Не геома, но моя задача с только что прошедшей городской олимпиады СПБ

Пусть A_1 . . . A_n - выпуклый многоугольник. Вершины двух замкнутых ломаных — A_1, . . . , A_n в некотором порядке. Чему равно наибольшее возможное отношение их длин?

Геома, моя задача с недавно закончившегося заочного этапа олимпиады Шарыгина

Красота от @Savva_Morozkin.

Синие окружности на рисунке с центрами в A, B, C и радиусами АВ, ВС и СА, а красные окружности с центрами в А, В, С и радиусами АС, СВ, ВА. Доказать, что радикальные центры синих, красных окружностей образуют параллелограмм с ортоцентром и центром описанной окружности АВС.

Задача от меня и Димы Крохалева с недавно прошедшего заочного тура олимпиады имени И.Ф. Шарыгина

Условие:
Дан треугольник ABC с углом B = 30. Обозначим центр его вписанной окружности за I, а центр описанной за O. Пусть D, E - пересечения (BIC), (BIA) с AB, CB соответственно. Докажите, что I - ортоцентр треугольника ODE.

Продолжаем выкладывать задачи с заочного тура. Ещё одна добрая задача от меня

Условие:
В описанном четырёхугольнике диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABC, BCD и AXD имеют общую касательную.

Недавно обнаружил вот такой забавный факт про автополярный треугольник. Отсюда, например, следует, что угол XZY > 90.


Условие:
Во вписанном четырёхугольнике ABCD точки X, Y, Z - пересечения противоположных сторон и диагоналей. Докажите, что (ABCD), (XYZ) и окружность девяти точек треугольника XYZ соосны.

В треугольнике АВС I - инцентр, О - центр описанной окружности. Касательные к окружностям (ABI), (BCI), (ACI) пересекают стороны АВС в точках C_1, C_2, A_1, A_2, B_1, B_2 соответственно. Доказать, что прямые A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2 пересекаются в одной точке, лежащей на прямой OI.

Внезапно добрая задача от @sporegalacticadventures.

В треугольнике АВС I - инцентр, D и E - точки касания вписанной окружности. Точки F, K - пересечения прямых, которые соединяют D, E и середины дуг АВ, АС описанной окружности (как на рисунке). Найти супремум KI/FI

Еще одна добрая задача от @Yellow_brik.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки Х, У - середина дуги ABD и второе пересечение хорды XP с (ABCD). Точка Z - пересечение BC и касательной в Y к (ABCD). Доказать, что ZP = ZY.

Геома с сегодняшней тренировочной олимпиады за 11 класс:

Прикольно, что на московских сборах давали тот же варик год назад, но, кажется, никто не заметил)
В целом, это реально уровень 3-ки всероса

11.7 прошлого всероса

Мне показалось странным, что ее никто не запостил еще тогда, и ваще в общем у меня, вроде, довольно большая насмотреность на задачи, но при этом когда я открываю варианты всероса прошлых лет то не узнаю геому оттуда, наверно так и надо, но я очень злой злодей и вот держите задачу теперь вы ее узнаете😈😈😈

Это кстати ближе к тройке всероса чем прошлая, все таки прошлая это 2.6 - 2.7 но не 3 :)

Внутри выпуклого вписанного пятиугольника выбрали точку P. Пусть А, В, С - суммы расстояний от P до вершин, сторон и диагоналей пятиугольника соответственно. Доказать, что B - C <= A/2.

Задача от Р. Кравченко (@Kravchenko_Rom) с олимпиады 239 этого года.

Задача сегодняшнего дня

Изогональное сопряжение изотомического сопряжения инцентра попало на среднюю линию. Докажите, что у треугольника есть иррациональная по длине сторона.

Обобщение задачи 11.8 с регионального этапа.

Черные точки - пересечения биссектрис противоположных углов четырёхугольника. Красная - точка Микеля. Требуется показать, что точка Микеля лежит на рад. оси зелёной и жёлтой окружности

Автор исходной задачи - А. Терёшин

Кончились московские сборы к заклу, повыкладываю оттуда крутую геому:
Докажите что если сумма красных отрезков на рисунке равна сумме синих отрезков и сумма зеленых отрезков равна сумме оранжевых отрезков (и прямые не параллельны), то такое верно для любой прямой.

Какая-то хрень очевидная, но моя задача с устной московской олимпиады по геометрии , прошедшей сегодня (8-9.3 кажется).

В треугольнике АВС BE и CF - высоты, а точка K - проекция центроида на сторону ВС. Доказать, что FK + KE <= BC

Надо бы что-то с недавно прошедшего всероса запостить, давайте 11.7, к ней вроде еще не было картинок .

Сфера с центром в точке I вписана в тетраэдр ABCD и касается его граней BCD, CDA, DAB, ABC в точках A_1, B_1, C_1, D_1 соответственно. Отрезок A_1B_1 пересекает плоскость C_1D_1I в точке E. Доказать, что середина ребра AB лежит в плоскости CDE.

Да кстати, поздравляем наших админов Ваню Паянского и Тимофея Григорьева с призерством!

Сиреневый четырехугольник - АBCD, взяли ортоцентры треугольников АВС, АВD, ACD, BCD(вершины черного). Докажите что площади этих четырехугольников равны

Пусть ABC — остроугольный разносторонний треугольник с описанной окружностью Γ, M — середина BC. Окружность ω описана около треугольника, образованного прямой BC и двумя общими внешними касательными окружностей (ABM) и (ACM). Известно, что ω и Γ пересекаются в точках X и Y. Докажите, что внутренняя биссектриса угла BAC, серединный перпендикуляр к отрезку AM и прямая XY пересекаются в одной точке.