Детство Бориса было связано с искусством: он увлекался балетом и подавал большие надежды. Но жизнь преподнесла жестокое испытание: после падения с колеса обозрения в Парке имени Горького мальчик получил 12 переломов — были повреждены руки, ноги и позвоночник. Полтора года он провёл в больнице на растяжках, переживая, что придётся расстаться с балетом.

Но Цыбин не сдался. Несколько лет он заново учился ходить, а затем — бегать на лыжах и коньках. Он выполнил нормы первых разрядов в этих видах спорта, а позже завоевал звание мастера спорта в велосипедных гонках: на чемпионате Москвы по кроссу Борис Цыбин на дорожном велосипеде показал общий второй результат.

Судьба готовила новые испытания. После окончания Архитектурно‑художественного училища Борис Александрович работал реставратором в гостинице «Советская». Однажды подмостки на высоте четвёртого этажа обломились — Цыбин упал, сломав несколько рёбер, которые повредили лёгкие. Врачи запретили ему думать о спорте.

Однако без спорта Борис не мыслил своего существования. Началось многолетнее возвращение: его выгоняли из многих секций, но он поступал в другие. Спустя 7 лет упорных тренировок он бегал уже по третьему разряду — и всё‑таки добился звания мастера спорта СССР.

В 1957 году Борис Цыбин подтвердил свой высочайший уровень: он стал бронзовым призёром чемпионата мира по классическому многоборью и завоевал серебряную медаль на дистанции 10 тысяч метров. Он считался одним из сильнейших стайеров планеты.

Свой богатый опыт Борис Александрович щедро передавал молодёжи. В течение 10 лет он был тренером сборной страны.