Я решил сделать полезный пост в этом канале, приготовьтесь(ОН ДЛЯ ТЕХ КТО УМЕЕТ ПОЛИНОМИАЛЬНО ДВИГАТЬ)
Часто ли вы сталкивались с такой проблемой: Вы двигаете точку А по окружности, вам надо 7 положений, у вас есть середины дуг, А=В, A=C, диам противоположные ииии.... всё....? Для решение задачи не хватает одного положения, в такие моменты хочется кинуть в кого то стулом и закричать 'ПОСТАВЬТЕ МНЕ 6/7 ТК 6 ПОЛОЖЕНИЙ ЕСТЬ'. Далее описано решение этой проблемы.
А что если двигать не только в вещественные точки? Ломается ли сама концепция полиномдвижа от этого - НЕТ! Мы всю дорогу как полиномиально двигаем, работаем с многочленами от 1 переменной и теоремой Безу для них. Если какие то корни этого многочлена будут комплексными, то нам ваще все равно, главное что безу работает! Откуда мы понимаем, что можно загонять точки ваще много куда.
Помните, да, на окружности есть 2 такие сладенькие комплексные точки, с большим кол-вом интереснейших свойств. Конечно же Круговые. Основной факт про круговые что они лежат на любой окружности, AJ1 перпендикулярно BJ1 для любых А и В(т.е они и параллельны и перпендикулярны, голова взрывается). Доказывается это просто записыванием скалярного произведения. Они изогонально сопряжены относительно любого треугольника(тк изог сопр окружности это б/у прямая, а б/у прямая - окружность => точки их пересечения меняются местами). Они остаются на месте при любых повгомах, параллельных переносах и тд и ваще много много у них разных свойств.
И уверяю, примерно в 50-70% случаев загон в круговую делает задачу очевидной. Таким образом мы получили + 2 халявных положения в нашем движе, поздравляю, теперь у нас 8 халявных положений всегда, что решает оч много задач.
В целом загон в комплексные точки можно развивать и дальше, скажем при движе по понселе можно загонять точку в точку пересечения вписанной и описанной, или в ту же круговую, крч много возможностей, тк все всех пересекают. Пользуйтесь в решении задач из ТГк и удачи записать все это на олимпиаде😁
Я придумал это во время решения задачи на колме, но проконсультировавшись с Максом Ероговым, понял, что видимо, еще раньше меня так придумал делать Роман Кравченко, так что, видимо, первооткрыватель - он
Часто ли вы сталкивались с такой проблемой: Вы двигаете точку А по окружности, вам надо 7 положений, у вас есть середины дуг, А=В, A=C, диам противоположные ииии.... всё....? Для решение задачи не хватает одного положения, в такие моменты хочется кинуть в кого то стулом и закричать 'ПОСТАВЬТЕ МНЕ 6/7 ТК 6 ПОЛОЖЕНИЙ ЕСТЬ'. Далее описано решение этой проблемы.
А что если двигать не только в вещественные точки? Ломается ли сама концепция полиномдвижа от этого - НЕТ! Мы всю дорогу как полиномиально двигаем, работаем с многочленами от 1 переменной и теоремой Безу для них. Если какие то корни этого многочлена будут комплексными, то нам ваще все равно, главное что безу работает! Откуда мы понимаем, что можно загонять точки ваще много куда.
Помните, да, на окружности есть 2 такие сладенькие комплексные точки, с большим кол-вом интереснейших свойств. Конечно же Круговые. Основной факт про круговые что они лежат на любой окружности, AJ1 перпендикулярно BJ1 для любых А и В(т.е они и параллельны и перпендикулярны, голова взрывается). Доказывается это просто записыванием скалярного произведения. Они изогонально сопряжены относительно любого треугольника(тк изог сопр окружности это б/у прямая, а б/у прямая - окружность => точки их пересечения меняются местами). Они остаются на месте при любых повгомах, параллельных переносах и тд и ваще много много у них разных свойств.
И уверяю, примерно в 50-70% случаев загон в круговую делает задачу очевидной. Таким образом мы получили + 2 халявных положения в нашем движе, поздравляю, теперь у нас 8 халявных положений всегда, что решает оч много задач.
В целом загон в комплексные точки можно развивать и дальше, скажем при движе по понселе можно загонять точку в точку пересечения вписанной и описанной, или в ту же круговую, крч много возможностей, тк все всех пересекают. Пользуйтесь в решении задач из ТГк и удачи записать все это на олимпиаде
Я придумал это во время решения задачи на колме, но проконсультировавшись с Максом Ероговым, понял, что видимо, еще раньше меня так придумал делать Роман Кравченко, так что, видимо, первооткрыватель - он
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Полезный прием, который я узнал вчера и почему то про него раньше не слышал:
Можно очень просто считать некоторые геом-нер-ва в комплах по следующей стратегии:
1)Пишем все точки
2)пишем модули наших векторов которые хотим сравнить
3) получилось что то типа |a| + |b| >= |c|
4) Пытаемся домножить |a| и |b|(независимо) на какие нибудь комплексные числа модули которых равны 1(если это требуется) так чтобы с = a + b(так модули a и b не поменяются)
5) Пользуемся тем что сумма модулей больше модуля суммы
Упражнения:
1) докажите нер-во птолемея
2) докажите последнюю задачу из канала про счет геометрии @countablegeometry
Можно очень просто считать некоторые геом-нер-ва в комплах по следующей стратегии:
1)Пишем все точки
2)пишем модули наших векторов которые хотим сравнить
3) получилось что то типа |a| + |b| >= |c|
4) Пытаемся домножить |a| и |b|(независимо) на какие нибудь комплексные числа модули которых равны 1(если это требуется) так чтобы с = a + b(так модули a и b не поменяются)
5) Пользуемся тем что сумма модулей больше модуля суммы
Упражнения:
1) докажите нер-во птолемея
2) докажите последнюю задачу из канала про счет геометрии @countablegeometry
Forwarded from Geo4fun
(P,Q) - изог сопряжены. X, Y - пересечение PQ с AB и AC. проводится окружность через X,Y, которая касается (ABC)
(!)MN касается (ABCPQ)
(!)MN касается (ABCPQ)
Дано n-элементарное множество Х. Набор его подмножеств назовем порождающим, если с помощью пересечений и объединений из них можно получить любое подмножество Х. Вначале на доске написаны пустое множество и Х. Два игрока по очереди выписывают на доску подмножества Х. Выигрывает тот, после хода которого подмножества на доске образуют порождающую систему. Кто выиграет при правильной игре?
🔥7😱6🤮4❤1👍1
Не геома, но моя задача с только что прошедшей городской олимпиады СПБ
❤10🥰3
Пусть A_1 . . . A_n - выпуклый многоугольник. Вершины двух замкнутых ломаных — A_1, . . . , A_n в некотором порядке. Чему равно наибольшее возможное отношение их длин?
❤9🥰1👏1🤡1
Геома, моя задача с недавно закончившегося заочного этапа олимпиады Шарыгина
❤7🔥2🥰1
Красота от @Savva_Morozkin.
Синие окружности на рисунке с центрами в A, B, C и радиусами АВ, ВС и СА, а красные окружности с центрами в А, В, С и радиусами АС, СВ, ВА. Доказать, что радикальные центры синих, красных окружностей образуют параллелограмм с ортоцентром и центром описанной окружности АВС.
Синие окружности на рисунке с центрами в A, B, C и радиусами АВ, ВС и СА, а красные окружности с центрами в А, В, С и радиусами АС, СВ, ВА. Доказать, что радикальные центры синих, красных окружностей образуют параллелограмм с ортоцентром и центром описанной окружности АВС.
❤11🔥3🥰1
Задача от меня и Димы Крохалева с недавно прошедшего заочного тура олимпиады имени И.Ф. Шарыгина
Условие:
Дан треугольник ABC с углом B = 30. Обозначим центр его вписанной окружности за I, а центр описанной за O. Пусть D, E - пересечения (BIC), (BIA) с AB, CB соответственно. Докажите, что I - ортоцентр треугольника ODE.
Условие:
Дан треугольник ABC с углом B = 30. Обозначим центр его вписанной окружности за I, а центр описанной за O. Пусть D, E - пересечения (BIC), (BIA) с AB, CB соответственно. Докажите, что I - ортоцентр треугольника ODE.
🔥9❤2🥰2👏2
Новая задача от @MeZox_111 для нашего канала!
Как вы относитесь к задачам, где окружностей больше чем точек и прямых вместе взятых?👽 👽
Как вы относитесь к задачам, где окружностей больше чем точек и прямых вместе взятых?
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
💊11❤6👍4🤮2🔥1
Недавно обнаружил вот такой забавный факт про автополярный треугольник. Отсюда, например, следует, что угол XZY > 90.
Условие:
Во вписанном четырёхугольнике ABCD точки X, Y, Z - пересечения противоположных сторон и диагоналей. Докажите, что (ABCD), (XYZ) и окружность девяти точек треугольника XYZ соосны.
Условие:
Во вписанном четырёхугольнике ABCD точки X, Y, Z - пересечения противоположных сторон и диагоналей. Докажите, что (ABCD), (XYZ) и окружность девяти точек треугольника XYZ соосны.
👍4🔥3❤1
Внезапно добрая задача от @sporegalacticadventures.
В треугольнике АВС I - инцентр, D и E - точки касания вписанной окружности. Точки F, K - пересечения прямых, которые соединяют D, E и середины дуг АВ, АС описанной окружности (как на рисунке). Найти супремум KI/FI
В треугольнике АВС I - инцентр, D и E - точки касания вписанной окружности. Точки F, K - пересечения прямых, которые соединяют D, E и середины дуг АВ, АС описанной окружности (как на рисунке). Найти супремум KI/FI
❤4🥰1👏1😱1
Еще одна добрая задача от @Yellow_brik.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки Х, У - середина дуги ABD и второе пересечение хорды XP с (ABCD). Точка Z - пересечение BC и касательной в Y к (ABCD). Доказать, что ZP = ZY.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки Х, У - середина дуги ABD и второе пересечение хорды XP с (ABCD). Точка Z - пересечение BC и касательной в Y к (ABCD). Доказать, что ZP = ZY.
🔥21❤6🥰3
11.7 прошлого всероса
Мне показалось странным, что ее никто не запостил еще тогда, и ваще в общем у меня, вроде, довольно большая насмотреность на задачи, но при этом когда я открываю варианты всероса прошлых лет то не узнаю геому оттуда, наверно так и надо, но я очень злой злодей и вот держите задачу теперь вы ее узнаете😈😈😈
Это кстати ближе к тройке всероса чем прошлая, все таки прошлая это 2.6 - 2.7 но не 3 :)
Мне показалось странным, что ее никто не запостил еще тогда, и ваще в общем у меня, вроде, довольно большая насмотреность на задачи, но при этом когда я открываю варианты всероса прошлых лет то не узнаю геому оттуда, наверно так и надо, но я очень злой злодей и вот держите задачу теперь вы ее узнаете😈😈😈
Это кстати ближе к тройке всероса чем прошлая, все таки прошлая это 2.6 - 2.7 но не 3 :)
🤮10❤7
Внутри выпуклого вписанного пятиугольника выбрали точку P. Пусть А, В, С - суммы расстояний от P до вершин, сторон и диагоналей пятиугольника соответственно. Доказать, что B - C <= A/2.
Задача от Р. Кравченко (@Kravchenko_Rom) с олимпиады 239 этого года.
Задача от Р. Кравченко (@Kravchenko_Rom) с олимпиады 239 этого года.
❤7🥰3👏3👍1
Задача сегодняшнего дня
Изогональное сопряжение изотомического сопряжения инцентра попало на среднюю линию. Докажите, что у треугольника есть иррациональная по длине сторона.
Изогональное сопряжение изотомического сопряжения инцентра попало на среднюю линию. Докажите, что у треугольника есть иррациональная по длине сторона.
🥰18