В треугольнике АВС О и Н - центр описанной окружности и ортоцентр. Точка F - антиштейнер прямой HP, а точки Х, У, Z на сторонах АВС таковы, что есть окружности с центрами в них, проходящие через F и касающиеся HP. Перпендикуляры к сторонам АВС в X, Y, Z образовали треугольник GDE, в котором H_1 и О_1 - ортоцентр и центр описанной окружности.

Докажите, наконец, что угол между прямыми OH, HP равен углу между прямыми O_1H_1, H_1H.

Задачка от @vkomplahposchitaetsa, которая наглядно демонстрирует красоту планиметрии 👽

Еще одна задачка от @AlanZar07.

Для тех, кто не понимает картинку, условие текстом 😁

Коника пересекла стороны треугольника АВС в точках A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2. Пусть желтая прямая - радикальная ось желтых окружностей (B_1A_2C_1), (C_2B_2A_1), аналогично построим синию и красную прямые. Доказать, что треугольник, образованный ими и АВС, перспективны.

Я решил сделать полезный пост в этом канале, приготовьтесь(ОН ДЛЯ ТЕХ КТО УМЕЕТ ПОЛИНОМИАЛЬНО ДВИГАТЬ)

Часто ли вы сталкивались с такой проблемой: Вы двигаете точку А по окружности, вам надо 7 положений, у вас есть середины дуг, А=В, A=C, диам противоположные ииии.... всё....? Для решение задачи не хватает одного положения, в такие моменты хочется кинуть в кого то стулом и закричать 'ПОСТАВЬТЕ МНЕ 6/7 ТК 6 ПОЛОЖЕНИЙ ЕСТЬ'. Далее описано решение этой проблемы.

А что если двигать не только в вещественные точки? Ломается ли сама концепция полиномдвижа от этого - НЕТ! Мы всю дорогу как полиномиально двигаем, работаем с многочленами от 1 переменной и теоремой Безу для них. Если какие то корни этого многочлена будут комплексными, то нам ваще все равно, главное что безу работает! Откуда мы понимаем, что можно загонять точки ваще много куда.

Помните, да, на окружности есть 2 такие сладенькие комплексные точки, с большим кол-вом интереснейших свойств. Конечно же Круговые. Основной факт про круговые что они лежат на любой окружности, AJ1 перпендикулярно BJ1 для любых А и В(т.е они и параллельны и перпендикулярны, голова взрывается). Доказывается это просто записыванием скалярного произведения. Они изогонально сопряжены относительно любого треугольника(тк изог сопр окружности это б/у прямая, а б/у прямая - окружность => точки их пересечения меняются местами). Они остаются на месте при любых повгомах, параллельных переносах и тд и ваще много много у них разных свойств.

И уверяю, примерно в 50-70% случаев загон в круговую делает задачу очевидной. Таким образом мы получили + 2 халявных положения в нашем движе, поздравляю, теперь у нас 8 халявных положений всегда, что решает оч много задач.

В целом загон в комплексные точки можно развивать и дальше, скажем при движе по понселе можно загонять точку в точку пересечения вписанной и описанной, или в ту же круговую, крч много возможностей, тк все всех пересекают. Пользуйтесь в решении задач из ТГк и удачи записать все это на олимпиаде😁

Я придумал это во время решения задачи на колме, но проконсультировавшись с Максом Ероговым, понял, что видимо, еще раньше меня так придумал делать Роман Кравченко, так что, видимо, первооткрыватель - он