил ее на бою).

Дан треугольник АВС и выбраны 3 точки P Q R так что их педальные треугольники подобны и одинаково ориентированы, докажите что у треугольника АВС и PQR совпадают обе точки Аполлония!

Мне бой очень понравился, хоть и команда школьников(в которой был я) проиграла. Большое спасибо Леониду Горбунову, Роману Кравченко и Петру Мамонову за составление варианта.

Вот полный вариант геомбоя кому интересно

Давайте сегодня закроем две задачи из (закрепленного) файлика.

Номер 21 придумал @green_birdd, решили по-разному @green_birdd + @Mamonovclhgffkuffhj и @SaikenQA

Условие: треугольник вращается между двумя кониками по Понселе. Доказать, что описанные окружности принадлежат одной связке. Доказать также, что окружности 9 точек принадлежат одной связке

Вторую задачу решил я.
За авторство спасибо @don_schijuan.

Условие: кардиоида вписана в треугольник. Доказать, что чевианы, соединяющие вершины с точками касания, пересекаются в одной точке, если центр кардиоиды - середина стороны треугольника Морли (образованного трисектриссами углов треугольника)

Прошлая задача зашла не всем, поэтому держите (относительно) добрую задачу от @Anton_skd

Upd: @don_schijuan утверждает, что точка касания это X(99) треугольника из точек касания вписанной

Задачу 26 из файлика (наконец-то кто то ее решил!) решил @Anton_skd, за авторство спасибо @egfed

Условие: дан треугольник ABC и точки X, Y. Построить такие изогонально сопряженные точки P, Q , что XPYQ - гармонический четырёхугольник

I - центр вписанной окружности треугольника ABC.Докажите что полярная окружность выделенного треугольника касается (ABC).

Полярной окружностью треугольника называется единственная окружность, относительно которой поляра любой вершины - это противоположная ей сторона.

(Это задача 5 из нашего файлика, ее тоже решил @Anton_skd, его решение есть в комментариях)

Задачу 6 из файлика решил @Anton_skd

За авторство благодарим @kosmonauten3114

Условие:
В треугольнике ABC выбирается произвольная точка P на кубике Томсона, PAPBPC — ее педальный треугольник, A′B′C' — окружностно-чевианный треугольник. A1, B1, C1 — образы симметрий точек A′, B′, C′ относительно BC, AC, AB соответственно. А2, B2, C2 — образы симметрий относительно MA, MB, MC соответственно. A3, B3, C3 — образы симметрий относительно PA, PB, PC соответственно. Докажите, что окружности (A1B1C1), (A2B2C2), (A3B3C3) соосны.

Задачу 1 решили наш подписчик (некто Д. Крохалев) и я

За авторство спасибо @egfed

Условие:
Дан треугольник. Стороны треугольника Жергонна всегда пересекают антисоот-
ветственные стороны антисерединного треугольника в шести точках, лежащих на
одной конике. Докажите, что чевианная окружность центра этой коники касается
вписанной окружности.

Задачу номер 14 из файлика только что опроверг Claude fable. Оказывается точка просто очень близка в X_45 (настолько, что мы до сегодняшнего дня не замечали это в геогебре). Однако в формулировке что такая точка единственная задача всё ещё открыта.

Короче несколько объявлений по файлику:

1) Задачи 14, 24, 29 оказались неверными
1.1) В задаче 14 единственная точка НЕ X_45
1.2) В задаче 24 доказывайте, что коники C_abc образуют связку
1.3) В задаче 29 пока не удалось исправить условие

2) Мы посмотрели на файлик и поняли, что новая версия 14 задачи и 12 задача - неинтересные и слишком алгебраические. Поэтому в ближайшем будущем мы их планируем заменить.

3) Мы исправили несколько опечаток.

Видно, что несколько мест для задач освободилось, поэтому подписчики могут предложить новые.
Upd: файлик обновили

Это 28 задача из файлика. Ее решили мы с легендарным @Acopianker

https://drive.google.com/drive/folders/1HULtL7ry4kxniCBuKSrS8ao3m5PKZ6TH?usp=sharing

Актуальная версия файлика

У нас снова есть продвижения по файлику:

Во-первых, мы с @Acopianker нашли еще одно, наверное самое простое решение задачи 8.

Во-вторых, мне это помогло решить задачу 7, которой посвящен этот пост. Картинка будет от автора (@Mamonovclhgffkuffhj конечно)

Задачу 15 из файлика решили!

Благодарим за решение @sh_andrei_a

А за авторство спасибо @DmitriyKrohalev

Условие:
В треугольнике ABC диаметр описанной окружности равен 2R. Точки X и Y таковы, что (XB·AC+XC·AB)/AX = (YB·AC+Y C·AB)/AY = 2R. Среди всех максимальных углов XAY для треугольников ABC найти минимальный.